1.1. Введение в основы математики

Математика, теории и основы

Математика это изучение систем, состоящих из элементарных объектов, рассматриваемых независимо от нашего мира, природа которых должна быть точной и недвусмысленной( два объекта либо одинаковые, либо разные; либо связаны, либо нет; любая операция должна давать точный результат и т.д.). Математика состоит из различных разделов, внутренних или внешних основ любой математической работы, которые могут быть формализованы как (аксиоматические) теории. Каждая теория - это изучение определенной фиксированной системы математических объектов, которые изначально определены(выбраны из всего возможного набора математических систем) с помощью математического описания, которое называют основами теории. Таким образом математика это "наука всех возможных миров"( миров с собственной природой).
Во все времена основы математики(или определенной теории) это то, что было известно или полагалось известным. Таким образом продвижения в изучении получались выбором некоторых возможных продолжений: новых концепций и информации полученной из предыдущих основ и присоединения этих результатов для получения нового набора основ. Другие возможные развития теория, не выбранные на данном этапе, могут быть присоединены позже. Таким образом полный набор возможных продолжений уже формирует тип "реальности", который исследуется. Далее может появится теория которая лучше описывает объекты и вытесняет предыдущую или же замещает ее( см. Теорему про полноту 3.1).
Фундаментальной работой является создание из простого начального базиса более полных основ, которые будут давать набор эффективных инструментов для дальнейших исследований. Возможной также является иерархическая структура теорий, когда одна из теорий играет роль основ для другой. Например, несколько теорий могут иметь общую часть, которая есть более простой теорией, результаты которой моuen использовать все теории, которые ее содержат.

Цикл основ

Несмотря на простоту математических объектов, общие основы всей математики являются достаточно сложными( хотя ситуация не настолько плоха как с физической теорией всего).  Действительно, изучение математики есть разделом математики, который называется математической логикой. Как и любой другой раздел, он состоит из определений и теорем о системах объектов( общая форма теорий и систем, которые могут быть изучены этими теориями). Но более того математическая логика дает инструментарий и способы работы для других математических теорий, при этом включая... саму себя. Таким образом, чтобы предоставить основы( или инструментарий) для каждой рассматриваемой основы( в отличии от обычных математических работ, которые отталкиваются от принятых основ) нет стартовой точки, и построение теории состоит из широкого цикла состоящего из простых и сложных шагов. ( Это похоже на то как в словаре каждое слово определяется через другие, или на другую науку о конечных системах - компьютерное программирование. Действительно компьютеры легко использовать, зная что при этом делаешь, но не понимая как это работает; их работа основывается на программном обеспечении, написанном на некотором языке программирования, потом скомпилированном другим программным обеспечением, при этом используется аппаратная часть и процессор. И это лучшее что появилось со времен создания этой области знаний.
 Но этот цикл на самом деле дает точный инструментарий для всех математиков с большим количеством полезных концепций для ее различных разделов( инструменты, вдохновение и ответы на философские вопросы). Основными являются две теории:
Теория множеств изучает вселенную «всех математических объектов», от более простых до более сложных систем таких как бесконечные системы. Но часто эта теория снимает ограничение на отличие между возможными вариантами( не всегда эквивалентными между собой).
Теория моделей это общая теория теорий(описываемых формально как системы символов), и систем( миров) объектов, которые можно описать, называемых их моделями(их возможными интерпретациями ). Например, вообще говоря, каждый лист бумаги является системой материальных точек; все эти системы являются моделями одной и той же теории эвклидовой плоской геометрии, однако при этом независимы друг от друга.
Каждая из этих двух теорий является натуральным инструментарием для формализации другой: каждая теория множеств формализуется как теория описанная с помощью теории моделей, которая в свою очередь развита из теории множеств( определяя теории и системы как комплексный объект) прямо как теория( но обе сущности теории множеств, как инструментарий и объект изучения для теории моделей должны быть известны). Но эти формализации сложно закончить особенно для следующего:
Теория доказательств дополняет теорию моделей описанием правил доказательств теорем любой теории( формул из теории, которые служат для описания системы, и являющихся истинными для всех моделей теории). Теория моделей и теория доказательств по сути уникальные теории, дающие простое значение концепциям теории, непротиворечивости ( теория непротиворечивая, если ее теоремы не противоречат друг другу) и теоремам каждой теории.

О теории множеств ZF

Математика начинается из введения некоторых простых концепций, которые считаются самодостаточными. Естественно начинать из теории множеств, которая не является полностью формализованной как аксиоматическая теория. Часто рассматривают как популярную версию аксиоматической теории множеств теорию ZFC ( теорию Цермело-Френкеля с аксиомой выбора) рассматриваемую стандартные понятия, которые необходимы или очевидны.
ZFC была избрана специалистами математической логики для их потребностей в мощной теории в цикле основ, с помощью которой они могут доказать сложные формулы или их недоказуемость
Но в начале развития математики, ZFC не идеальная. Ее аксиомы не такие естественные как может показаться на первый взгляд; они требуют более основательного обоснования чем историческое интуитивное понимание избранное для  согласованности и удобства полученной системы. Однако аксиомы добавляют свои требования к свойствам рассматриваемого мира, что объясняется необходимостью существующего заранее инструментария теории моделей, который дает значение и использование аксиом.
Также ZFC предполагает что каждый объект является множеством, в том числе и множество всех множеств, построенных по пустому множеству. Но обычная математика использует многие объекты не рассматривая их как множества и потому неудобно развивать такие теории с ZFC. Так как роль всех этих объектов могут играть множества, то они не требуют другой формализации, но остается несоответствие между «теорией» и практической математикой.


Set theory and Foundations of mathematics
1. First foundations of mathematics
1.1. Introduction to the foundation of mathematics
 ⇨ 1.2. Variables, sets, functions and operations
1.3. Structure of theories: objects, meta-objects, types
1.4. Structures and expressions
1.5. Connectives
1.6. Classes in set theory
1.7. Bound variables in set theory
1.8. Quantifiers
1.9. First axioms of set theory
1.10. Set generation principle
⇨ Philosophical aspects
Time in model theory
Time in set theory
2. Set theory (continued)

3. Model theory