Понятие кривизны в геометрии

Рассмотрим два понятия кривизны, которые используются в геометрии и необходимы для описания нашего пространства-времени в Общей теории относительности:

Внешняя кривизна, для кривой или поверхности S, которая находится в некотором пространстве E большей размерности - это мера того, насколько S отличается от прямой линии в E.
Внутренняя кривизна определяет насколько геометрические свойства фигуры внутри заданного пространства отличаются от "плоской геометрии"( которая содержит афинную геометрию), в независимости от любого другого пространства, содержащего рассматриваемую фигуру.

Внешняя кривизна

Если двигаться вдоль кривой, ее направление(вектор касательной) может изменяться. Угол отклонения этого направления для дуги гладкой кривой S возле заданной точки P, обычно пропорциональный ее длине, точно( в случае дуги окружности) или приближенно( приближение тем лучше, чем меньше дуга). Внешняя кривизна S в точке P определяется как соотношение отклонения( коэффициент пропорции):

Предел(для малых дуг S, содержащих P), от (Угла отклонения (в радианах) / Длина дуги).

Кривизна окружности в эвклидовой плоскости есть величина обратная к радиусу этой окружности.
На сфере "прямые линии"( кривые с нулевой кривизной ) это "большие окружности" с центром в центре сфере. На Земном шаре, который приближенно является сферой, экватор и меридианы - прямые, но параллели( окружности широты) являются кривыми.
Можно интуитивно понимать кривизну кривой на плоскости, рассматривая случай дороги на горизонтальной поверхности, по которой едет автомобиль: кривизна дороги возле каждой точки "измеряется" направлением колес, которое необходимо чтобы ехать по дороге и также как ощущение бокового давления при движении на постоянной скорости.

Для подпространства S пространства E, внешняя кривизна S в E является мерой того, насколько кривая "прямая внутри S" изогнута внутри E. Когда S имеет размерность > 1, это искривление, как правило, не едиственное, а это многомерный объект, поскольку это дает направление, перпендикулярное (касательной подпространстве) S в (квадратичной) функции выбранного направления кривой внутри S (точнее, если n = dim S и m = dim E, то внешняя кривизна имеет n(n+1)(m−n)/2 координат). Но эту кривизну можно рассматривать как одну величину, если она состоит из одинаковых значений во всех направлениях.

Гауссова (внутренняя) кривизна

Гауссова кривизна - это внутренняя кривизна для частичного случая поверхности(2-мерного пространства), когда она является скалярным полем.

Гауссову кривизну можно понимать как "плотность углов" описанную далее.

Для любой поверхности(2-мерного пространства, только приблизительно эвклидового в малых масштаба), сумма углов в радианах любого треугольника, может отличаться от π. Например, на Земле, треугольник состоящий из экватора и двух меридианов имеет два прямых угла, а третий угол( с вершиной в полюсе) может иметь любое значение.
Более того, параллельный перенос вдоль любой замкнутой кривой индуцирует поворот на угол α, который в случае треугольника совпадает с разницей углов:

α = (∑ angles) − π.

В случае (2-мерной) сферы радиуса r в 3-мерном эвклидовом пространстве, этот угол α пропорционален площади A области окруженной кривой, согласно формуле

α = r^-2 A

Гауссова кривизна этой сферы имеет коэффициент пропорциональности R = r^-2, который равен квадрату внешней кривизны(r^-1).

Сферы являются особенным случаем кривых поверхностей, поскольку имеют постоянную Гауссову кривизну. В более общем случае, Гауссова кривизна поверхности является( неконстантным) полем и угол поворота α индуцированный параллельным переносом вдоль замкнутой кривой, есть интегралом этого поля по поверхности которую замыкает кривая.

Риманова кривизна

Риманова кривизна является общим случаем внутренней кривизны для пространства произвольной размерности( выше 2). Это поле, которое нескалярное, но многомерное( то есть описывается несколькими компонентами в заданной системе координат). Для 3-мерного пространства, Риманова кривизна вокруг каждой точки имеет размерность 6. Для 4-мерного пространства( такого как наше пространство-время) она имеет размерность 20.

Есть разные способы описания этого поля. Стандартный, "математический" способ, основывается на свойствах оператора ковариантной производной, который описывает изменения любого векторного поля по соседству с каждой точкой.

В общем случае, метафорическое описание поля как чего-то измеряемого в каждой точке; изменения поля любого типа объектов(векторов или чего-то еще) описывается линейным оператором действующим из пространства "векторов скорости" измеряемых прибором в данной точке со значением( в векторном пространстве где поле принимает значения) скорости изменения измеряемых значений поля.

Ковариантная производная векторного поля в каждой точке есть "наиболее точная" картина изменения поля вокруг этой точки, в том смысле, что она соответствует частичным производным этого поля, если выбрать систему координат, которая "наименее искажена" возле этой точки.

Свойства ковариантной производной отличаются от подобных свойств частичных производных в любой фиксированной системе координат. Потому, что (если кривизна ненулевая) координатная система не может быть "наименее искаженной" во всей окрестности точки, таким образом в окрестности не возможно выбрать фиксированную систему координат, в которой ковариантная производная прямо задается частичными производными. Другими словами, изменения измеряемые частичными производными те которые получаются из афинной структуры пространства заданного в выбранной системе координат, однако афинная структура соответствует плоской геометрии, с отсутствием кривизны, что не является объектом нашего изучения.

Теперь мы дадим интуитивное описание кривизны с помощью расширения на высшие размерности выше указанной идеи о параллельном переносе вдоль кривой.

Для каждой маленькой петли возле точки представим, что это замкнутая петля, которую мы разрежем в точке и переместим в плоское геометрическое пространство. Оба окончания в начале совпадавшие теперь отличаются.
Чтобы они совпадали снова можно вырезать петлю в другой точке, таким образом получив две части, а после этого переместить одну часть по отношению к другой.
Это перемещение, которое должно быть применено к одной части по отношению к другой так, чтобы концы совпали( но концы от нового разреза отличались), являетс поворотом( в общем случае, малым эвклидовым движением, которое более поворачивает чем переносит в том смысле, что в случае поворота его центр находится в или возле рассматриваемой области).
В первом приближении(для малых петель), этот поворот(его координаты: направление, малый угол...), не зависит от точки в которой мы разрезали петлю.

Теперь в качестве петель можем взять маленькие параллелограммы. Результатом параллельного переноса на любой петле может быть получена из этих малых параллелограммов взяв поверхностьограниченную этой петлей и разделив эту поверхность на большое количество малых параллелограммов( или треугольников, которые являются половиной параллелограмма): общий поворот при параллельном переносе вокруг петли получается суммированием( интегрированием ) всех малых поворотов полученными параллельным переносом вдоль каждого параллелограмма.

Операция, которая каждой паре (малых) векторов сопоставляет (малый) поворот полученный при параллельном переносе вдоль малого параллелограмма, чье направление задано этими векторами, является билинейной, антисимметричной функцией этих векторов.

Малые повороты( значения этой функции) могут быть определены как билинейные антисимметричные формы, описанные антисимметричными матрицами.

Чтобы описать Риманову кривизну через координаты, возьмем приблизительную "Декартову систему координат" малой окрестности( в случае космологии, это значит "малая" по сравнению с размерами вселенной, но большая по сравнению с галактикой ;-). По сути мы будет использовать эти названия координат как метки попарно ортогональных осей в этой окрестности. Тогда каждая пара осей определяет малый параллелограмм в этой окрестности.

Пространство билинейных антисимметричных форм n-мерного пространства имеет размерность n(n-1)/2, что соответствует количеству пар осей координат.
При n=4, как в пространстве-времени с координатами (x,y,z,t), имеем 6 пар : (x,y), (x,z), (y,z), (x,t), (y,t), (z,t).

Собрав вместе выше изложенное имеем, что кривизна может быть описана как тензор с 4 индексами, полученным из двух антисимметричных пар. В координатах, каждая компонента Римановой кривизны должна быть помечена двумя парами координат:

одна пара координат помечает направление малой поверхности (параллелограмм), вокруг которой был сделан параллельный перенос,
другая пара помечает компоненту малого поворота, полученного при этом переносе.

Риманова кривизна является антисимметричной по отношению изменения обоих направлений в каждой паре, но она симметричная по отношению к изменению обеих пар.

Таким образом Риманова кривизна вокруг каждой точки 4-мерного пространства, в приблизительной декартовой системе координат вокруг этой точки, описывается симметричной матрицей 6×6, где каждая строчка и каждый столбик соответствуют паре координат.

Особым случаем кривых геометрических пространств есть пространство с постоянной кривизной, которое эквивалентно определяется как

Обобщение сферической геометрии на любую размерность и любой знак кривизны
Если предположить, что любая внешне плоская малая поверхность внутри нее имеет ту же Гауссову кривизну.
Если многообразие является Римановым (т.е. чистое пространство, а не пространства-времени: каждое касательное пространство является евклидовым): матрица Римановой кривизны в локальной приблизительной декартовой системе координат каждой малой области, есть единичной матрицей умноженной на коэфициент.

Теперь можно перейти к объяснению расширения Вселенной в Общей теории относительности.

Почему размерность 20, а не 21?

Пространство симметричных матриц размера 6×6 имеет размерность 6×7/2=21.

Но тензор Римановой кривизны не может принимать в данной ситуации любое значение, так как он имеет одно соотношение, которое сокращает размерность с 21 до 20.
Это отношение называется "полной антисимметричной" частью этого тензора, и определяется как сума компонент обозначенных ((x,y),(z,t)), ((y,z),(x,t)) и ((z,x),(y,t)).

Причину этого, вместе с симметрией при смене обеих пар, можно объяснить способом того, как считается кривизна исходя из метрической структуры пространства.

Метрическая структура это поле, которое в каждой точке задает локальную геометрическую структуру( локально эвклидовую или структуру Минковского, в добавок к простой локальной афинной структуре, которая задана гладкостью пространства). Значения этого поля в каждой точке есть симметричной билинейной формой с касательными векторами в этой точке( интуитивно, векторы скорости для частиц которые проходят), которые определяют локальное произведение между ними.

В заданной системе координат (или что эквивалентно, в карте рассматриваемого пространства в плоском пространстве - можно сделать соответствие в первом приближение вокруг точки, таким образом первые производные в метрике в этой точке... по причине достаточно технической чтобы объяснять), кривизна вычисляется из вторых производных метрики.
Симметрия метрики, вместе с симметрией вторых производных в системе координат, естественно изменяет результат таких выражений, которые просто "невозможно произвести любую асимметричность" по причине симметричных вхождений. Детали этого аргумента требуют понимания тензорного исчисления.

Back : Set theory and foundations of mathematics