Расширение вселенной в Общей теории относительности

Простое следствие уравнений Фридмана и значение уравнения Эйнштейна

Математическая структура расширения вселенной согласно Общей теории относительности должна соответствовать двум аспектам

Достаточно общая, чтобы содержать полностью суть уравнения Эйнштейна общей теории относительности и его доказательство;
Достаточно простая (благодаря симметрии) чтобы, быть отображенной в короткий, элементарный и самодостаточный способ, избегая полных математических выражений таких как тензоры, в рассматриваемых объектах;

Таким образом эта структура может быть использована как хорошое вступление в Общую теорию относительности.
Необходимые базовые знания : Понятие кривизны в геометрии.

Космологические принципы:

Униформность( все места похожи): распределение масс однородно, нет центра, все галактики подчиняются общему расширению, все что происходит наблюдается одинаково во всех галактиках.
Изотропность( в каждом месте все направления похожи): с каждой галактики в любое время видно каждую другую галактикудвижущейся радиально, со скоростью которая зависит от расстояния между ними( скорость пропорциональна расстоянию в приближении, где расстояние и скорости малы, соответствуют сравнений к видимой вселенной и скорость света и также если они большие если точно определим их как описано ниже).

Конечно, это не всегда исполняется в нашей вселенной( существуют локальные неоднорости), но это достаточно хорошее приближение в большом масштабе, потому мы будем предполагать, что это выполняется здесь, чтобы проще получить первое приближение того, как расширяется вселенная.

Геометрическое уравнение

Введение переменных

Время

Свойства пространства-времени и материи будут описываться переменными, которые являются неявными функциями от времени t, определенном как возраст вселенной( возраст галактики от Большого Взрыва, чье движение следует универсальному расширению.
Производную каждой переменной по времени будем обозначать символом ( ').

Расстояние

Поскольку t (поле) функция в пространстве-времени, и при каждом фиксированом значении t получается 3-мерное подпространство S состоящее из галактик в момент t( или что тоже самое каждая галактика в возрасте t), и такое пространство(то есть расширение не по времени)
Каждое из пространств S соотвествует другому с определенным коэфициентом расширения. Поэтому их можна представлять как 3-мерную карту галактик во вселенной, которая локально точная( показывая , как галактики соотносятся со своими соседями с точки зрения человека, наблюдающего за расширением в некоторой локальной точке) с коэфициентом расширения, который определяется временной координатой.
Эта карта имеет свою трехмерную пространственную геометрию( локально-Эвклидовую в первом приближении с постоянной кривизной благодаря космологическим принципам, и есть или эвклидовой, или сферической, или гиперболической в зависимости от знака кривизны)
В этой карте мы можем рассматривать поверхности и треугольники.
Зафиксируем две галактики и пусть переменная r - расстояние между ними в S. Таким образом, r получается как сумма малых величин в цепочке промежуточных галактик между двумя зафиксированными, взятых в одном и том же возрасте. Или подходя формально мы можем взять 2 ближайшие галактики так, чтобы r было "малым"( они могут обмениваться световыми лучами за малое, по сравнению с возрастом вселенной, время) и свойства будут рассматриватся следуя этому приближению.

Коэффициент Хаббла

Постоянная Хаббла( которая изменяется со временем) это отношение

H = r'/r

которое не зависит от выбора галлактик с расстоянием r между ними( другой выбор умножит r на тоже число по временной оси, таким образом пусть H также функция времени).

Кривизна пространства-времени

Благодаря симметриям пространства-времени( согласно космологическом принципам), среди 20 компонент кривизны Римана пространства-времени вокруг точки в локальной системе координат, только 6 будут ненулевыми. Это диагональные элементы матрицы 6×6 Римановой кривизны и соотвественно эффектам кривизны пространства-времени, на Гауссовых кривизнах малых поверхностей в каждом из 6 направлений поверхностей которые соотвествуютпарам координатных осей.

Более того по тем же причинам эти 6 компонент могут быть рассмотрены как 2 переменные:

3 компоненты "чистого пространства"( с направлениями (x,y), (x,z), (y,z) ) имеют одно и то же значение, которое мы будем обозначать через R. Это гаусова кривизна вокруг произвольной точки "малой" пространственной поверхности, которая внешне "прямая" или "плоская"( то есть ее внешняя кривизна равна нулю). Откидание внешней кривизны в направлении 3го пространственного измерения естественно из соображений симметрии; но внешнюю кривизну в направлении временной оси, нужно сохранить, так как она пропорциональна движению расширения( таких как расширение вселенной) приборами, измеряющими эту кривизну, как в направлении "чистого пространства", то есть состоящим из "одновременных" событий( происходящих в "одно время"). Но S внешне изогнутое по временному измерению из-за расширения вселенной. Таким образом компонента R "чистого пространства" кривизны пространства-времени будет отличаться от внешней кривизны S. Для правильного измерения R необходимо брать "плоскую" поверхность( с нулевой внешней кривизной), которая есть касательной в рассматриваемой точке и может быть определена как мгновенная связанная с нерасширяемым апаратом вместо использования временной переменной t.
3 кривизны пространства-времени( с направлениями (x,t), (y,t), (z,t)), соотвествуют ускорению расширения. Действительно, рассмотрим одно пространственное измерение и возьмем время как второе измерение пространства. Пускай эти координаты формируют поверхность, которая подчиняется законам сферической геометрии( или в общем случае circular symmetry), где временная координата t есть широта( расстояние от полюса ), пространства S изучаемого времени это окружности широты, а роль мировых линий галактик ( с "временным направлением"), играют мередианы. Определим расстояние r между двумя меридианами как длину дугы окружности широты между ними. Тогда следуя по меридиану( с принятой скоростью 1), Гаусова кривизна сферы ускоряется ( убывает ) возрастание r, пропорционально к r. Таким образом Гауссова кривизна определяется как −r"/r. Действительно r' это угол между временными направлениями двух галактик измереных паралельным переносом вдоль S, таким образом −r" есть потоком углов полученых паралельным переносом вдоль поверхности пространства-времени (сегмент между двумя галактиками, растянутый во времени), площадь которого между временем t₁ и t₂ увеличивается со "скоростью" r (когда t₁ фиксируется и t₂ меняется), то есть поток области близок к пограничному значению t=t₂, параллельной кривой с длиной r, которая движется с единичной скоростью, когда t₂ меняется.Но чтобы задать эту внутренную кривизну такого же типа как у пространства Гаусовой кривизны с помощью собственного преобразования величин пространства и времени, определим
R_t = r"/rc²

Выписывание уравнения

Возьмем третью галлактику так чтобы в S в любой момент времени, площадь треугольника образованного 3 галактиками была равна r². Это свойство сохраняется вдоль времени (при рассмотрении тех же галлактик), если площадь любой расширеной поверхности остается пропорциональной r².

Пусть

K = (∑ angles) − π = k.r²

где k внутренняя( Гаусова ) кривизна треугольника, и углы определяются в S, таким образом есть точным по отношению к пути каждой галактики естесственно рассматривая другие галактики на ночном небе.
Гаусова кривизна этого треугольника есть сумой двух слагаемых:

k = R + h

где R - внутренняя кривизна пространства-времени в пространстве направлений( введенных ранее ), а h - слагаемое от внешней кривизны S во временном измерении.

Внешняя кривизна задается коэффициентом Хаббла H = r'/r.
Дествительно, H есть отношение угла r' между временными векторами( ортогональными к S) в ближайших точках S, с расстоянием между ними которое равно r. Это обьясняет как происходят события в тонком шаре пространства-времени между последовательными S, не рассматривая остальную часть пространства-времени.

Это способствует внутренней кривизны S по его площади:

h = − H²/c²

Коэффициент в этой формуле имеет единственный нужный тип соответсвующих величин, согласно общим преобразованиям пространственных и временных величин :

В плоском Эвклидовом пространстве-времени, r должно быть пропорционально t таким образом H=1/t. Далее S будет сферой с радиусом t единиц времени, или c't временных единиц, и внешняя кривизна 1/c't = H/c' которая входит в Гауссову кривизну в квадрате H²/c'². Наконец подстановка c'² = − c²дает необходимый результат. Этот вклад имеет негативный знак, как. в геометрии Минковского( в плоском пространстве-времени Минковского), сфера с временеподобным радиусом, есть двухлистовым гиперболоидом, чья геометрия( заданая геометрией Минковского окружающего пространства-времени, не спутанный с двулистным гиперболоидом в эвклидовом пространстве) не сферический, но гиперболический с отрицательной кривизной Гаусса − H²/c².

Теперь получаем геометрическое уравнение:
We finally get the geometric equation

K = (R − H²/c²).r² = R.r² − r'²/c²

Так как каждая галактика рассматривается с каждой другой галактики пролетающей радиально, каждый угол треугольника имеет постоянное значение. Так как K тоже постоянная величина во времени, то ее первая производная равна 0:
R'.r² + 2 Rrr' − 2r'.r"/c² = 0
R' + H (2R − 2R_t) = 0

Уравнение из механики

Введем обозначения

ρ = плотность массы,
U = c² ρ = плотность энергии
E = U r³ = энергия в расширяемой области пространства с объемом r³
P = давление.

Работа P по расширению объема, потребляет свою внутреннюю энергию в ритме:

−E' = P(r³)' = 3 P r'r²E' = (U r³)' = U'r³ + 3 Ur'r²

U' + 3 H (U + P) = 0

Все вместе для получения уравнения Фридмана

Уравнение Эйнштейна общей теории относительности связывает 10-мерный тэнзор энергии импульса с 20-мерным тэнзором Римановой кривизны, путем который более точно выражается в терминах последнего.
Однако в простом случае расширения вселенной оно сокращается к связи между двумя парами переменных:

Тэнзор энергии импульса представляется через плотность энергии U и давление P.
Риманова кривизна представляется пространственной кривизной R и кривизной пространства-времени R_t.

Отношение не включает в себя переменную H, которая не описывает прямое, локальную физическую величину.

Можна получить эту связь с уравнений приведенных выше, предполагая, что их члены пропорциональны, с коэффициентом пропорции который мы определим как 3G* ( G* = 8πG/c⁴, где G - гравитационная постоянная Ньютона):

G* U' = 3R'
G* (U + P) = 2R − 2R_t

Интегрируя первое уравнение получим

Λ + G* U = 3R

где Λ - космологическая постоянная. Это может быть использовано чтобы переопределить другое уравнение двумя упрощенными способами:

Λ− G* P	= R + 2 R_t
6 R_t	= 3Λ − 3R − 3G* P
6 R_t	= 2Λ − G* (U +3P)

Космологическая постоянная может быть формально исключена если взять G* U +Λ как новое определение G* U, и G* P − Λ как новое определение G* P.
Это может быть интерпретировано как скрытая комбинация постоянной плотности энергии и постоянной величини давления с отрицательным значением, которое не взаимодействует с обычным веществом кроме гравитационного воздейтвия: такие механические системы остаются инвариантными при расширении, как мыльная пленка пузыря может расширяться с постоянной плотностью поверхности энергии с постоянным поверхностным натяжением:

Наконец, с помощью уравнения R_t = r"/rc² получаем получаем закон эволюции расширения:

r" = r ((Λc²/3) − (G*c²/6) (U +3P))

Значение уравнения Эйнштейна

Можна рассмотреть систему двух уравнений Λ + G* U = 3R и Λ− G* P = R + 2 R_t которая показывает подобие между пространственными и временным измерениями, и том как они связывают кривизну Римана( симметрическая матрица размера 6×6, в даном случаем приводится к диагональной с тремя коэффициентами R и тремя R_t) с тэнзором энергии импульса( симметричная матрица 4×4, приводиться к диагональной с коэффициентами U( один раз) и тремя коэффициентами равными P):

U - временная компонента тэнзора энергии импульса. Она представляет плотность энергии, которую можна описать как "малый объем пространства" или "поток через этот объем" во временном направлении, где она сохраняеться; она связана с суммой трех компонент римановой кривизны вдоль направлений пространственных поверхностей в заданой системе координат, которые равны R.
Все 3 пространственные компоненты P_x, P_y, P_z на диагонали тэнзора энергии импульса равны P. Любое измерение силы которое возникает как поверхность в обычном пространстве, но это по сути 3-мерное пространство по отношению к временному расширению. Например P_x связано с суммой 3 компонент римановой кривизны в пространстве с координатами y,z,t (ортогонального к x) : R в направлении (y,z) , и две компоненты равные R_t в направлениях (y,t) и (z,t).

Эти 4 главные( диагональные) компоненты уравнения Эйнштейна Общей теории относительности, которые определяют в каждом событии 10-мерный тэнзор энергии импульса, как функцию 20-мерного тэнзора римановой кривизны. Оставшиеся( 6 недиагональных) компоненты этого уравнения, могут быть сведены к 4( или даже к одной из них) с помощью применения тех же отношений к другим координатным системах( повернутых всеми возможными способами вокруг рассматриваемой точки).

Интегральная форма уравнения

Эволюция расширения может быть представлена в интегральной форме(включая r' вместо r'') используя постоянное значение K = R.r² − r'²/c² которое игнорируется когда мы убираем производную:

3R = Λ + G* E/r³
− c²K = r'² − c² R r² = r'² − (c²Λ/3) r² − (c²G*/3) E/r
r'²/2 = (c²Λ/6) r² + (c²G*/6) E/r − c²K/2

Это напоминает уравнение движение частицы в поле потенциальной энергии, интерпретируемое следующим образом

− c²K/2 - "полная энергия" ( то есть нет другой энергии, или можно понимать как выражение геометрических величин, которые играют роль внутренней энергии в Общей теории относительности),
r'²/2 - "кинетическая энергия".
Таким образом "потенциальная энергия" это − c² R r²/2 = − (c²Λ r²/6) − (c²G*/6) E/r

Если Λ > 0, то тогда член − (c²Λ r²/6) может быть отброшен для малых значений r и будет главным членом для больших значений r. Так как потенциал создает движение расширения вселенной ведет себя как механическая система отклоняющаяся от точки нестойкого равновесия, то есть с экспоненциальной скоростью по отношению к времени, с временной характеристикой 1 / c√ Λ/3 .

Пусть

m = (4/3)πr³ρ - масса внутри шара с радиусом r, так что E= c²ρr³ = (3c²/4π)m
G = c⁴G*/8π

Тогда последний член "потенциальной энергии" это

− (c²G*/6) E/r = − G m/r

это ньютоновский гравитационный потенциал вокруг массы m.
Есть разница между класической ньютоновской теорией, например в том, что в данной ситуации m изменяется во времени, если P ненулевое.
.

Другие решения

Представим вселенную где материя( комбинация энергии и давления) является суперпозицией независимых состояний, каждое из которых имеет собственную пропорциональность между плотностью U и давлением P :

3P = α U.

U' = − 3 H (U + P) = − H (3+α)U
(ln U)' = U'/U = −(3+α)r'/r = −(3+α)(ln r)'

U пропорционально r^−(3+α)

Это вносит в потенциал вклад равный− (c²G*/6) U r², что пропорционально r^−(1+α)
Если "кинетическая энергия" r'²/2 была просто противоположна этой "потенциальной энергии", тогда r' будет пропорционально r^−(1+α)/2:
Исходя из выражений r пропорционально t^β . Имеем r' пропорциональное к t^β−1 = r^1−1/β. Таким образом α и β связаны соотношением

1−1/β = −(1+α)/2
1/β = (3+α)/2
β = 2/(3+α)

Частичными случаями являются

Космологическая постоянная, также называемая темной энергией, которая может рассматриваться как частичный случай при α = − 3, дающая потенциал r². С точки зрения главного вклада в потенциал, этот случай есть исключением: мы имеем деление на ноль; r "бесконечная сила" в t является по факту экспоненциальная функция времени.
Инэртная( холодная) материя(α= 0) дает ньютоновский потенциал 1/r. Главный вклад в потенциал делает r, которое пропорционально к t^2/3.
Возле Большого Взрыва были периоды доминирования гарячей материи и радиоактивной энергии, таким образом большинство энергии состоит из частиц которые движутся со скоростью близкой к скорости света.
В этом случае, P = U/3, то есть α=1. Действительно, E = U r³ пропорционально 1/r, которое можна интерпретировать как результат красного сдвига в радиоактивной энергии, так как расширение расширяет свою длину волны(это просто другая интерпретация красного смещения через относительную скорость).
Таким образом "потенциал" теперь пропорциональный - r^-2, и расширение доминирует свой вклад имеет r пропорциональное к √t.

Original English version : Expansion of the Universe in General Relativity
French version : Expansion de l’Univers en Relativité Générale
Back to :
List of physics theories
Set Theory and foundations of mathematics