Изменчивость модели
Каждая последовательная теория (интерпретация) предполагает фиксированную модель, но это, как правило, просто «выбор» одной модели среди широкого ряда других существующих, в равной степени законных моделей той же теории; модель становится изменчивой при просмотре теории моделей. Но этот «выбор», и его «существование» модели могут быть весьма абстрактными. В деталях, доказательство теоремы о полноте, так как это может работать во всех случаях, будет эффективно «указывать» на любую модель в ряде возможных, но эта конструкция не совсем явная (включая в участие бесконечность шагов, где каждый шаг зависит от бесконечных знаний). В этих условиях, предположение о фиксации модели можно назвать бредом, но тем не менее оно представляет собой стандартную интерпретацию математических теорий.
Понятие и объекты
Каждая теория имеет свой собственный список понятий, как правило, обозначенные общими названиями, которые являются своего рода переменными, используемые в теории; каждая модель (интерпретация теории) интерпретирует каждое понятие, как набор, который является общим для ряда переменных такого рода. Например, геометрия Евклида имеет понятия «точка», «прямая линия», «круг» и многое другое. Объекты теории в модели принимают всевозможными значения переменных (элементов его понятий) в этой модели.
Теория одной модели
Когда мы обсуждаем несколько теорий T и систем M, которые могут быть моделями T, мы находимся в рамке теории модели, с ее представлениями о «теории» и «системы», которые являются соответствующие видами переменных T и M. Но когда мы сосредоточены на исследование одной теории (например, теории множеств) с якобы фиксированной моделью, переменные T и M закрепляются и исчезают (они не являются больше переменными, так как выбор теории и модели становится неявным). Таким образом, представления о теории и модели исчезают из списка понятия тоже.
Эта фиксация снижает рамки от теории моделей до теории одной модели. Теория одной модели - это система [T,M], которая содержит в себе теорию T с системой M модели T.
Разнообразия логических структур
Прежде чем представить теорию T, мы должны указать его логическую основу (его формат или грамматику), которые описывают допустимые формы содержания для теории T, что содержит M, и как их следствия могут быть выведены. Эта структура задается выбором точной версии теории одной модели, которая описывает T и требует свои условия. Сначала мы опишем две основные логические структуры. Теории, в наиболее распространенных рамках логики первого порядка, будем здесь называть общими теориями. Теория множеств будет выражаться через его собственную специальную структуру. Больше структур будут введены в 3-ей части. Наиболее общие логические рамки, за исключением специальной теории множеств, будут управлять понятиями (как правило конечное число для каждой теории), как типы, классифицирующие как переменные и объекты: каждый объект будет принадлежать только одному типу, и одной переменной, которая может назвать его. Например, объект евклидовой геометрии может быть либо точкой, либо прямой линией, но один и тот же объект не может быть и точкой, и прямой.
Примеры понятий из различных теорий
| Теория | Виды объектов (понятии) |
| Общая теория | чистые элементы классифицированные по типам |
| Теория наборов | Элементы, комплекты, функции, операции, отношения |
| Теория моделей | Теории, системы и их компоненты (см. ниже) |
| Теория одной модели | объекты, символы, типы, структуры (операторы, предикаты), формулы |
| Арифметика | Натуральные числа |
| Линейная алгебра | Векторы, скаляры... |
| Геометрия | Точки, линии, круги... |
Мета-объекты
Вся система изготовлена из данных теории T и системы M, что является моделью T, представляет собой модель [T,M] из теории одной модели T1. Понятия теории одной модели, обычно интерпретируется в [T,M],классифицирует компоненты T («тип», «символ», «формула»...), а те, из M («объект» , и инструменты для интерпретации T). Но те же представления о теории одной модели можно интерпретировать в другой модели [T1, [T,M]], которая будет выражаться, поставив префикс мета- на них.
По понятии своего «обьекта»,теория одной модели отличает объекты T в M среди своих объектов в [T,M], которые являются мета-объектами. Таким образом, каждый объект будет мета-объектом. Однако на практике мы будем делать исключение и называть мета-объектами только то, что не является объектами. . .
В отличие от теории множеств, теория одной модели дает диапазон каждой переменной своей изученной теории. Однако каждый диапазон, то есть понятие, является только мета-объектом.
Компоненты теории
Как только зафиксировано формальное представление, приходит очередь содержания основ теории, которое является отличительной чертой теории и пытается определить предполагаемый вид ее моделей и их различные концепции (вокабуляр). Эта основа теории состоит из (математически условного, но интуитивно сконструированного) тройного списка данных, структурированных в виде 3 слоев:
Теоретико-множественное представление
Любые общие теории (и ее модель) могут быть вставлены (переводены) в теории множеств путем преобразования его компонентов в компоненты теории множеств. Приведем два общих метода, один который работает для любой стандартной теории, и другой (не общий) метод, как правило, является предпочтительным для случая геометрии.
Во всех случаях, абстрактные типы становятся фиксированными переменными (или новыми постоянные символами), значения которых являются множествами и называются интерпретированными типами (соответствующий ряд переменных каждого типа). Для случая в геометрии, абстрактные типы «Точка» и «Прямая линия» обозначаются переменными P и L, обозначающие множество всех точек, и множество всех прямых линий, соответственно.
Использование символов переменных будет оставлено без изменений, принимая значения некоторых объектов теории множеств (но не всех). В то время как некоторые объекты геометрии, такие как прямые, как правило, интерпретируется как набор (точек), то общий метод использует только простые элементы как объекты (мы может быть неоднозначными, называя их элементами, даже если они не являются простыми).
Общий метод также преобразовывает символы структур в фиксированные переменные. Представление типов и символов структуры (их значения являются фиксированными переменными) будут определять модель, так как они являются ее основными компонентами. Модель, которая таким образом изменяется с этими переменными, сам по себе является объектом теории множеств. Это объединяет все теории (арифметика, геометрия ...), и их разнообразие возможных моделей, в той же теории множеств с фиксированной модели также называется как вселенная.