Для завершения посвящение в основы математики, следующие страницы философских дополнений (от этого к концепции истины в математике), покажут одни из самых глубоких моментов основ математики: их философские и интуитивные аспекты (многие из которых могут быть не до конца поняты, но это не из-за того, что не хорошо объясняется специалистом, а потому что такие философские вопросы не легко видеть, как объекты научных работ). Это включает:
Эти вещи не являются необходимыми для части 2 (теория множеств, продолжение Интуитивно понятные представление и абстракция
Из-за того, что математические системы «существуют», независимо от какого-либо конкретной ощущения, мы должны их как-то представить. Различные способы могут быть использованы и они могут быть эквивалентными (давая те же результаты), но с различными степенями релевантности (эффективности), что может зависеть от целей. Идеи, как правило, сначала появляются как более или менее наглядные интуиции, нежели как выраженые формулы и буквенные предложения. Для того, чтобы освободиться от ограничений конкретной формы представления, есть путь развития других форм представления и упражнения, чтобы перевести понятия между ними. Само по себе математическое приключение полно преобразованиями между формами представления.
Платонизм против формализма
В этом многообразии подходов к математике два философских взгляда традиционно отличаются.
Философы обычно представляют их как противоположные, несовместимые системы верований, кандидат истины о реальном характере математики. Тем не менее, оба мнения, оказываются необходимыми и взаимодополняющими аспектами основ математики. Давайте посомтрим как.
Конечно, человеческая мысль не имея бесконечных возможностей, не может полностью работать в реальности, но только таким образом, эквивалент формальных аргументаций развивался их некоторых основ; эта работа формализации может предотвратить возможные ошибки интуиции.
Но нельзя держать чисто формальный вид, потому что
Еще одна причина для их примирения, является то, что они не находятся в каком-то глобальном споре, чтобы описать всю математику, но их акции релевантности зависит от конкретных рассматриваемых теорий.
Реалии против аксиоматических теорий в математике и других науках
Интерпретации слова «теория» может варьироваться между математическими и нематематическими отношениями.
Теории могут отличаться объектами и по своей природе:
Теории могут также отличаться от платонизма или формализма тем, что лучше всего описывает их предполагаемое значение:
Реалистичная теория стремится описать фиксированную систему, заданную в независимой реальности, так что любая из своих основных формул (утверждений) будет либо безусловно верной или неверной, как определенная в этой системе (но правда нематематического утверждения может быть неоднозначным, т.е. плохо определены для данного реальной системе). С этой целью, теория будет построена путем предоставления первоначального списка формул под названием аксиомы. Таким образом, теория будет справедливой, если все ее аксиомы действительно верны в предполагаемой системе. В этом случае, ее логические последствия (теоремы, выведенные из аксиом) также будут справедливы в предполагаемой модели. Это, как правило, хорошо обеспечивается в чистой математике, но может быть спекулятивным и в других областях. В реалистических теорий за пределами чистой математики, предназначенная реальность, как правило, контингент среди альтернативных возможностей, что (в прикладной математике) в равной степени возможно с чисто математической точки зрения. Если (список аксиом) теории не соответстввуют определенной реальности, то такая теория называется фальсифицированной.
Аксиоматическая теория - теория со списком аксиом, которые определяют выбор рассматриваемых моделей. Этот выбор может содержать неограниченное разнообразие возможных моделей, которые остаются в равной степени реальными и законными интерпретациями. Из определения, что такое модель, истина теории аксиом автоматическая в каждой модели. Все теоремы (выведенные из аксиом) также верны в каждой модели. В чистой математике, обычные функции обоих возможных ролей теорий автоматически защищают их от риска быть «ложным» так долго, как формальные правила соблюдаются.
Недействительные теории за пределами чистой математики могут описать или классы действительных систем, или быть произведениями художественной литературы, описывающие мнимые или возможные будущие системы. Но это различие между реальнымыми и воображаемымами системами не существует в чистой математике, где все возможные системы одинаково реальны. Таким образом, аксиоматические теории чистой математики преследуют цель описать математическую действительность.
Различные модели могут быть не эквивалентными в том смысле, что неразрешимые формулы могут быть истинными или ложными в зависимости от модели. Различные последовательные теории могут «согласиться» без конфликта, если все истинные описания различных систем, которые могут в равной степени «существовать».
На примере евклидовой геометрии, в роли первой физической теории, реальное физическое пространство более точно описывается неевклидовой геометрии общей теории относительности. Точно так же, биология по отношению к огромному количеству случайных вариантов, накопленных природой на Земле в течение миллиардов лет.
Реалистичные и аксиоматические теории появляются в чистой математике, в разных частях основ математики, и будут представлены в разделе концепций истины в математике.
Но давайте сначала объясним наличие чисто математического течения времени (независимо от нашего времени) в теории моделей и теории множеств.