Математика и теория
Математика это изучение систем, состоящих из элементарных объектов, рассматриваемых независимо от нашего мира, природа которых должна быть точной и недвусмысленной ( два объекта либо одинаковые, либо разные; либо связаны, либо нет; любая операция должна давать точный результат и т.д.). Математику можно рассматривать как "науку всех возможных миров"( миров с собственной природой).
Математика состоит из различных разделов, внутренних или внешних основ любой математической работы, которые могут быть формализованы как (аксиоматические) теории. Каждая теория - это изучение определенной фиксированной системы математических объектов, которая является ее моделью. Но каждая модель теории может быть только одной из ее возможных интерпретаций среди других не менее законных моделей. Например, грубо говоря, все листы бумаги являются системой материальных точек, моделями теории евклидовой планиметрии, но независящие друг от друга.
Основы и развитие
Каждая теория начинается с фундамента - это данные описания, где указано, что известно или что предполагается об определенной модели. Фундамент включает в себя список формул (состояния), которые называются аксиомами, выражающие необходимые свойства модели, т.е. выбираются принятые модели как системы, где аксиомы верны среди целого ряд возможных систем и где они могут быть интерпретированы.
Тогда, изучение теории прогрессирует одним из возможным путем развития: возникновение новых концепций и получение информации об этой модели, получение результатов исходя из данных фундамента, благодаря этому можно сформировать следующий фундамент.
В частности, теорема - это формула, которая выведена из ее аксиом, так что она известная как верная во всех моделях теории. Теоремы могут быть добавлены к списку аксиом теории, не меняя ее значения.
Другие возможные пути развития ( которые еще не выбраны) могут возникнуть позже.Таким образом, совокупность возможных разработок теории, не зависит от порядка, выбранного для их обработки, уже образует своего рода «реальность», которая изучает эти разработки ( перед теоремой о полноте наконец покажем, как ряд возможных теорем отражает реальность разнообразия возможных моделей).
Возможной также является иерархическая структура теорий, когда одна из теорий играет роль основ для другой. Например, основы нескольких теорий может иметь общую часть, образующую более простую теорию, чьи разработки применимы для всех.
Задача фундаментальной работы состоит в разработке от простой, начальной базы к более полному основанию, наделенного эффективными инструментами, которые открывает больше путей для дальнейших интересных развитий модели.
Цикл основ
Несмотря на простоту природы математических объектов, общая основа всей математики оказывается довольно сложной (хотя ситуация не так плоха, как с теорией физики всего). Действительно, это само по себе является математическим исследованием,таки образом есть раздел математики, который называется математической логикой. Как и в любом другом разделе, она состоит из определений и теорем о ситеме ее объектов. Но более того математическая логика дает инструментарий и способы работы для других математических теорий, при этом включая... саму себя. Таким образом, чтобы предоставить основы ( или инструментарий) для каждой рассматриваемой основы ( в отличии от обычных математических работ, которые отталкиваются от принятых основ) нет стартовой точки, и построение теории состоит из широкого цикла состоящего из простых и сложных шагов. Тем не менее этот цикл основ действительно играет функциональную роль математики, обеспечивая строгие рамки и много полезных идей в различных разделах математики (инструменты, вдохновения и ответы на разнообразные философские вопросы). (Это похоже на словари, определяющих каждое слово другими словами, или на другую науку конечных систем: компьютерное программирование. Действительно, компьютеры могут быть просты в использовании, зная, что вы делаете, но не зная, почему это работает; их работа основана на программном обеспечении, которое было написано на некотором языке, затем скомпилированном другими программным обеспечением, при этом используется аппаратная часть и процессор. И это лучшее, что появилось со времен создания этой области знаний. )
Основными являются две теории:
Каждая из этих двух теорий является натуральным инструментарием для формализации другой: каждая теория множеств формализуется как теория, описанная с помощью теории моделей, которая в свою очередь развита из теории множеств ( определяя теории и системы как комплексный объект) прямо как теория ( но обе сущности теории множеств, как инструментарий и объект изучения для теории моделей должны быть известны). Но эти формализации сложно закончить особенно для следующего:
Теория моделей и теория доказательств, по существу, являются уникальными, давая четкий естественный смысл концепциям теории, теоремы и консистенции каждой теории.