Структуры, интерпретации языка теории (значения структур символов в наборе теоретической интерпретации), относятся к объектам различных типов, чтобы сформировать исследуемую систему. Эти структуры позволяют объектам каждого типа играют разные роли в системе. В соответствии с этими ролями, объекты могут быть интерпретированы как сложные объекты, несмотря на их основную природу чистых элементов.
Общие теории признают 2 вида структур (структурные символы): операторы и предикаты.
Оператор является связкой интерпретируемых типов. В теории интерпретации, каждый символ оператора связвывается с данным его арности (или список аргументов рассматриваются как место вокруг символа), тип каждого аргумента (который будет варьириоваться над интерпретированным тип), и уникальный тип всех ее значений (результатов работы).
Постоянные символы (или константы) из теории являются его нульарными символами операторов.
Нульарный оператор – это постоянный символ, напрямую называющий фиксированный объект.
Унарный оператор, т.е. функция, будет называться функтором.
Модель завершается стандартным специальным типом: типом булевых выражений, состоящих из двух элементов «истинно» (1) и «ложно» (0). Переменная этого типа (за пределами теории) называется булевой переменной.
Ее добавление к списку типов обобщает операторы пара-операторов.
Связка – это пара-оператор с только булевыми аргументами и значениями.
Предикат –это пара-оператор с одним или более аргументами, среди которых нет булевых, и с булевыми значениями.
Структуры теории множеств
Начнем формализацию теории множеств с 3 примитивных понятий: элементы (все объекты), множества и функции. Это формализация будет постепенно дополняться, в случае необходимости, другими понятиями, вытекающие из предыдущих понятий. Но это формализация работы необходима для игнорирования выше обозначенного набора теоретической интерпретации , поскольку обе ссылки между формализованными общими теориями и теории множеств, не следует путать (этот вопрос будет обсуждаться в 1.7).
Один из способов для теории множеств, чтобы устанавливать их роль являются бинарные предикаты ∈: для любого элемента х и любого множества E, мы говорим, что x содержится в E (или принадлежит E, или является элементом E, или, что E содержит x) и пишется x ∈ E, означает, что x является одним из значений переменной из диапазона E.
Функции f играет свою роль двумя операторами: функция Dom, и функция оценщика, бинарный оператор, который подразумевает f(x), с аргументами f и x, дающих значение любой функции f в любой элемент x в Dom f.
О ZFC аксиоматической теории множеств
ZFC теория множеств определяется как общая теория с одним типом «множества»,только одной структуры символа ∈ , и аксиомой. Но наша теория множеств не будет общей, и будет включать в себя другие символы, способствуя приданию их роли множествам, функциям и другим типам объектов. Функции играют свою роль с помощью функтора Dom (задавая их области) и оценщика функции ,бинарным оператором давая значение f(x) любой функции f в любой элемент x из Dom f. Специалисты математической логики выбрали ее для их необходимости, это мощная теория в расширенном цикле основ, с помощью которых можно доказать многие сложные формулы или наоборот доказать их недоказуемость.
Но для изучение математики ZFC не является идеальным началом. Ее аксиомы заслуживает более тонкого и сложного подтверждения, чем обычно предполагается. Математики, которые используют много объектов, и как правило, которые не рассматривают их в качестве множеств, все лишь некрасиво формализуют их на этой основе.
Типы в теории одной модели
Не обращая внимания на разнообразие возможных моделей, теория одной модели нуждается только в одном мета-понятие «тип», чтобы играть обе роли абстрактных типов (в теории) и их значений в интерпретации типов (компонентов модели): эти роли дают мета-функторы, один - от переменных к типам, другой - от объектов к типам. Таким образом, теория одной модели игнорирует более общее понятие «множества объектов», с помощью которого мы ввели интерпретируемые типы.
Понятие структуры в теории одной модели
В теории одной модели структура (оператор или предикат) - это любая операция между типами объектов (например, объекты, названные структурными символами), определяемая выражением (термином или формулой) и списком выбранных свободных переменных, чтобы связать в роли аргументов. Эта структура зависит от других переменных оставшихся свободными, называемых ее параметрами (в то время как связанные переменные внутри выражения, невидимые снаружи, здесь не учитываются). Класс - унарный предикат, рассматриваемый как множество объектов, для которых он истинный.
Пытаясь понять этот диапазон «всех операциий между интерпретируемыми типами», остается неизвестным источник знаний такой совокупности. Эта идея совокупности будет сформулирована в теории множеств, (см. 2.5.), но смысл все равно зависит от вселенной, где она интерпретируется (предполагается содержит все операции), недалеко от нашего настоящего в теории одной модели.
Вместо этого, мы исправим понятие структуры, связанные с более ранними опредленными нами выражениями.