1.2. Değişkenler, kümeler, işlevler ve işlemler
Gelin temellendirici döngüden kimi basit kavramları getirerek matematiğe başlayalım, bu kendine yeterli olabilir. Henüz belitsel bir kuram hâlinde formelleştirilmemiş bir küme kuramından başlanması doğaldır.
Önce bir kümenin ne olduğunu açıklayalım, sonra temeller (model kuramı) ile onun esas incelikleri (paradokslar) bağlamında daha çok kavram ve izahla resmi tamamlayacağız.
Sabitler
Bir sabit simge, değer denilen eşsiz bir nesneyi adlandıran bir simgedir. Örnekler: 3, ⌀, ℕ. İngilizce'de has adlar ve «the» ile başlayan (tümleçsiz tekil) adlar böyledir. Türkçe'de tekil şeylere verilen adlar böyledir.
Serbest ve bağlı değişkenler
Bir değişken simgesi (ya da bir değişken), sabitlenmiş bir değeri olmayan bir simgedir. Her mümkün yorum ona belirli bir değer verir ve onu bir sabit gibi görür.
Bir kutuyla çevrelenmiş gibi düşünülebilir, kutunun içinde çok sayıda koşut versiyon bulunur.
- İçeriden, değişken sabitlenmiş bir değere sahip gözükür, yani bir sabit gibi kullanılabilir : ona sabitlenmiş denir.
- Dışarı çıkıp bu değerin tek mümkün hâl olarak eşsizce belirlenmediğini ve değiştirilebileceğini anlamaya başlayınca, değişkene serbest deriz.
- Tamamen «dışarıdan» görüldüğünde, mümkün değerlerinin çeşitliliği tamamen bilinir sayıldığında (algılandığında), toplanmış ve bir bütün hâlinde işlenmeye hazır olduğunda, o değişkene bağlı denir.
Mümkün sabitlenmiş değerlere karşılık gelen çeşitli «içsel bakış açıları», matematiksel evrende soyut «yerler» gibi düşünülebilir, ve bir simgenin statülerinin sıralanışı (sabit oluşu, serbest değişken ya da bağlı değişken oluşu) matematikte zamanın akışının ilk ifadesi gibi görülebilir: bir değişken bütün çeşitli "kutunun içindeki koşut yerler" (mümkün değerler) geçildiği zaman bağlı olur. Bütün bu mekân ve zamanların kendileri saf soyut, matematiksel varlıklardır [entity].
Menziller ve kümeler
Bir değişkenin menzili [range], bağlı gibi görüldüğünde kazandığı anlamdır: mümkün ya da yetkilenmiş değerlerinin bütünselliğinin (toptan: sırasızca, bağlamlarını gözardı ederek) «bilgisidir», onlara bu menzilin öğeleri denir. Bu «bilgi» nesnelerin sonsuzluklarını kapsayabilecek soyut bir varlıktır, insan düşüncesi gibi değildir. Bir değişken bağlı olabildiği zaman bir menzile sahip olur, yani tüm mümkün değerleri üzerinde kapsayıcı bir bakış verildiği zaman.
Bir değişkenin herhangi bir menziline bir küme denir.
Cantor kümeyi «sezgi ya da düşüncemizin ayrık nesnelerinin bir bütün hâlinde gruplanması» diye tanımlamıştı. Dedekind'e şöyle izah etti : «Eğer bir çoğulluğun öğelerinin bütünselliği «eş zamanda varolan» gibi düşünülebilirse, bir «tek nesne» (ya da bir «tamamlanmış nesne») gibi kavranabilirse, ona bağdaşık bir çoğulluk ya da «küme» derim.» (Biz bu «çoğulluğu» bir değişkenin değerleri diye ifade ettik).
Buna zıt olan durumu «bağdaşmaz çoğulluk» diye tarif etti, öyle ki «tüm öğelerinin bir arada varolduğunu kabullenmek bir çelişkiye yol açar». Ama çelişkisizlik kümelerin genel tanımı için yeterli olamaz: bir beyanın çelişkisizliği onun geçerliliğini [truth] getirmez (zıt beyan geçerli ama kanıtlanamaz olabilir); çelişkisizlik olgularının kendisi kanıtlanamaz olabilir (tamamlanmamışlık savı); ve iki ayrı bağdaşık-bir-arada-varoluş birbirleri ile çelişebilirler (Dayanılmaz kuvvet paradoksu / Tümgüçlülük paradoksu).
Bir değişken bir kümeyi menzil alarak bağlı oluyorsa, onun bu kümeyi menzil aldığı [range over] söylenir. Verili bir kümeyi menzil alan, birbirlerinden ve başka değişkenlerden bağımsız, herhangi bir sayıda değişken getirilebilir.
Bir bağlı değişkeni tüm kutusu içinde sistematik olarak yeniden adlandırmak, aynı bağlamda (aynı kutuda) ve aynı menzilde kullanılmayan bir başka simgeye çevirmek, bütünün anlamını değiştirmez. Pratikte, aynı harf birçok ayrı (kutuları da ayrı) bağlı değişkeni temsil edebilir, bunlar çatışma olmadan farklı değerler alabilirler, çünkü bunlardan iki tanesinin bir arada serbest olup değerlerini kıyaslayacakları bir yer yoktur. Yaygın dil çok az sayıda değişken simgeler («o», «onlar», «bu»...) kullanarak bunu sürekli yapar.
İşlevler
Bir işlev, değişken gibi davranan herhangi bir f nesnesidir, öyle ki bu değişkenin değerini onun argümanı denen bir başka değişken belirler; argümanın f'nin muhiti [domain] denen ve Dom f adı verilen bir menzili vardır. Argümanı ne zaman sabitlenirse (bir isim alırsa, mesela x adını alırsa, ve Dom f'te bir değer alırsa), f bir sabit olur (f(x) diye yazılır).
Başka bir deyişle, f şu verilerden yapılmıştır:
- f'nin muhiti denen ve Dom f adı verilen bir küme
- Dom f'in her x öğesi için,
f(x) diye yazılan bir nesne, ki buna x'in f imgesi ya da f'nin x'teki değeri denir.
İşlemler
İşlem mefhumu tek argüman yerine sonlu argümanlar listesi (kendi menzilleri verilmiş değişkenler) kabul ederek işlev mefhumunu geneller. Böylece bir işlem tüm argümanları sabitlendiği zaman bir sonuç (bir değer) verir. Bir işlemin argüman sayısı n'e onun aritesi [arity] denir; işleme n-ary denir. Eğer n=0 ise (bir sabitse) nullary denir, n=1 ise (bir işlevse) unary denir, n=2 ise binary, n=3 ise ternary... denir
Nullary işlemler işe yaramaz çünkü eşsiz değerleri onlar yerine rol oynar; aritesi > 1 olan işlemlerin işlevler aracılığıyla nasıl inşa edileceğini göreceğiz.
Binary bir f işleminin x ve y adlı sabitlenmiş argümanlarındaki değeri (yani argümanlarına x ve y değerleri tayin edildiğindeki değeri) f(x,y) diye adlandırılır.
Genelde, simgeler yerine, argümanlar parantezin solu ve sağında boş bırakılır ki arzulanan değerlerini veren herhangi bir ifade ile doldurulabilsin.