Интерпретация времени
Как теория одной модели описывает теорию T с моделью M, так компоненты своей модели (понятия и структуры), которые мы обозначим как [T,M], на самом деле делятся на 3 категории:
Последняя (интерпретация выражений), является математической конструкцией, определенная комбинацией обеих систем T и M, но они напрямую не содержатся в этих данных.
Метафора в обычное время
Я могу говорить «то, что я сказал в то время»: это имеет смысл, если, то о чем я говорил, имело сымсл и я помню его. Однако упоминание «то, что я имею в виду», само по себе не сообщает о том, что это, это может быть всем чем угодно, и становится абсурдным в фразе, которая изменяет или противоречит этому смысл («противоположное тому, что я говорю»). Упоминание «то, что я буду помнить завтра», даже если бы я знал, что я скажу, не будет достаточным, чтобы обеспечить его смыслом, либо: в случае, если я буду упоминать «то, что я сказал вчера» (таким образом, в настоящее время) сделало бы порочный круг; но даже если форма моего будущего гарантирует, что его смысл будет существовать завтра, это будет по-прежнему не обеспечивает его существования сегодня. Я мог бы попытаться спекулировать на этом, однако, я могу предположить, что действительное значение будущих заявлений будет возникать только один раз выраженное в контексте. В отсутствие интереса, чтобы описать фразы без их смысла, мы должны скорее ограничиться изучением последних выражений, в то время как "живым" является только настоящее и игнорируется будущее.
Так, моя текущая вселенная прошлого, которую я могу описать сегодня, включает в себя одну из вчерашнего дня, но также мои вчерашние комментарии о ней и их значении. Я, таким образом, могу описать сегодня вещи за пределами вселенной, которые я мог описать вчера. Тем временем я ни научился говорить на марсианском, ни приобрел новый трансцендентный интеллект, но тот же язык относится к более широкой вселенной с новыми объектами. Поскольку эти новые объекты имеют те же виды, как и старые, моя вселенная сегодня может выглядеть, как и вчера, но и разных вселенных, одни и те же выражения могут иметь разные значения.
Как историки, математические теории могут только «в каждый данный момент» описывать вселенную математическими объектами из прошлого, в то время как сама эта интерпретация «происходит» в математическом настоящем вне этой вселенной.
Даже если описания «вселенной всех математических объектов» (модель теории множеств), значит, описывать все это «все», что описывается, в любое время вселенной, это является частью прошлого; наш акт интерпретации выражения формирует наше настоящее за пределами этого прошлого. А потом, описывая наш предыдущий акт описания, означает добавление к этому предыдущему описанию (это «все» описано) что-то еще за ним.
Конечное время между выражен
Учитывая модель, выражения не получают интерпретации все сразу, а только один за другим, потому что эти интерпретации зависят друг от друга, таким образом, должны быть рассчитаны друг за другом. Этот порядок времени интерпретации между выражениями, следует иерархическому порядку от подвыражений к выражениям, содержащих их.
Возьмем, например, формула xy+x=3. Для того, чтобы это имело смысл, переменные x и y должны принимать значение в первую очередь. Затем, xy принимает значение, полученное путем умножения значения x и y. Затем, xy+x принимает значение, основанное на предыдущих. Затем вся формула (xy+x=3) принимает логическое значение (истина или ложь).
Но эта величина зависит от т, какая из переменных x и y свободная. Наконец, принимая, например, основную формулу ∀x, ∃y, xy+x=3, ее логическое значение, «рассчитывается» из предыдущей формулы для всех возможных значений x и y.
Бесконечное время между теориями
Конечный список формул в теории может быть истолкован одной большой формулой, содержащей их всех. Требуется только успешно интегрировать (или описать) все индивидуальные формулы из списка в одну большую, при этом нет необходимости представлять формулы как объекты (значения переменной). Это большая формула приходит (интерпретируется) после них всех, но по-прежнему принадлежит к той же теории. Модель, охватывающая современную теории с интерпретацией всех формул в текущей модели будет следующей вселенной прошлого, как это будет когда бесконечность текущих интерпретаций, станет прошлым.
Может ли это быть иначе? Будет ли это возмжножно для текущей теория выразить или, по крайней мере имитировать понятие собственных формул и вычислить их значения?
Как поясняется в 1,7, некоторые теории, на самом деле в состоянии описать себя: они могут описать в каждой модели систему, как копию той же теории, с понятием "всех его формул". Однако, согласно теореме правда неопределимости, нет единой формулы, которая может когда-нибудь дать правильные логические значения для всех объектов копий основных формул, в соответствии со значениями этих формул в той же модели.
Это бесконечное время между теориями, будет развиваться как бесконечная иерархия бесконечностей.
Парадокс Зена
Ахиллес бежит за черепахой; всякий раз, когда он пересекает расстояние до нее, черепаха занимает вперед новую длину.
Смотря с высоты, автомобиль, проехавший по горизонтальной дорожке приближается к горизонту.
Частицы отправленные в ускоритель все ближе и ближе к скорости света.
Достигнут ли они конца?
Каждый пример можно увидеть в двух способах:
И в каждом примере, физическая мера «стоимости» подходит и в конечном итоге достигает намеченного конца, решает, что это «верная» интерпретация, не смотря на то, будет ли эта цена конечной или бесконечной, которая может отличаться от первого приближения. Но мир математики, свободный от всех физических затрат и где объекты играют только обычные роли, может принять обе интерпретации.
Каждая общая теория является «закрытой», так модель можно увидеть в целом: его использования связующих среди типов (или классов), «достигает конца» своей модели, и, таким образом он является «закрытым». Но любая возможная основа для него ускользает от этого целого.
Как это было объяснено в 1,7, теория множеств имеет несколько возможных моделей: от изучения данного мира множеств, мы можем перейти к большему с большим количеством множеств (которые мы назваем мета-множествами) и новых функций между новыми множествами.
Это может быть повторяться бесконечно,но нам нужна «открытая» теория, которая интегрирует каждую вселенную, описанную в теории, как часть (прошлое) более поздней вселенной, формируя бесконечную последовательность растущих реалий, без видения какой-либо определенной совокупности. Эту роль в открытой теории будут играть теория множеств, используя в выражениях только связанные переменные на множествах (см. 1.8).