Время в теории множеств

Расширение множественно-теоритического пространства

Учитывая две вселенные U⊂U', вселенная U будет называться стандартом в U', или суб-вселенной U', если его интерпретация теоретико-множественных структур (значения, которые они дают для всех значений аргументов внутри U) совпадает с их мета-интерпретациями (такие как U'). Чтобы быть точными, давайте требовать сохранения следующих данных:
Таким образом, так как структуры в U' зафиксированы, U нужно только быть определенным как мета-подмножество или класс (U∈U').
Если у нас есть 3 вселенные U ⊂ U' ⊂ U" , где U' является стандартом в U", то у нас есть эквивалентность:
(U стандарт в U') ⇔ (U стандарт в U").
Таким образом, идея рассматривать стандартность вселенной как абсолютной собственности, независимой от внешней вселенной, в которой она описана ... при условии, что эта внешняя вселенаая сама по себе является стандартом. Это не определяет формально стандартность как абсолютную концепцию (что невозможно), но предполагает, что такая концепция может создать идеальный смысл.

Назовем стандартной мультивселенной любой набор (ряд) стандартных вселенных, где любые 2 из них это маленькие суб-вселенные третьей. Будем говорить, что теоретико-множественная вселенная расширяется, когда проходит через стандартные мультивселенные.
Из любой стандартной мультивселенной M, мы можем восстановить внешнюю вселенную, содержащую все свои вселенные, определенные как объединение U=⋃M, где они все стандартные. В самом деле, любое выражение со свободными переменными в U имеет свой смысл, по крайней мере в одном U∈M , содержащий значения всех этих переменных, и, таким образом, выражение можно интерпретировать. Это U еще один конкретный стандарт вселенной, но он не может принадлежать к M, так как его присутствие было бы противоречиво для концепции вселенной, которая не допускает наибольший элемент. Так, ни один стандарт мультивселенной никогда не может содержать все возможные стандартные вселенные.

Мы можем понимать предназначенный смысл теории множеств как общие теории, в этом случае:

В отличие от стандартных вселенных, не все нестандартные вселенные будут небольшими суб-вселенными некоторых существующих больших вселенных (нестандартные), в том смысле, что расширение может не сохранить мощности множества. Мы можем также иметь мультивселенные нестандартных вселенных, рассматриваемые как стандартные мультивселенные (членами которого являются небольшие суб-вселенные), но где в отличие от своих членов, их объединение U (с теми же структурами, что позволяет этим вселенным появляться как стандарт), не удается, чтобы быть хорошей вселенной, так как это более не удовлетворяет аксиомы схемы оттделения (в том смысле, что позволяет открывать кванторы): здесь может быть множество E∈U и формула такая A, что
{x∈E|∀U y, A(x,y)}∉U.

Два вселенные будет называться совместимыми, если они обе могут рассматриваться как суб-вселенные общей большей вселенной. Все стандартные вселенные совместимы друг с другом. Поэтому, когда 2 вселенные несовместимы, по крайней мере, одна из них не является стандартным; они могут быть обе частью общей большей вселенной, только представляя там по крайней мере одну из них в качестве нестандартной.

Может ли множество содержать себя?

Назовем множество рефлексивным, если оно содержит себя.
В следствие доказательства парадокса Рассела [1,8], класс (Set(x) ∧ x ∉ x) нерефлексивных наборов, может не совпадать с подмножества F из любого множества E, так как F было бы тогда нерефлексивным множеством вне E, что дает противоречие. Но может ли рефлексивные множества существовать? это неразрешимо; вот почему.

Из вселенной, содержащей рефлексивные множества, мы можем просто удалить их все: эти множества не могут быть восстановлены из данных их элементов (поскольку каждый из них имеет по крайней мере один удаленный элемент из вселенной, а именно он сам), но остальные по-прежнему представляют собой вселенную (модель теории множеств), мы должны управлять случаем всех других множеств, которые содержат одно такое множество (и аналогично с функциями):
Другой способ заключается в постепенном перестроение вселенной, избегая: каждого множества, появившегося в некоторый момент времени, сформированный как совокупность ранее принятыми или сформированными объектами. Любое множество, которое формируется таким образом, должно быть в ближайшее время: недоступным, когда оно впервые вошло в совокупность уже имеющихся объектов, таким образом, оно не может быть рефлексивным.
Как рефлексивность множества не зависит от контекста, так объединение вселенных, где каждое лишено рефлексивных множеств, не могут содержать друг друга.

С другой стороны, вселенные с рефлексивными множествами могут быть созданы следующим образом:

Загадка. В чем разница между. Ответ: роль множества, содержащее x, но не y , игравший y в прошлой вселенной, играет x в последней.

Отсутствие рефлексивных множеств, является частным случаем аксиомы основания (или регулярности), где аргументы неразрешимости, выше обозначенные, расширяют ее. Его формулировка будет основываться на концепции вполне обоснованных отношений, которые будут детальное изучены в связях Галуа.
Но эта аксиома так же бесполезна, как исключающее множество.

Относительный смысл открытых кванторов

Когда вселенная расширяется, значения состояний (формул первого порядка, допускающих открытые кванторы ) может измениться.
Конечно, если утверждение формально доказуемо из заданных аксиом, то оно остается верно во всех вселенных, удовлетворяющих этим аксиомам; налогично, если это неопровержимо (т.е. его отрицание доказуемо, так что оно ложно во всех вселенных). Но теория множеств не дает смысла (логическое значение) для основных неразрешимых утверждений, и подобные неосновные утверждения (с открытыми кванторами и заданных значений свободных переменных), как любое данное значение будет относительным, так как идут дела «здесь и сейчас»: если универсальный оператор (∀x, A(x) для ограниченной формулы A) верно «здесь», он может и стать ложным (x, где A является ложным может быть найден) «в другом месте».

Но если значение неопределенного утверждения относительно того, как вещи идут «здесь», то фактическая изменчивость этой величины между местами (чтобы мотивировать свое состояние неопределенности) остается относительным того, как вещи оказываются «в другом месте». А именно, по отношению к данному ряду возможных сосуществующих «мест» (вселенных), где оператор может быть истолкован как мультивселенная. Но чтобы сосуществовать, эти вселенные должны иметь границы общей большей вселенной U, которая содержит их всех. В самом деле, просто данных U достаточно, чтобы существенно определить мультивселенную,такую что «все вселенные, содержащихся в U». Или, скорее, 2 мультивселенные, в зависимости от того, допускаем ли мы все вселенные, которые он содержит, или только стандартные.

Стандартная мультивселенная, как определено выше. Изменчивость существенного утверждения (∃x, A(x)) для ограниченной формулы A, значит, существование вселенных U, U' ⊂U,такие, что ∀x∈U, ¬A(x) , но ∃x∈U', A(x). То есть, A(x) имеет место только при некоторых x за пределами U. Мы можем получить U' такой, что U∈U' , принимая любую вселенную, содержащую как U и так и старую U'. В частности, (∃x, A(x)) также верно в U (мы можем назвать это утверждение «в конечном счете, истинным»). Интуитивно, x, где A истинно находится вне досягаемости теории: они не могут быть официально выражены терминами, и их существование не может быть выведено из существующих аксиом (удовлетворящих U).
Но с тех пор как (∃x, A(x)) не является верным с первого осмотра вселенной U на самом деле неизвестно, и расширяется, его шансы малы, чтобы стать, безусловно, верным для U, которая является еще одним аксиоматическим описанием вселенная, что неизвестно, хорошо. Таким образом, когда утверждение направлено на U и является неопределенным, оно может быть различным, когда U расширяется, но это может также вызывать сложный вопрос, меняется ли оно на самом деле (что можно перевести как вопрос о U), что остается самым неопределенным вопросом. Правда, чтобы определить U, нужно большем, чем для U, давая больше аксиом для описания U, нежели чем для U.
Теорема о неполноте будет означать, что формализация этого описания U (как объединение стандартной мультивселенной, чьи вселенные удовлетворяет заданным аксиомам) уже является сильной аксиоматизацией, но также, что ни эта, ни любая другая аксиоматическая теория, которая пытается описать U (как своего рода конечную стандартную вселенную), никогда не может решить, (доказать или опровергнуть) все основные утверждения в U ; в частности, вопрос о изменчивости в основном утверждение в расширяющейся U не может быть всегда разрешим.

Мультивселенная из «всех вселенных», независимо от того, если они являются стандартными или нет. Теорема полноты будет показывать, что для любой общей теории, интерпретация неопределенности основной формулы, как изменчивость ее логического значение в этой вселенной, совпадает с их формальной неразрешимостью. Странные вещи могут произойти в неразрешимой (∃x,A(x)), вселенной, там где правда, и там где оно ложно, могут быть несовместимы:



Интуитивно, различные возможные вселенные с различными свойствами, не обязательно "идущие друг за другом" во времени, могут принадлежать, чтобы отделить и несовмещать ростущие пути, некоторые из которых могут быть рассмотрены более реалистичные, чем другие.
Так, в то время как формальная неразрешимость основного утверждения создает автоматически переменную в любой "мультивселенной всех вселенных", это еще не говорят о том, как это происходит для стандартных мультивселенных. В заключение, неопределенность высказываний следует рассматривать, избегая простые невежественные выражения по отношению к ряду допустимых вселенных, частично выбранных аксиом, где они могут быть интерпретированы.