Давайте начнем математику с введения некоторых простых понятий из цикла основ. Естественно начать с теории множеств, не полностью формализованной как аксиоматической теории. Давайте сначала объясним, что такое множество, дальше мы дополним картину еще другими понятиями и разъяснениями в контексте основ (теория моделей) и ее основные тонкости (парадоксы).
Константы
Символ константы – это символ, обозначающий уникальный объект, который называют ее значением. Примеры: 3, Ø, ℕ. В русском языке это имена собственные и названия.
Свободные и связанные переменные
Символ переменной (или просто переменная) – это символ без закрепленного значения. Каждая возможная интерпретация придает ему определенное значение и таким образом рассматривает его как константу.
Можно представить себе это как нечто, находящееся в пределах коробки.
Разнообразные «внутренние точки зрения», соответствующие возможным фиксированным значениям, можно рассматривать как абстрактные «места» в математической вселенной, в то время как последовательность состояний символов (константа, свободная переменная или связанная переменная), можно рассматривать в качестве первого выражения течения времени в математике: переменная связана, когда все разнообразные "параллельные места внутри коробки" (возможные значения) являются прошлым. Все эти места и времена являются чисто абстрактными, математическими объектами.
Диапазоны и множества
Диапазон переменной – это ее значение, когда она рассматривается как связанная: это знание (определение) всех ее возможных или допустимых значений, которые называются элементами этого диапазона.
Это «знание» является абстрактным объектом, который может охватить бесконечность объектов, в отличие от человеческой мысли. Переменная имеет диапазон, если его можно связать, т.е. когда возможен обзор, охватывающий все ее возможные значения. любой диапазон переменной называется множеством.
Кантор определял множество как «соединение в единое целое хорошо различимых предметов нашего созерцания или нашего мышления». Он объяснял Дедекинду : «Если совокупность элементов множественности можно представить как «существующие одновременно», так, чтобы их можно было воспринимать как «единый объект» (или «завершенный объект»), я называю это непротиворечивой множественностью или «множеством».»(Мы выразили эту «множественность» как множественность значений переменной). Он описал противоположный случай как «противоречивую множественность» где «признание совместного существования всех ее элементов ведет к противоречию». Но непротиворечивости не достаточно для того, чтобы дать общее определение множеств: непротиворечивость не означает истинности (противоположное этому заявление может быть истинно, но недоказуемо); факты непротиворечивости сами представляют собой распространенный случай недоказуемых истин (теорема о неполноте); и две множественности, которые отдельно друг от друга непротиворечивы, могут противоречить друг другу (Парадокс непреодолимой силы/Парадокс всемогущества).
Переменная пробегает множество, когда оно связано с этим множеством, как его диапазон. Любое количество переменных могут быть введены в пределах заданного набора, независимо друг от друга, и других переменных.
Систематическое переименование связанной переменной во всем объеме «коробки» в другой символ, не используемый в том же контексте (той же коробке), с тем же диапазоном, не меняет значения целого.
На практике, одна и та же буква может обозначать несколько отдельных связанных переменных (у которых отдельные коробки), которые могут принимать различные значения, так как их никогда не интерпретируют (свободно) вместе, и поэтому они не сравнимы. Обычный язык постоянно это делает, используя небольшое количество переменных символов («он», «она», «оно»...).
Функции
Функция – это любой объект f ведущий себя как переменная зависящая от другой переменной с диапазоном, обозначенным Dom f , называемого ее аргументом, диапазон которого обозначается символом Dom f : когда этот аргумент фиксированный (обозначенный как символ x), f превращается в константу (обозначена как f(x)). Другими словами, f содержит следующие данные:
Операции
Операция –это обобщенная функция к случаю конечного списка аргументов (переменных с данными относительными диапазонами), дающая результат (значение), когда все аргументы фиксированные. Число n аргументов называют его арностью; операция называется n-арной. Ее называют унарной, если n=1 (это функция), бинарной если n=2, тернарной если n=3... Нульарные операции бесполезны, поскольку их можно заменить их значением; мы увидим, как создавать операции с арностью > 1 посредством функций.
Значение бинарной операции f над ее фиксированными аргументами называется (со значениями, придаваемыми) x и y, обозначается f(x,y). Так что, вместо символов, аргументы представлены левым и правым положением в скобках, которые заполняются любым выражением, которое придает им желаемое значение.