Элементы и формулы
Учитывая первые две основы теории (список типов и язык), выражение является конечной системой вхождений символов, которые будут определять значение для каждого конкретного данного в модели и интерпретирует свободные переменные, которые он содержит (их значения в модели).
Любое выражение либо элемент, либо формула: значения элементов будут объектами, а формулы будут иметь логические значения.
Основное выражение - это выражение без свободной переменной (все его переменные связаны), так что его значение зависит только от модели. Аксиомы теории выбираются среди этих основных формул.
Давайте сделаем набросок общеего описания выражения (будет сформулировано в части 3).
Вхождение символа – это его появление где-то, например, «x+x» имеет два вхождения х и одно вхождение +. Выражения могут использовать следующие виды символов :
Выражения строятся последовательно. Первый и самый простой способ - выражения состоят только из одного символа, уже имеющего значение: константы и переменные; логические константы 1 и 0 являются простейшими формулами.
Следующие выражения построены из следующих данных:
Корень определяет тип значений (таким образом, решается - выражение является формулой или термином) и формат списка (количество и типы вхождений). Этот формат составляет список аргументов для символов пара-операторов.
Список констант будет пустым, в случае, если выражение составлено только из корней. Для других символов требуется непустой список, таким образом, им нужны условные знаки, чтобы его представить:
Скобки также могут быть использованы, для выражения или подвыражения, чтобы найти корень путем разделения выражения на подвыражения, например, (x+y)n.
Структуры переменных
Только несколько объектов, как правило, названы постоянными символами в данном языке. Любой другой объект может быть назван другим символом не из этого языка: фиксированная переменная. Это может быть интерпретировано по-разному, в зависимости от того, какую теорию рассматривать:
Пытаясь обобщить это, от простых объектов к другим структурам (идентифицируемых со всеми нульарными операциями, которые могут существовать между интерпретируемыми типами), мы получаем символ переменной структуры, но он не используется в списке разрешенных символов в выражениях. Таким образом, состояние выражений, использующий такой символ должен теперь быть выбран между
Теория не может выразить все свойства ее ряда (пока все его аргументы не пробут конечные множества), так как в логике первого порядка она не может управлять всеми структурами переменных ненулевой арности. До сих пор некоторые свойства могут быть известны как следующие: если формула с символом структуры переменной официально доказана, то это верно для всех структур, независимо от того - «могут они быть найдены» или нет. Эта концепция вероятной всеобщей истины будет использоваться, как правило, как доказательства для порядковых переменных (принцип универасального введения см.1.9) и в формулировке принципа множества умножений (см. 1.11).
Структуры определённые выражениями
Любая теория может производить структуры (операторы или предикаты), как операции между типами объектов, определенные следующими данными:
Нульарный оператор (простой объект) «определяется» таким образом через переменную, рассматриваемую как параметр. В формализации теории множеств, любая функция f является синонимом функции, определяемой термином «f(x)» с аргументом x и параметра f.
Мы можем принять в качестве законной работы внутри теории, назвать такую структуру символом переменной структуры, что означает сокращение выражения с его параметрами. Как изменчивость символа сокращает один из параметров, так эта переменная структура может быть связана как в теории, пробегающая все ее структуры, определенные общим выражением со всеми возможными значениями его параметров: это только сокращает связывания этих параметров.
Мы можем исправить понятие структуры в теории одой модели, как сделано во всех структурах, которые могут быть достигнуты на этом пути, определенные любым выражением с любыми возможными значениями параметров. Так как это связано с бесконечным множеством всех выражений, то исчезают способности исследуемой теории (которую можно использовать только одним выражением) и доступную только рамках теории одной модели с ее мета-понятиями выражения. Тем не менее это не означает, что исчерпается диапазон всех операций (между интерпретируемыми типами), которые могут существовать во вселенной, так как может быть неопределимые структуры.
Инвариантная структура
Назовем инвариантной структурой любую структуру, определяемую без параметров (таким образом постоянная). Каждый символ в языке теории представляет инвариантную структуру (которую он определяет без параметров). Это различие инвариантных структур из других структур, обобщает различие между постоянными и переменными, как в случаях ненулевой арностью, и к тому, что косвенно выражается в теории, а не непосредственно названо в его языке.
Наоборот, инвариантные структуры могут быть названы новыми символами, которые будут добавлены к языку теории, сохраняя ее глубокий смысл (доказуемость, структуры, инвариантные структуры...). Такие правила для разработки теории подробно изложены в п. 3.