Ограниченные кванторы дают множествам их основополагающую роль в качестве диапазонов связанных переменных, неизвестных предикатом ∈, который позволяет им играть роль только классов. Технически, ограниченного квантора (∃ ∈,) достаточно, чтобы определить предикат ∈, как
но это не определение, в случае если вернуться в множество теоретического формализма, так как обратное определение включает в себя открытый квантор. Если посмотреть на это с точки зрения философии, восприятие множества как класса не обеспечивает восприятие его полностью как набора.
Принцип множества образований. Для любого класса C (определяемым данной ограниченной формулой с параметрами), если формула (∀x,C(x) ⇒ A(x)), выражающая ∀C на неопределенном унарном предикате, то доказано, что если она эквивалентна с ограниченной формулой (здесь сокращенно (Qx, A(x) , как квантор), то С является набором, который может быть назван новым символом оператора K, добавленный к языку теории множеств, аргументами и параметрами С и Q, и аксиомы:
(Для всех принятых значений параметров), множество (K) ∧ (∀x∈K, C(x)) ∧ (Qx, x ∈ K).
Эта эквивалентность между Q и ∀C выражается в следующем списке 3 утверждений, где квантор Q*, определяемый (Q*x, A(x)) ⇎ (Qx,¬A(x)) будет эквивалентен с ∃C:
(1) ∀x, (C(x) ⇔ Q*y, x=y) (на самом деле нужно только ∀x, C(x) ⇒ Q*y, x=y) )
(2) Qx, C(x)
(3) Для всех (неопределенных символов) одноместных предикатов A и B, (∀x, A(x) ⇒ B(x)) ⇒ ((Qx, A(x)) ⇒ (Qx, B(x))).
Действительно, эти 3 условия уже известные следствия «Q=∀C ». Наоборот,
((2) ∧ (3)) ⇒ ((∀C x, A(x))
⇒ Qx,A(x))
((1) ∧ ∃C x, A(x)) ⇒ ∃y,
(Q*x, x=y) ∧ (∀x, x=y
⇒ A(x)) ∴ ((3) ⇒ Q*x,A(x))
∎
(3) часто будет незамедлителным, из-за отсутствия какого-либо возникновения A в Q (внутри отрицания, эквивалентности, или слева от ⇒), оставляя нас, чтобы убедиться в (1) и (2).
Вот примеры таких символов оператора (первый столбец является общим сокращением, в то время как другие являются эффективными примерами, и обозначается D=Dom f):
| K | {y ∈ E|B(y)} | ⋃E | Im f | ⌀ | {y} | {y,z} |
| dK | ∀x∈E, dB(x) | Set(E) ∧ ∀x∈E, Set(x) |
Fnc(f) | 1 |
1 |
1 |
| C(x) | x∈E ∧ B(x) | ∃y∈E, x∈ y | ∃y∈D, f(y)=x | 0 |
x=y | x=y ∨ x=z |
| Qx, A(x) | ∀x∈E, B(x) ⇒ A(x) | ∀y∈E, ∀x∈y, A(x) | ∀x∈D, A(f(x)) | 1 | A(y) | A(y) ∧ A(z) |
| Q*x, A(x) | ∃x∈E, B(x) ∧ A(x) | ∃y∈E, ∃x∈y, A(x) | ∃x∈D, A(f(x)) | 0 |
A(y) | A(y) ∨ A(z) |
Определение множества K={x∈E | B(x)}, которое была выражено только как класс, также может быть записано в виде конкретного случае вышеупомянутой аксиомой, т.е.
или если коротко сказать
с помощью которого, доказательство парадокса Рассела должно быть описано
F={x∈E | Set(x) ∧ x∉x} ⇒ ((∀x∈E, x∈F ⇔ (Set(x) ∧ x∉x)) ∧ (F∈F ⇎ (Set(F) ∧ F∉F))) ⇒ F ∉ E
Функтор ⋃ является символом объединения, и его аксиомы - аксиомы объединения.
Набор значений F(x), когда x пробегает Dom f, называется образом f.
Определим предикат f:E→F как
который читается «F является функцией от E до F». Множество F такое, что если ⊂ F ∀x ∈ Dom f, f(x) ∈ F), которое называется целевым множестовм f.
Точнее (Fnc(f) ∧ Dom f=E ∧ Imf = F) будет обозначаться f:E ↠ F . (F сюръекция или сюръективная функция от E до F, или функция от E на F).
Пустое множество ⌀ является единственным множеством без элемента, и входит в любое множество E (⌀ ⊂ E).
Таким образом, (E=⌀ ⇔ E ⊂ ⌀ ⇔ ∀x∈E, 0), (E ≠ ⌀; ⇔ ∃x∈E,1).
Этот символ константы ⌀ обеспечивает существование множества; для любого множества E мы также можем получить ⌀ = {x∈E | 0}.
Как (Dom f=⌀ ⇔ Imf=⌀) и (Dom f=Dom g=⌀ ⇒ f=g) только функции с областью ⌀ называется пустой функцией.
Мы можем пересмотреть ∃ из вышеизложенного двумя способами: (∃x∈E, A(x)) ⇔ {x∈E | A(x)} ≠ ⌀ ⇔ (1 ∈ Im(E∋x ↦ A(x))).
Для всех x, {x,x}={x}. Такой набор с одним элементом называется одиночкой.
Для всех x, y нас есть {x, y}={y, x}. Если x ≠ y, то множество {x, y} с 2 элементами x и y называется парой.
Наша теория множеств позже будет дополнена другими символами и аксиомами, в случае необходимости или дополнится (открывая разнообразие возможных теорий множеств).