Symétries de jauge

On a 2 bonnes interactions familières exprimables en terme de symétrie de jauge : l'électromagnétisme et la gravitation A chacune sa connexion sur son fibré.
Le choix d'un système de coordonnées incluant la fibre aboutit à traduire cette connexion par une forme linéaire à valeurs dans une algèbre de Lie.
Dans le cas de l'électromagnétisme c'est le quadripotentiel vecteur. Dans le cas de la gravitation c'est le symbole de Christoffel.
La fibre pour l'électromagnétisme c'est U(1) (en version classique on ne voit pas la cyclicité donc on peut mettre R). La fibre pour la gravitation c'est l'espace tangent.

Formulation de l'électromagnétisme classique basée sur le principe de moindre action

L'électromagnétisme classique est déductible du principe de moindre action, en attribuant au champ électromagnétique un lagrangien. C'est une étape de compréhension nécessaire pour passer de l'électromagnétisme à la QED.
Si je me souviens bien, je m'y était d'abord initié par le livre de théorie des champs de Landau et Lifschitz. Petit lien wikipedia.
L'image d'un trampoline déformée par un poids est assez parlante pour comprendre comment le champ de potentiel électrostatique est déformé par la présence d'une charge.
Ainsi la forme d'un trempoline minimise l'énergie totale (énergie du trempoline + énergie des charges qui pèsent dessus). L'expression du champ électromagnétique comme minimisant l'action, ne fait en quelque sorte qu'étendre le concept à une dimension de plus sauf que la charge devient vectorielle, en dualité avec un potentiel qui est une forme linéaire.
Il reste néanmoins quelques points à expliquer sur le lien entre l'histoire du trempoline et l'électrostatique car il y a des différences. En particulier des différences de signe. Reprenons les choses à la base.
On définit habituellement l'action comme intégrale sur le temps, de (énergie cinétique moins énergie potentielle).
A première vue ça semble bien puisqu'ainsi défini c'est minimisé par les mouvements réels. A posteriori ce choix de signe est malheureux puisque l'action est l'analogue quadridimensionnel de l'énergie potentielle, de sorte qu'il serait mieux de lui donner le même signe.
L'énergie mesure la variation de l'action lorsqu'on étire la région d'espace-temps dans la direction temporelle. Ainsi elle est en accord avec la contribution de l'énergie potentielle dans l'expression de l'action, parce que cette contribution se prolonge lors de cet étirement, proportionnellement à la durée (on intègre la même fonction sur une durée plus grande). Par contre le lien avec l'énergie cinétique prend le signe contraire parce que l'étirement temporel de la région d'espace-temps ne prolonge pas le mouvement mais le dilue, lui donnant une contribution à l'action inversement proportionnelle à la durée.
Dans le lagrangien du champ électromagnétique, l'énergie du champ électrique et celui du champ magnétique contribuent avec des signes opposés. Celui du champ magnétique est le même que l'énergie potentielle tandis que celui du champ électrique est opposé de la même façon qu'une énergie cinétique.
Et c'est pour la même raison : un étirement temporel prolonge le champ magnétique mais dilue le champ électrique. Donc malgré que l'énergie du champ électrique soit positive (la positivité de l'énergie étant une nécessité générale en physique) sa contribution à l'action ressemble à celle d'une énergie négative. C'est pour cela que les charges de même signe se repoussent tandis que des poids sur un trampoline s'attirent (et la force magnétique attire les courants de même signe).
L'écriture du principe de moindre action a la même forme entre le trampoline et l'électrostatique sauf que tous les signes changent uniformément.
Pour le trampoline ces 2 contributions sont celles normales de l'énergie potentielle : l'énergie potentielle du champ (déformation) et celle des charges dans le champ. L'énergie potentielle du champ du trampoline est positive, tandis que celle des charges dans le champ est déterminée comme étant celle qui équilibre cette première contribution. Ainsi l'énergie totale est négative mais c'est normal (énergie potentielle de gravitation négative due à un total de l'énergie légèrement inferieur à mc2)
Par contre dans l'électrostatique l'énergie du champ électrique contribue négativement pour un total positif dû, pour la même raison d'équilibre, à l'énergie potentielle des charges dans le champ. Le truc est que cette énergie potentielle des charges dans le champ électrique, qu'on a besoin d'écrire dans l'expression de l'action, n'est qu'une quantité fictive à cause de l'invariance de jauge. Pour expliquer l'énergie totale comme formée de vraie énergie il faut réécrire son expression
Energie écrite à partir de l'action = énergie potentielle des charges moins énergie du champ
ce qui est en fait égal à la vraie énergie à savoir celle du champ.
1 - 1/2 = 1/2

Liens entre QED et électromagnétisme classique

QED est plus riche en concepts que l'électromagnétisme. Leur différence est affaire de préciser les conditions dans lesquels les aspects supplémentaires de QED se manifestent, qui sont en gros de regarder à l'échelle "microscopique" mais une telle caractérisation est très approximative.
La "déduction" de l'électromagnétisme à partir de QED est triviale, c'est juste un passage à la limite qui n'ajoute rien et ne fait que supprimer une partie des subtilités

En quel sens la symétrie de jauge de l'électromagnétisme est U(1)

écrivant une transformation de jauge de l'electromagnetisme sous la forme de l'équation (1) de cet article wikipedia, le psi de cette équation est le champ scalaire de l'espace-temps qui mis dans exp(i../hbar) donne le changement de phase à opérer sur la fonction d'onde d'une particule chargée
The Hamiltonian of a charged particle in a magnetic field

Question sur le statut de la charge comme observable en physique quantique

Question : Sous quelle condition une grandeur fait partie de l'état quantique (sous quelle condition une grandeur donnée a cette possibilité de superposition de valeurs suivant la logique quantique)? par exemple position c'est possible, vitesse c'est possible, charge électrique non a priori.
Réponse : la distinction n'est pas vraiment absolue mais plutôt genre pratique. En effet on peut proposer dans un premier temps de dire que la charge est absolument observable car elle se conserve... donc différentes valeurs de la charge ne peuvent pas se superposer, ou pour le dire autrement, on ne peut pas effectuer d'observation qui ne commute pas avec cette mesure, de sorte que la séparation des cas est valable.
Mais si on dit cela on peut alors se demander pourquoi le même raisonnement ne s'appliquerait pas à la quantité de mouvement, qui se conserve aussi.
Je dirais que la différence vient notamment de la manière par laquelle on entreprend de définir la distinction entre un système particulier à étudier localement, et le reste de la nature. En effet on ne pourrait guere formuler les lois de la physique en parlant de l'univers entier, on est obligé en pratique de ne parler que d'un petit système. Donc, comment isole-t-on un système pour formuler son comportement ?
En pratique on isole un système ayant une charge bien définie. Cela pour des raisons de formulabilité, et malgré qu'en réalité, un système donné se trouve dans une superposition d'états, à savoir que si on change de point de vue en le regardant comme partie d'un système plus grand on trouve une superposition quantique de possibilités : un électron peut passer par là ou non, de sorte que la charge du sous-système est indéterminée.
Aussi le caractère discret de la charge permet de séparer les valeurs plus naturellement tandis que le caractère continu de l'impulsion oblige à inclure les superpositions, d'autant plus qu'on considère un système local, dont la finitude naturelle de l'indétermination en position interdit une détermination infiniment précise en impulsion.
En mécanique quantique non-relativiste on ne peut pas naturellement définir d'observable qui ne commuterait pas avec la mesure de la charge dans un système particulier, l'invariance de jauge entrainant une certaine forme d'impossibilité... toute mesure non commutant avec la charge d'un système devant être basée sur les possibilités d'échange de charge avec un autre système suivant des manières à préciser (comme par exemple l'éxpérience de la double fente, où chaque fente se trouve dans une superposition d'états présence/absence d'une particule).
Mais il en va un peu différemment en QED: la mesure de la charge est difficile à définir en QED du fait de la difficulté à définir le découpage de la nature entre un système dont on considèrerait la charge, et le reste de l'univers.
Plus on voudrait employer des ciseaux fins et puissants pour découper précisément un système considéré (région d'espace-temps) dont on voudrait mesurer la charge électrique intérieure, plus ces ciseaux produiraient dans leur travail des étincelles de paires électrons-positons brouillant la mesure qu'on voulait faire. De là, les histoires de renormalisation de la charge de l'électron (constante de structure fine) qui varie suivant l'échelle d'analyse considérée.
Page principale : fondements des mathématiques et de la physique