Expansion de l'Univers en Relativité Générale

Expansion de l’Univers en Relativité Générale

Une dérivation simple des équations de Friedmann

La structure mathématique de l'expansion de l'Univers suivant la Relativité Générale, est remarquable pour être à la fois :

Suffisamment générale pour essentiellement contenir l'équation d'Enstein de la Relativité Générale avec sa preuve ;
Suffisamment simple (de par ses symétries) pour que tout cela puisse s'exprimer de façon concise, élémentaire et auto-suffisante, s’exprimant à l’aide de tenseurs des objets concernés.

Elle peut ainsi servir de bonne introduction à la Relativité Générale.

(Une introduction plus complète à la relativité générale sera développée plus tard).

Prérequis nécessaire : les différentes notions de courbure en géométrie.

Principe cosmologique

Ce principe dit que l’univers est

Uniforme (tous les lieux sont similaires) : la distribution de masse est homogène, il n’y a pas de centre, toutes les galaxies sont supposées obéir à l’expansion générale, tout se produit de la même façon du point de vue de l'une ou l'autre galaxie.
Isotrope (en chaque lieu, toutes les directions sont similaires) : chaque galaxie, à tout instant, voit chacune des autres galaxies s’en aller de manière radiale, à une vitesse dépendant seulement de la distance qui les sépare (la vitesse est proportionnelle à la distance suivant l'approximation où la distance et la vitesse sont faibles, respectivement comparées à la taille de l'univers visible et la vitesse de la lumière; et aussi si elles sont grandes si on définit leur valeur exacte de la manière précisée plus bas).

Bien sûr, ce principe n’est pas exactement vrai dans notre univers (il y a des inhomogénéités locales), mais c’est une approximation relativement bonne aux grandes échelles. Nous allons donc ici le supposer vrai, pour obtenir simplement une première approximation décrivant l’expansion de l’univers.

L’équation géométrique

Introduction des variables

Le temps

Les propriétés de l’espace-temps et de la matière seront décrites par des variables qui sont des fonctions implicites du temps t défini comme étant l’âge de l’univers (l’âge d’une galaxie depuis le Big Bang, dont le mouvement a suivi l’expansion de l’univers).

La dérivée de chaque variable par rapport au temps sera notée par le symbole prime ( ').

Distance

Comme t est une fonction (champ) dans l’espace-temps, chaque valeur de t coupe l’espace-temps par un sous-espace S à 3 dimensions de type espace (i.e. sans extension temporelle), constitué de toutes les galaxies à l’âge t (qui ressemble donc à l’espace usuel).

Tous les espaces se correspondent (sont l'image les uns des autres) par de simples changements d'échelle. Ainsi, ils peuvent être représentés par la même carte tridimensionelle de galaxies dans l'univers, qui est localement fidèle (montrant comment les galaxies se rapportent à leurs voisines, vue par un observateur local suivant l'expansion), avec une échelle qui dépend du temps. Cette carte possède sa propre géométrie à trois dimensions de type espace (localement euclidien en première approximation, et avec une courbure constante grâce au principe cosmologique, donc soit euclidien, soit sphérique ou hyperbolique en fonction du signe de la courbure).
Dans ce plan, on peut considérer des surfaces et des triangles.

Fixons un choix de 2 galaxies, et définissons la variable r comme désignant leur distance dans S. Donc, r est définie en additionnant les petites distances dans une chaîne de galaxies intermédiaires alignés entre les deux, toutes prises au même âge. Ou pour justifier le même formalisme d'une autre façon, on peut simplement prendre 2 galaxies proches de sorte que r sera "petit" (elles peuvent échanger de la lumière en un temps "court" par rapport à l'âge de l'univers) et les propriétés seront considérées relativement à cette approximation.

Le coefficient de Hubble

La "constante" de Hubble (qui varie aussi dans le temps) est

H = r'/r

et est indépendante du choix conventionnel de galaxies dont la distance définit r (un autre choix multiplie r par un même nombre au cours du temps, laissant H inchangée comme fonction du temps).

Courbure de l’espace-temps

Du fait des symétries de l’espace-temps dictées par le principe cosmologique, parmi les 20 composantes de la courbure de Riemann de l’espace-temps autour d’un point dans un système de coordonnées locales, seules 6 seront non nulles. Ce sont les éléments diagonaux de la matrice 6×6 de courbure de Riemann, et correspondent aux effets de la courbure de l’espace-temps, sur les courbures de Gauss de petites surfaces dans chacune des 6 directions des surfaces (suivant les paires d’axes de coordonnées).

De plus, pour la même raison, ces 6 composantes peuvent être résumées en 2 variables :

Les 3 composantes « purement spatiales » (de directions (x,y), (x,z), (y,z)) ont la même valeur, que nous noterons ici R. C'est la courbure gaussienne autour de tout point d'une "petite" surface de type spatiale, qui est extrinsèquement "droite" ou "plate" (sa courbure extrinsèque est nulle). L'annulation de la courbure extrinsèque dans la 3ème dimension spatiale est naturelle ici pour des raisons de symétrie, mais la courbure extrinsèque dans la direction temporelle doit être considérée, étant proportionnelle au mouvement d'expansion (comme l'expansion universelle) des instruments qui mesurent cette surface comme étant dans une direction "purement spatiale", comme ensemble d'évènements "simultanés". Mais S est incurvée dans la dimension temporelle par l'expansion universelle. Ainsi, la composante R «purement spatiale" de la courbure espace-temps, diffèrera de la courbure intrinsèque de S. La mesure correcte de R nécessite de prendre une surface «plate» (de courbure extrinsèque nulle) tangente à S au point considéré, et peut être définie comme instantanée relativement à un appareil sans mouvement d'expansion, au lieu d'utiliser la variable de temps t.
Les 3 courbures dans les directions spatio-temporelles (les directions (x,t), (y,t), (z,t)), se manifestent par la décélération de l’expansion. En effet, considérons une seule dimension spatiale, à laquelle on ajoute un "temps" sous forme d'une deuxième dimension spatiale, et donnons à cet espace bidimensionnel une géométrie sphérique (ou plus généralement, une géométrie invariante par rotation autour d'un pôle), où la coordonnée de temps t est la latitude (distance au pôle), les espaces S de chaque instant (de « direction spatiale ») sont les parallèles (et l'équateur), et le rôle de lignes d'univers des galaxies (de « direction temporelle ») est joué par les méridiens. Définissons la «distance» r entre deux méridiens donnés par la longueur d'arc du parallèle qui les relie. Alors, en parcourant un méridien (à vitesse constante conventionnellement égale à 1), la courbure de Gauss de la sphère « accélère » attractivement (freine) la croissance de r, proportionnellement à r. Donc cette courbure gaussienne est définie par −r"/r. En effet, est l'angle entre les directions temporelles des deux galaxies, mesuré par transport parallèle le long de S, donc −r" est le flot d’angles reçu du transport parallèle autour d’une surface d'espace-temps (le segment entre 2 galaxies, étendu dans le temps) dont l’aire entre les temps t₁ et t₂ augmente à la "vitesse" r (quand t₁ est fixe et t₂ varie), qui est le flux d'aire balayée par son bord t=t₂, arc de parallèle de longueur r, progressant à vitesse unité quand t₂ varie. Mais pour donner à cette quantité (courbure gaussienne d'espace-temps) le même type qu’une courbure gaussienne spatiale en convertissant convenablement les quantités d'espace et de temps, on définit

R_t = r"/rc²

Ecriture de l’équation

Soit une troisième galaxie telle que, dans S à chaque instant, l'aire du triangle formé par les 3 galaxies est r². Cette propriété est conservée au cours du temps (avec les mêmes galaxies), l'aire d'une surface en expansion restant proportionnelle à r².
Soit

K = (∑ angles) − π = k.r²

où k est la courbure intrinsèque (gaussienne) du triangle, et les angles sont définis dans S, donc sont fidèles à la façon dont chaque galaxie voit naturellement les deux autres galaxies dans son ciel nocturne.
La courbure gaussienne de ce triangle est une somme de deux contributions :

k = R + h

où R est la courbure intrinsèque de l'espace-temps dans les directions spatiales (expliquée ci-dessus), et h est la contribution due à la courbure extrinsèque de S dans la dimension temporelle. Cette courbure extrinsèque est donnée par le coefficient de Hubble H = r'/r.
En effet, H est le rapport entre l'angle r' entre les vecteurs temps (orthogonaux à S) en des points de S proches l'un de l'autre, et leur distance r. Ceci décrit comment les choses se passent dans une tranche épaisse d'espace-temps entre S successifs, sans tenir compte du reste de l'espace-temps.

Il contribue à la courbure intrinsèque de S par son carré: h = − H²/c²

Le coefficient de cette formule est celui nécessaire pour ajuster les types de quantités, par la conversion générale entre les quantités d'espace et de temps:

Dans un espace-temp plat euclidien, r serait proportionnel à t de sorte que H=1/t. Alors S serait une sphère de rayon t en unités de temps, ou c't en unités spatiales, et de courbure extrinsèque 1/c't = H/c' qui contribue à la courbure gaussienne par son carré H²/c'². Enfin, la règle de substitution c'² = − c² donne le résultat.
Cette contribution a un signe négatif, puisque dans la géométrie de Minkowski (dans un espace-temps de Minkowski plat), une "sphère" avec un rayon de type temps, est un hyperboloïde à deux nappes, dont la géométrie (donnée par l'espace-temps de Minkowski ambiant, à ne pas confondre avec un hyperboloïde à deux nappes dans un espace euclidien) n'est pas sphérique mais hyperbolique, avec une courbure gaussienne négative constante − H²/c².

Nous obtenons finalement l'équation géométrique

K = (R − H²/c²).r² = R.r² − r'²/c²

Comme chaque galaxie voit l'autre galaxie fuyant radialement, chaque angle du triangle reste constant. Ainsi K est également constant au cours du temps, sa dérivée est 0 :

R'.r² + 2 Rrr' − 2r'.r"/c² = 0
R' + H (2R − 2R_t) = 0

L'équation mécanique

Introduisons les notations

ρ = densité de masse
U = c² ρ = densité d'énergie
E = U r³ = énergie dans une portion d'espace en expansion de volume r³
P = pression.

Le travail de P sur ce volume en expansion, "consomme" son énergie interne au rythme

−E' = P(r³)' = 3 P r'r²E' = (U r³)' = U'r³ + 3 Ur'r²

U' + 3 H (U + P) = 0

Les équations de Friedmann

L'équation de la relativité générale d'Einstein relie les 10 composants du tenseur énergie aux 20 composants du tenseur de courbure de Riemann, d'une manière qui plus précisément exprime les premiers comme fonction des seconds.
Mais, dans le cas simple de l'expansion universelle, ceci se réduit à une relation entre les deux paires de variables:

Le tenseur d'énergie est représenté par la densité d'énergie U et la pression P.
La courbure de Riemann est représentée par la courbure spatiale R et la courbure d'espace-temps R_t.

La relation n'invoquera pas la variable H, qui ne décrit pas directement une grandeur physique locale (mais seulement la variation de notre système de coordonnées).

Nous allons obtenir cette relation à partir des équations ci-dessus, en supposant leurs termes proportionnels, avec un coefficient de proportionnalité que nous définirons comme 3/G* (en fait G* = 8πG/c⁴, où G est la constante de gravitation de Newton) :

G* U' = 3R'
G* (U + P) = 2R − 2R_t

Integrant la première équation on obtient

Λ + G* U = 3R

où Λ est la Constante Cosmologique. Ceci permet de ré-exprimer l'autre équation de 2 manières:

Λ− G* P	= R + 2 R_t
6 R_t	= 3Λ − 3R − 3G* P
6 R_t	= 2Λ − G* (U +3P)

La constante cosmologique peut être formellement annulée en prenant G* U +Λ comme nouvelle définition de G* U, et G* P − Λ comme nouvelle définition de G* P.
On peut donc l'interpréter comme une combinaison invisible d'une densité d'énergie constante et d'une pression négative constante, qui n'interagit pas avec la matière ordinaire en dehors de ses effets gravitationnels: un tel système mécanique reste invariant lors de l'expansion, tout comme un film de savon conserve une densité d'énergie surfacique constante avec une tension superficielle constante lors de son expansion.

Enfin, par R_t = r"/rc² nous obtenons la loi d'évolution de l'expansion

r" = r ((Λc²/3) − (G*c²/6) (U +3P))

Signification de l'equation d'Einstein

Nous pouvons admirer le système de deux équations Λ + G* U = 3R et Λ− G* P = R + 2 R_t comme montrant la similitude entre les dimensions d'espace et de temps, dans leur façon de relier la courbure de Riemann (matrice symétrique 6 × 6 , ici réduite à sa diagonale dont les coefficients sont trois fois R et trois fois R_t) avec le tenseur énergie (matrice symétrique 4 × 4 , ici réduite à sa diagonale avec pour coefficients U et trois occurrences de P):

U est la composante temporelle du tenseur d'énergie. Elle représente la densité d'énergie, qu'on peut décrire comme «contenu dans un petit volume de l'espace» ou «qui traverse ce volume" dans la direction temporelle où elle est conservée; elle est liée à la somme des 3 composantes de la courbure de Riemann le long des directions de surfaces spatiales dans un système de coordonnées donné, tous égaux à R.
Tous les 3 composantes spatiaux P_x, P_y, P_z de la diagonale du tenseur d'énergie sont égaux à P. Chacun mesure la force sur (et donc le flux de quantité de mouvement à travers) ce qui apparaît comme une surface à l'intérieur de l'espace usuel, mais qui est en fait 3-dimensionnel par son extension temporelle. Par exemple P_x est liée à la somme des trois composantes de la courbure de Riemann dans cet espace de coordonnées y,z,t (orthogonal à x): R dans la direction (y,z), et les deux composantes égales à R_t dans les directions (y,t) et (z,t).

Ce sont les 4 principales composantes (diagonales) de l'équation d'Einstein de la relativité générale, identifiant, en chaque événement, le tenseur énergie-impulsion (à 10 dimensions), en fonction du Tenseur de Riemann (à 20 dimensions). Les autres composantes de cette équation (6 non diagonales), peuvent être déduites de ces 4 (ou même d'une seule), en ré-appliquant les mêmes relations à d'autres systèmes de coordonnées (rotations de toutes les manières possibles autour du point considéré).

Forme intégrée de l'équation

L'évolution de l'expansion peut être exprimée sous forme intégrée (utilisant r' au lieu de r'') en utilisant la valeur constante de K = R.r² − r'²/c² qui a été ignorée alors que nous n'avons utilisé que l'annulation de sa dérivée:

3R = Λ + G* E/r³
− c²K = r'² − c² R r² = r'² − (c²Λ/3) r² − (c²G*/3) E/r
r'² = (c²Λ/3) r² + (c²G*/3) E/r − c²K

Cela ressemble à l'équation de mouvement d'une particule dans un champ d'énergie potentielle, interprétant

− c²K/2 comme "énergie totale" (quoique ce n'est plus une énergie, ou ... on peut encore en quelque sorte le voir comme exprimant ici la quantité géométrique qui joue le rôle de l'énergie conservée en relativité générale),
r'²/2 comme "énergie cinétique".
Ainsi, l' "énergie potentielle" est − c² R r²/2 = − (c²Λ r²/6) − (c²G*/6) E/r

Si Λ > 0 alors le terme − (c²Λ r²/6), qui peut être négligé pour les petites valeurs de r, sera le terme dominant pour les grandes valeurs de r. Avec un tel potentiel, le mouvement d'expansion universel se comporte comme un système mécanique divergeant à partir d'un point d'équilibre instable, donc à une vitesse exponentielle par rapport au temps, avec pour temps caractéristique 1 / c√ Λ/3 .

Soit

m = (4/3)πr³ρ la masse dans une boule de rayon r, de sorte que E= c²ρr³ = (3c²/4π)m
G = c⁴G*/8π

Alors le dernier terme de l' "énergie potentielle" est

− (c²G*/6) E/r = − G m/r

C'est le potentiel gravitationnel newtonien autour de la masse m. Il reste cependant une différence avec la théorie newtonienne classique: ici, m varie au cours du temps si P est non nul.

Solutions diverses

Imaginons un univers où la matière (combinaison d'énergie et de pression) est une superposition de substances indépendantes, chacune avec sa propre proportionnalité entre la densité d'énergie U et la pression P :

3P = α U.

U' = − 3 H (U + P) = − H (3+α)U
(ln U)' = U'/U = −(3+α)r'/r = −(3+α)(ln r)'
U est proportionel à r^−(3+α)

Chacune contribue au potentiel comme − (c²G*/6) U r², qui est proportionel à r^−(1+α)
Si l '«énergie cinétique» r'²/2 était simplement l'opposé de cette "énergie potentielle" (qui en est la cause), alors r' serait proportionnelle à r^−(1+α)/2
Cherchant des expressions de r comme proportionnelle à t^β (peu importe le coefficient, qui est une pure convention pour r), nous avons r' proportionnel à t^β−1 = r^1−1/β. Ainsi, α et β sont liés par

1−1/β = −(1+α)/2
1/β = (3+α)/2
β = 2/(3+α)

Les cas particuliers sont

La constante cosmologique, aussi appelée énergie sombre, peut être considérée comme le cas particulier α = - 3, avec son potentiel en r². En tant que principale contribution au potentiel, ce cas est exceptionnel: nous avons une division par 0, faisant de r une "puissance infinie" de t, en fait une fonction exponentielle du temps.

La matière inerte (froide), α = 0, donne le potentiel newtonien en 1/r. En tant que principale contribution au potentiel, il rend r proportionnel à t^2/3.
Près du Big Bang il y a des périodes dominées par la matière chaude et l'énergie radiative, de sorte que la plupart de l'énergie consiste en particules allant à (ou près de) la vitesse de la lumière. Dans ce cas, P = U/3, i.e. α=1. En effet, de cette façon, E = U r³ est proportionnel à 1/r, qui peut être interprété comme l'effet de décalage vers le rouge sur cette énergie radiative, dont la longueur d'onde est dilatée par l'expansion universelle (ce qui est une autre manière d'interpréter le décallage vers le rouge par la vitesse relative). Ainsi, le «potentiel» est maintenant proportionnel à - r^-2, et lors d'une expansion dominée par cette contribution, r est proportionnel à √t.

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English version : Expansion of the Universe in General Relativity
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