Концепции истины в математике

Рассмотрим 4 разных понятия «истины» для математической формулы, от самых простых до самых тонких.

Мы впервые увидели относительную истину, то есть значение формулы интерпретирванную в якобы данной модели (как неявная свободная переменная, не обращая внимания на какие-либо трудности, чтобы задать любой пример). В этом смысле, данная формула может быть также истинной или ложной в зависимости от модели, и от значений своих свободных переменных.

Вероятность

Затем наступает качество будучи относительной истины во всех моделях данной аксиоматической теории, которая совпадает с вероятностью в этой теории, т.е. вычет из ее аксиом по правилам логики первого порядка. А именно, известны формальные системы доказательства для логики первого порядка с известными алгоритмами доказательства проверки, универсально применимы к любой теории первого порядка, сохраняя это качество (способность доказать точно все универсально истинные формулы).
Это замечательное свойство логики первого порядка, вместе с тем, что вся математика выражается здесь (что напрямую не может быть сделано, так встраивая в теорию множеств, само оформляется как теория первого порядка), дает ограничениям большую важность в основах математики: это примиряет платонизм и формализм, давая четкий, естественный смысл концепциям «доказательство», «теорема» и «консистенции».

Теорема о полноте обеспечивает это, сначала выражается, заявляя о существовании модели какой-либо последовательной теории первого порядка, затем доказывается путем построения этих моделей из бесконечного множества всех основных выражений на языке, построенного на теории (язык теории плюс больше символов, извлеченные из ее аксиомы). Как совокупность всех основных выражений в языке может быть построена из этого же языка вместе с комплектом ℕ натуральных чисел, обоснованность этой теоремы зависит только от аксиомы бесконечности, это существование ℕ качестве актуальной бесконечности, достаточно для всех теорий (игнорируя многообразие бесконечности в теории множеств).

Все такие формализмы, когда верны, эквивалентны друг другу: из любого одного доказательство автоматические вытекает другое. Тем не менее, это всего лишь теоретические свойства, абстрактно предполагая неограниченные доступные вычислительные ресурсы, можно найти доказательства любого размера. Проблема в том, что некоторые относительно простые формулы могут быть доказуемо только доказательствами, которые «не могут быть найдены», так как они будут слишком большими, даже больше, чем число атомов в видимой физической вселенной. (см. теорему Гёделя об ускорение).

Чтобы включить их случай в универсальную концепцию вероятности (существование доказательства) она должна быть определена в аннотации. А именно, она может быть выражена как формула арифметики первого порядка (теория первого порядка натуральных чисел с операциями сложения и умножения), из одного квантора существования, неограниченного в смысле арифметики (∃_ℕ p, )), а затем по формуле, где все кванторы ограничены, т.е. с конечным диапазоном (∀x < (...), ...). Например, p может быть кодированием доказательства, или время, которое требуется алгоритму для исследования доказательства, чтобы найти его.
Однако, как только дали такую арифметическую формулу, известную верным выражением предиката доказуемости (а все такие доказуемые формулы эквивалентны друг другу), и она по-прежнему нуждается в толковании.

Арифметические истины

Это включает в себя третюю концепцию математической истины, то есть реалистичную правду в арифметики первого порядка. Это в идеале означало интерпретацию арифметики: интерпретация основных формул арифметики первого порядка в «истинном множестве всех ℕ, и только все, на самом деле конечные натуральные числа», называются стандартной моделью арифметики. Но любая аксиоматическая формализация арифметики в логике первого порядка является неполной, в обоих следующих смыслах этого вопроса:

Из-за теоремы о неполноте, множество всех действительных истин арифметики (формулы истинные в ℕ) не может исчерпывающим образом получится любым алгоритмом (с использованием неограниченных ресурсы, но конечного количества исходной информации). Таким образом, они не могут быть все логическим последствием любой алгоритмически произведенной аксиоматической теории либо (с логическим выводом из заданных аксиом, которые являются алгоритмическими).
Даже когда абстрактно рассматривается возможность принять все реальные истины в качестве аксиом, этого по-прежнему не будет достаточно, чтобы определить модель, поскольку она не может исключить нестандартные модели.

теоремой Лёвенгейма — Скулема

Это незавершенность оказывает воздействие непосредственно на предикат доказуемости, хотя только на одной стороне, следующим образом.
С одной стороны, если формула p(A) вероятности формулы A, верна, то это доказуемо: доказательство p(A) может быть в принципе произведено следующим способом в 2 этапа:

1. Найти доказательство A (поскольку предполагается существование);
2. Автоматический конвертер в состоянии формально преобразовать любое доказательство A в доказательство того, что доказательство A существует.

С другой стороны, это не всегда опровержима когда ложь: независимо от того какое время потрачено напрасно искать доказательство данной недоказуемой формулы, мы не можем до сих пор официально опровергнуть возможность наконец найти доказательство с помощью функции поиска, из-за риска для формулы, которая может быть доказуема необоснованно длительными доказательствами.

В отсутствие каких-либо возможных фиксированных конечных алгоритмов для получения всех истин арифметики, мы можем быть заинтересованы в частичных решений: алгоритмы, производящие бесконечные списки основных арифметических формул обеих качеств.

Безошибочный (остается включенным в множество истин, описывая стандартную модели арифметики);
Большой (по сравнению с включением с другими алгоритмически производимых множеств истин).

Естественным способом прогрессировать в бесконечном (неалгоритмические) поиске все лучших и более совершенных алгоритмов второго качества, не жертвуя первым, заключается в разработке формализации теории множеств, описывающие все большие и большие вселенные бесконечности ℕ, где свойства ℕ можно вывести как частный случай. Действительно, если теория множеств T' требует вселенную, чтобы содержать в виде множества модель U из теории множеств T, то арифметическая формула непротиворечивости T будет доказуемо в T', но не в T, в то время как все арифметические теоремы T остаются доказуемо в T', если T' описывает U в качестве стандарта.

Множество теоритических истин

Выше, может быть прочитана незаменимость аргумента для нашей последней концепции истины, которая является истиной, установленной теоретическими положениями. Чтобы продвинуться дальше логического вывода из уже принятых единиц, нужно ввести более теоретико-множественных аксиомы, мотивированные некоторыми аргументами Платона для реального существования некоторых стандартных вселенных, где они являются истинными; обоснованность таких аргументов нужно оценивать в интуитивном, не чисто формальном способе, именно для того, чтобы сделать лучше, чем любой заданный алгоритм. Аргументы в пользу данной аксиоматической теории множеств приводят к арифметическим выводам:

Нормальная консистенция этой теории множеств;
Арифметические теоремы в их рамках

Оба заключения не следует путать:

1. не может прийти в виде прямого конкретного случае 2. (если это не так), хотя это должно быть правдой для 2. быть последовательным для какого-либо интереса;
причина истины 2. ссылается на существование стандартной модели этой теории, в то время как 1. означает только, что существуют нестандартные модели.

Но поскольку объекты этих выводов являются лишь свойствами конечных систем (доказательства), их смысл остается неизменным с помощью онтологических предположений о бесконечности, в том числе финалист онтологии (отрицания реальности любой актуальной бесконечности, независимо от, того что такая философия может означать). Это звучит, что сложно выяснить, то, как их надежность может быть осмысленна и оспорена философскими спорами о "реальности" абстракции за их пределами (вселенных), просто потому, что они были вызваны этими абстракциями.
Но тогда, требование непротиворечивости (1.), с самого существования ℕ, достаточно, чтобы позволить модели этой теории действительно существовать (нестандартные, но работает так же, как стандартные).

Для логического вывода из теоретико-множественных аксиом, чтобы был хороший арифметический алгоритм поиска истины, эти аксиомы должны быть:

Здравомыслящие = принимают некоторые стандартные вселенные (держит выход непогрешимым);
Сильные = отвергают "маленькие" стандартные вселенные = устанавливает высокий минимум "размер" на иерархии его суб-вселенных (делает вывод большим).

Но для сбора таких аксиом, чтобы сохранить эти качества, когда соединяются в общей теории, они должны быть совместимы, в том смысле, что их объединение остается таким же. Два таких заявления могут быть несовместимыми, либо если один из них ограничивает размер вселенной (при этом не должно такого быть), или если каждый оператор (с использованием обоих видов открытых кванторов, когда написано в предваренной форме ) бесконечно чередуются между истиной и ложью, когда вселенная расширяется, таким образом, они не будут более вместе истинными в любой стандартной вселенной сверх определенного размера (их сочетание не должно ограничивать размер вселенной). Вопрос в том, на какой большой стандартной вселенной могут хорошие аксиомы быть более естественными и одновременно истинными?

Стандартная вселенная U' может быть аксиоматически описана как очень большая, установив ее немного большего размера, чем другие очень большие U, но размер этой U потребует различное описание (как это не может быть доказано, чтобы удовлетворить те же аксиомы в качестве U' без противоречия), но какие? Описывая U, как немного больше, чем третяя вселенная и так далее, потребуется аксиомам отслеживать последовательные различия. Это быстро запустит неэффективные осложнения с несовместимыми альтернативами, без точной причины которой предпочетают один вариант другому.

Естественным решением, как для философской элегантности, эффективности и совместимости аксиом, является концентрация внимания на противоположном случае, вселенных, описанных как настолько большой, насколько маленькими могут быть. (Например, как мы задумали конечную вселенную как объединение стандартной мультивселенной): аксиомы должны быть

Открытыми = описании вселенной, где вечность очень длинная, особенно ближе к концу (= открытая вселенной).

Это также удобно, потому что такие описания действительно выражаются аксиомами интерпретируемые внутри вселенной, без необходимости какого-либо внешнего объекта. Действительно, если свойство было выражено только с помощью внешнего объекта (относительно этой вселенной в виде множества), мы могли бы заменить его вместо описания нашей вселенной, как содержащую суб-вселенную такого рода (без ограничения ее размера за его пределами), и почему бы не бесконечно много суб-вселенных такого рода, образующие стандартную мультиленную: заявляет, что каждый объект содержится в такой суб-вселенной. Это аксиоматически выражается с помощью объектов за пределами каждой из этих подгрупп вселенных, но внутри нашей большой; и такие аксиомы будет соответствовать всем 3 вышеперечисленными качествам.

Наконец, правильное понимание смысла теории множеств не является ни аксиомой, ни реалистичным, но своего рода нечеткая промежуточное между обоими понятиями: ее аксиомы стремятся приблизиться ко всем 3 качествам (сильные и открытые, но все еще в здравом уме) выбранные вселенные с соответствующими 3 качествами (большми и открытыми, но до сих пор стандартными), но эти качества все нечетко интерпретированы, и любой конкретный перечень аксиом (соотв. вселенная) только стремится приблизиться к ним, в то время как этот квест никогда не может закончиться.
К счастью, довольно простые теории, такие как ZF, уже удовлетворяют эти качества в очень высокой степени, описывая намного большие реальности, чем обычно требуется. Это, как платоновский вид теории множеств (видение вселенной всех математических объектов как фиксированную, исчерпывающую реальность) может работать в хорошем приближении, хотя это не может быть точным, абсолютным фактом.

Альтернативные логическое обоснования

Описание, которое мы сделали из основ математики (логики первого порядка и теории множеств), по существу только эквивалент уточняет выражение общепринятых единиц (другое введение в той же математики). В разделе 3 будут представлены другие логические структуры, которые являются либо ограниченными версиями логики первого порядка, или в любом случае, естественно, выражается в теории множеств. Но другие, более радикально различные структуры (концепции логики и/или множеств), называемые неклассической логикой, также можно считать. Примеры:

Некоторые логики разработали «интуиционистскую логику», которая позволяет формулам сохранить возможную неопределенность как мы уже упоминали для открытых кванторов, но рассматривается как модификация чистой булевой логики (отказ от исключенного третьего, где ¬(¬A) не подразумевается A), без какого-либо специального упоминания кванторов в качестве источника этой неопределенности. Или это можно рассматривать как формальную путаницы между истиной и вероятностью. В этом контексте {0}∪ ]0,1] ⊂ [0,1], без равенства. Я не мог лично натйи никакого интереса к этому формализму, но только слышал, что теоретические компьютерные ученые сочли это полезным.
При изучении меры множества (которая математически определенна вероятностью в бесконечных множеств),я был вдохновлен интерпретировать его результаты как простые заявления на другой концепции набора, со следующим интуитивным особенностями. Пусть x переменная случайно взятая из [0,1], путем последовательного перебирания (бесконечность) монетки будет только два случая. Пусть E область x, совокупность всех случайных чисел в [0,1]. Она не пустая, потому что такие случайные числа могут быть получены. Теперь другое аналогичное случайное число, с того же диапазона (y ∈ E) , но взятый независимо от x, не имеет никаких шансов быть равным x. Таким образом, ∀x ∈ E,∀y ∈ E, x ≠ y. Таким образом, x ∈ E не всегда эквивалентно ∃y ∈ E, x = y.

Мы будем держать классическую логику во всех следующих разделах, игнорируя такие альтернативы.