Единая структура теории
Теория одной модели не может быть полностью формализована в логике первого порядка (требуется аксиома второго порядка, чтобы исключить бесконечно большие «выражения» и «доказательства », см. часть 3), но только при переводе в теорию множеств. Как компоненты ее модели [T, M] названы там свободными переменными, так их изменчивость создает это множественно-теоретическое выражение теории моделей (общий обзор основ математики).
Теперь пусть T0 будет множество теоретического выражениия внешней теории, что соответствует T (определяется по тем же правилам): каждый компонент T0 переводится в T преобразованием его в замкнутое множество, определяя его образ в T. Формально, T0 из k такие, что «k» ∈ T, где понятие «k» сокращает основной элемент теории множеств, описывающей k в качестве объекта. Отсюда следует, что любая (модель-теоретическая) модель M из T косвенно также (теоретико-множественное) модель T0.
Это дает мощную основу для интерпретации T0 в M, охватывая обе предыдущие (теоретико-множественные и теоретико-модельные) рамки интерпретации теорий в моделях. А именно, все работы (выражения, доказательства и другие работы), проведенные в T0, имеют копии в качестве объектов в системе T; между тем, модель M в T0 формально рассматривается как «модель T», в модельно-теоритическом смысле сформалированы те же самые теоретико-множественном рамки, так как относятся к тому же пространству, что и T.
Тем не менее, сила этой интерпретации приходит из-за цены ограничения: для данной теории T0 с бесконечным числом компонентов, мы не можем сразу определить соответствующую ей T, как как множество не может быть формально определено из-за бесконечного списка значений элементов (которые являются мета-объектами). Мы можем работать, начиная с T0, только если ее бесконечность компонентов создается некоторыми правилами, и для того, чтобы получить T, необходимо использовать те же правила. Тогда, независимо от того, конечно T0 или нет, существование модели M в T, отражая последовательность T, определенную внутри пространства, не приводит автоматически к последовательности T0 (как видно за пределами вселенной). Эти последствия полноты и неполноты теорем будут объяснены позже.
Классы, множества и мета-множества
Для любой теории, класс просто унарный предикат, который представляет собой совокупность объектов, где A верно, «класс из x, точнее - A(x)». В частности, для теории множеств, каждое множество E является синонимом класса X , если x , такие, что x ∈ E (определяется формулой x ∈ E с аргументом x и параметром E). Тем не менее, это включает в себя две различные интерпретации концепции множества, которые должны быть выделены в следующем.
Отныне, в единых рамках, указанных выше, теория будет использоваться в качестве T0, интерпретирующая в модели M и будет изучаться как объект T (переведенную как родовая теории методом объясненным в 1.9 и 1.10). Таким образом наше выше установленное использование теоретической концепции множество во внешней вселенной необходимо будет отличить от него путем добавления префикса «мета-». Теоретические концепции множеств M могут быть хорошо отражены интерпретацией их мета-множеств, но их не следует путать.
Вместо стандартного представления всех объектов в виде чистых мета-элементов, роль множеств обычно будут играть мета- множества из тех же элементов (аналогично и для функций), позволяя любому множеству E быть классом (определенным с x ∈ E аргументом x и параметром E), в то время как любой класс является мета-множеством объектов. Но некоторые мета-множества объектов, будучи неопределимыми, не являются классами; и некоторые классы, такие как вселенная (класс всех объектов, определяются путем 1), не являются множествами, и класс всех множеств, в соответствии с парадоксом Рассела (см. 1.8).
Вместо общего представления всех объектов общих теорий как чистых мета-элементов, роль каждого объекта «множества» из теории множеств, как правило, играет класс (мета-множества) из его элементов; точно так же, роль функций будет играть соответствующие функции. Таким образом, любое множество будет классом, в то время как любой класс является мета-множеством объектов. Но некоторые мета-множества объектов не являются классами (они не могут быть определены любыми формулами с параметрами); и некоторые классы не являются множествами, такие как пространство (класс всех объектов, определенный в 1), и в классе всех множеств, в соответствии с парадоксом Рассела (1.8).
Определенность классов
В теории множеств, все объекты должны быть приняты в качестве «элементов», которые могут принадлежать к наборам и использоваться функцией, (чтобы избежать бесконечного деления на множества элементов, множества, функции, смешанные множества...). Это может быть оформлено по поддержанию 3 типов, где каждое множество будет иметь копию среди элементов (определенный функтор из множества к элементам), и то же самое для функций. Но это не будет достаточно, для нашей теории множеств, которой потребуется больше понятий, помимо множества и функции. Для этого, наша теория множеств будет использовать классы вместо типов как его понятий. В частности, понятия множества и функции будут названы символами предикато:
Set = «представляет собой множество»;
Fnc = «функция»;
В общих теориях, синтаксическая коррекция выражения (что подразумевается в понятии «выражения») гарантирует, что оно примет определенное значение, для всех данных в модели с фиксированной системой значений ее свободных переменных в этой модели. Но в теории множеств, это по-прежнему может зависеть от ее свободных переменных.
Таким образом, структура или выражение A будет названо определенной когда он на самом деле принимает значение для данных значений своих аргументов в модели. Это определенное состояние A само по себе является определенным предикатом (выраженным формулой) dA, с теми же свободными переменными.
Классы определяются определенными одноместными предикатами. Мета-область любой унарной структуры A, это класс определенный dA, с теми же аргументами и параметрами, и называется его классом определенности.
Определенное состояние (x ∈ E) установлено Set(E)). Состояние оценщика функции f(x) это (Fnc(f) ∧ x∈ Dom f). .
Но определенность последней формулы должна быть объяснена следующим образом.
Расширенные определенности
Теория с частично определенной структурой может быть формализована (переведена) как теория с одним типом и везде определенными структурами, сохраняя нетронутыми все выражения и их значения, где они определенные: модели переводятся в одном направлении, путем придания условных значений неопределенным структурам (например, постоянное значение), а в обратном направлении, путем игнорирования этих значений. Таким образом, выражение с неопределенным подвыражением могут быть признано определенным, если его значение не зависит от этих дополнительных значений.
Для всех предикатов A и B, давайте придадим A ∧ B одно и то же условие определенности A ⇒ B (нарушая для A ∧ B, симметрию между A и B, которую не обязательно восстанавливать). Таким образом, они будут рассматриваться как определенные, если A ложно и B не является определенным, с соответствующими значениями 0 и 1.
Это гарантирует определенность самих условий определенности, а также dA ∧ A и dA ⇒ A (соответственно расширеняя A на 0 и 1 где это не было определенным). Формулы
Для любого класса A и любого унарного предиката B определенного во всех A, класс определенный (всюду определенным) предикатом (A ∧ B), называется подкласс A определяемый на B.