1.1. Matematiğin temellerine giriş
Matematik ve kuramlar
Matematik öğesel nesne sistemlerinin çalışılmasıdır; bu sistemlerin tek tabiatı kesin olmaktır,
muğlak olmamaktır (iki nesne eşittir ya da farklıdır, ilişkilidir ya da değildir; bir işlem kesin
bir sonuç verir…).
Böyle sistemler olağan dünyamızdan bağımsız hâlde tasavvur edilirler,
gerçi birçoğu olağan dünyanın çeşitli yönlerine benzeyebilir (böylece onları
tarif etmekte kulanılırlar). Bir bütün olarak matematik, bu türde (kesin nesneleri
olan) «tüm mümkün dünyaların bilimi» gibi görülebilir.
Matematik çeşitli dallara ayrılmıştır, her matematiksel çalışmada örtük ya da alenî
çerçeveler vardır, ve bunlar (belitsel [axiomatic]) kuramlar hâlinde
formelleştirilebilir. Her kuram sabit olması gereken bir nesneler (dünyası)
sisteminin çalışılmasıdır, bu sisteme o kuramın modeli denir.
Ama kuramdaki modellerden her biri onun mümkün yorumlamalarından, bir o kadar
meşru başka modeller içinden sadece bir tanesi olabilir [may be].
Kaba bir örnek verirsek, bütün kağıt sayfalar maddî nokta sistemleridir, aynı Öklit düzlem
geometrisi kuramına ait modellerdir, ama birbirlerinden bağımsızdırlar.
Temeller ve gelişmeler
Her kuram bir temel ile başlar, bu da modellerine (tür ya da şekillerine) dair ne bildiğini
ya da varsaydığını tanımlayan tarif parçaları listesinin verisidir. Burada bulunan belitler
denen bir formüller (beyanlar) listesi, modellerde gereksinilen özellikleri ifade eder, yani
kabul edilen modelleri seçer, belitlerin yorumlanabildikleri tüm mümkün sistemler kümesi
içinde belitlerin geçerli [true] olduğu sistemleri seçer.
Sonra, bir kuram üstüne çalışma kimi mümkün gelişmelerinin seçimiyle ilerler: bunlar
verili temelden sonuçlanan, modeller hakkında yeni kavramlar ve bilgilerdir, bir sonraki
temeli biçimlemek için üzerine ekleyebileceklerimizdir.
Özel olarak, bir kuramın savı [theorem], kuramın belitlerinden çıkarılan bir formüldür,
öyle ki onun tüm modellerinde geçerli [true] olduğu bilinir. Savlar bir kuramın belitler
listesine anlamını değiştirmeden eklenebilirler.
Başka (henüz seçilmemiş) mümkün gelişmeler daha sonra gene işletilebilir, çünkü
temelin onları üretebilen kısmı muhafaza edilir. Böylece bir kuramın mümkün
gelişmelerinin bütünselliği, onları işlemek için seçilen sıralamadan bağımsız olarak,
zaten bu gelişmelerin keşfettiği bir tür «gerçeklik» biçimler (sonra Tamamlanmışlık savı
nihayet gösterir ki mümkün savlar kümesi daha ilginç bir gerçeklik olan mümkün
modellerin çeşitliliğini tam anlamıyla yansıtır).
Savlar arasında mümkün hiyerarşiler vardır, bazıları öbürleri için daha temellendirici bir rol oynar.
Örneğin birçok savın temelleri arasında ortak bir kısım, gelişmeleri herkese uygulanabilen daha
basit bir kuram biçimleyebilir.
Asıl iş, basit bir ilk dayanaktan, daha tamamlanmış bir temel geliştirmektir, donandığı verimli
araçlarla ilginç gelişmelere daha doğrudan yollar açan bir temel geliştirmektir.
Temeller döngüsü
Matematiksel nesnelerin tabiatındaki basitliğe rağmen, tüm matematiğin genel temelinin
oldukça karmaşık olduğu görülür (gerçi fizikteki herşeyin kuramı kadar kötü değildir).
Nitekim bu temel kendi başına bir matematiksel çalışmadır, matematiğin bir dalıdır, buna
matematiksel mantık denir. Diğer her dal gibi bu da nesne sistemleri hakkında tanımlamalar
ve savlardan oluşur. Fakat onun nesnesi tarif edilebilecek sav ve sistemlerin genel biçimi
olduğundan, tüm matematik dallarının genel çerçevesini sağlar… kendisi dahil.
Ve ele alınan her temelin çerçeve ya da temelini sağlamak için (varsayılan bir temelden yola
çıkan sıradan matematiksel işlerden farklı olarak), tam anlamıyla bir çıkış noktasına benzemez,
daha basit ve daha zor adımlardan oluşan bir nevi geniş döngüye benzer. Yine de bu temeller
döngüsü matematikte temellendirici bir rol oynar, matematiğin çok çeşitli dallarına ihtimamlı
çerçeveler ve birçok kullanışlı kavram sağlar (çok çeşitli felsefî sorulara araç, ilham ve cevaplar sağlar).
(Her kelimeyi başka kelimelerle tanımlayan sözlüklere benzer, ya da sonlu sistemlerin bir başka
bilimine: bilgisayar programlamaya benzer. Nitekim bilgisayarlar da sadece kullanılabilirler, ne
yaptığını bilerek ama niye işe yaradığını bilmeyerek kullanılabilirler; işleyişleri bir dilde yazılmış
yazılıma dayanır, sonra başka yazılımlarla derlenirler, donanım ve işlemci bilgisayar yardımıyla
tasarlanmış ve üretilmiştir. Bu da bu sahanın doğumundan çok daha iyidir.)
İki kuramın hakimiyeti altındadır:
- Küme kuramı «tüm matematiksel nesneler» evrenini tarif eder, en basitten en karmaşığa
kadar, sonsuz sistemlere kadar (sonlu bir dilde) tarif eder. Kabaca tek bir kuram gibi görülebilir,
ama ayrıntılarda (her zaman birbirine eşdeğer olmayan) mümkün değişkelerin [variant]
sınırsız çeşitliliğine sahip olacaktır.
-
Model kuramı (kendi formelliklerini simge sistemleriyle tarif eden) kuramların genel kuramıdır,
ve onların mümkün modelleridir.
Her biri öbürünü formelleştirmek için doğal çerçeveyi verir: her küme kuramı model kuramınca
tarif edilen bir kuram hâlinde formelleştirilir: model kuramı, doğrudan bir kuram hâlinde
gelmektense, küme kuramının (kuramları ve sistemleri karmaşık nesneler hâlinde tanımlayan)
bir gelişimi hâlinde gelir. İki bağlantı ayrı ayrı ele alınmalıdır: küme kuramının iki rolü, model
kuramının dayanağı olma rolü ile model kuramının çalışma nesnesi olma rolü, ayırt edilmelidir.
Ama bu formelleştirmelerin tamamlanması uzun bir çalışma gerektirir, özellikle de şu son parçada:
-
Kanıt kuramı, her kuramın savlarını veren kanıtlar için bir mümkün formel sistem tarif ederek
model kuramını tamamlar. Bir kuram savları birbiriyle asla çelişmiyorsa bağdaşıktır. Bağdaşmaz
kuramların hiçbir modeli olamaz, çünkü aynı beyan aynı sistemde hem geçerli [true]
hem geçersiz [false] olamaz.
Model kuramı ve kanıt kuramı özü itibariyle eşsizdir, kuram kavramlarına, savlarına ve her
kuramın bağdaşıklığına net ve doğal bir anlam verirler.
Thanks
Işık Barış Fidaner for the translation
Other languages :
EN −
FR −
RU −
ES