La relativité générale

La relativité générale, en bref

La Relativité générale est la théorie physique qui décrit l'espace-temps comme un espace géométrique courbe. Elle englobe la théorie de la relativité restreinte (seulement valable comme description approximative de petites régions de l'espace-temps), pour expliquer la gravitation comme l'effet de la courbure de l'espace-temps.

Ici encore, comme avec d'autres sujets dans les fondements des mathématiques et de la physique, il est dommage de voir que près d'un siècle après sa découverte, les cours de relativité générale qui se trouvent habituellement, restent comme une sorte de brouillon, remplis de longueurs peu utiles, ne mentionnant pas d'explication plus directe et clarifiée de sa signification.

On peut donner l'idée essentielle de la théorie avec très peu de formalisme, en prenant le cas de la cosmologie (l'expansion de l'univers).

Au-delà des simples commentaires de vulgarisation intuitifs expliquant comment les effets gravitationnels peuvent être expliqués par la courbure de l'espace-temps, la force gravitationnelle ne pouvant être distinguée des forces d'inertie, la principale formule exprimant la relativité générale, est l'équation d'Einstein, reliant la courbure de l'espace-temps (tenseur de Riemann), à son contenu matériel (tenseur énergie-impulsion).

L'équation d'Einstein

L'expression rigoureuse de l'équation d'Einstein utilise le formalisme des tenseurs.

Sur ce site se trouve seulement une introduction aux tenseurs, par quelques définitions de base, mais pas encore les développements nécessaires... en attendant de les faire ici, on peut les trouver dans d'autres cours ailleurs sur tenseurs. Ces notions, ainsi que celle de courbure de Riemann, seront ici supposées acquises.

Quelle est donc cette expression.
Il ya bien sûr l'idée essentielle, la simple affirmation, que nous avons une relation entre le tenseur d'énergie-impulsion, et la courbure de Riemann de l'espace-temps, que nous pouvons écrire sous forme compacte

G_ij + Λ g_ij =

8πG

c⁴

T_ij

où

T_ij represente le tenseur d'énergie-impulsion, mais avec des indices baissés, contrairement à son écriture standard T^ij en mécanique relativiste
G_ij est le tenseur d'Einstein, fonction du tenseur de courbure de Riemann.
Les constantes G et c sont respectivement la constante de gravitation newtonienne, et la vitesse de la lumière
g_ij est la metrique, et Λ est la constante cosmologique, pouvant être posée égale à 0 pour simplifier la formule quitte à changer la définition de T_ij (lui ajoutant un multiple constant de g_ij du nom d'énergie sombre), de sorte que finalement, G_ij et T_ij soient simplement multiples l'un de l'autre.

Le problème, ce qui n'apparait pas évident dans les textes habituels, est comment le tenseur d'Einstein (avec 2 indices symétriques) est exprimé en fonction du tenseur de courbure de Riemann (avec 4 indices).
En effet, ils présentent d'abord le tenseur de courbure de Ricci, qui est un tenseur symétrique avec 2 indices, comme celui que nous avons besoin, extrait du tenseur de Riemann, et qui contient toutes les informations requises:

R_ij = R^k_ikj

Mais ce n'est pas encore le tenseur cherché. Alors il faut une autre formule pour en tirer le tenseur d'Einstein

G_ij = R_ij −

R g_ij

où R est la courbure scalaire R = g^ij R_ij.
Mais cela laisse la question : qu'est-ce donc que cette formule ??? Pourquoi cette formule, faite de 2 termes, plus qu'autre chose ?
La réponse, aussi bien connue, c'est que c'est ce qu'il faut pour que la conservation du tenseur d'Einstein se déduise de l'identité de Bianchi.
Ok, la preuve habituelle n'est pas compliquée, mais voici une autre façon de l'écrire, qui me semble plus élégante.

Soit le symétriseur (utilisant le delta de Kronecker δⁱ_j)

S^ijk_lmn = δⁱ_l δ^j_m δ^k_n + δⁱ_m δ^j_n δ^k_l + δⁱ_n δ^j_l δ^k_m

Il a la propriété que pour chaque tenseur antisymétrique A_ij, l'expression A_ij S^ijk_lmn soit totalement antisymétrique entre les indices lmn. Donc, il se comporte comme un antisymétriseur total lorsqu'il est appliqué à un tenseur avec 2 indices qui est déjà antisymétrique entre ces 2 indices.

Bon, maintenant, prenons le tenseur de Riemann R^a_bij (indiquant qu'un transport autour d'un parallélogramme de dimensions ij entraine une rotation entre les dimensions a et b). Nous savons déjà qu'il est antisymétrique entre les indices ij. On en déduit que R^a_bij S^ijk_lmn est totalement antisymétrique entre les indices lmn.
Cette expression peut être utilisée pour écrire la deuxième identité de Bianchi sur la courbure de Riemann, comme

∇_k R^a_bij S^ijk_lmn = 0

La signification intuitive de cette identité, c'est que pour chaque petite courbe fermée le long de laquelle on considère un transport parallèle, la rotation produite par ce transport ne dépend pas du choix de la surface délimitée par cette courbe, sur laquelle nous intégrons la courbure pour calculer cette petite rotation: déplacer cette surface (de direction ij) vers la direction k mais en gardant le même bord, n'a aucun effet.

Maintenant en relevant l'indice b, on obtient l'expression R^ab_ij S^ijk_lmn, Comme chacune des deux paires (ab) et (lm) est antisymétrique, la contraction entre ces 2 paires donne un facteur 2 de redondance, que nous pouvons factoriser sans fractionner l'opération sous-jacente sur les coordonnées. Et voici comment le tenseur d'Einstein est effectivement obtenu:

G_n^k = −

R^ab_ij S^ijk_abn

En effet, en remplaçant S par sa définition, cette expression se développe comme

−2 G_n^k = R^ab_ab δ^k_n + R^kb_bn + R^ak_na

Nous voyons ici le tenseur de Ricci R_n^k = − R^kb_bn = − R^ak_na et la courbure scalaire R = g^ij R_ij = R^ab_ab. Cela donne la formule précédente (légèrement réécrite) du tenseur d'Einstein

G_n^k = R_n^k −

R δ^k_n

La conservation du tenseur d'Einstein se déduit directement de l'identité de Bianchi ci-dessus:

-2∇_kG_n^k = ∇_k R^ab_ijS^ijk_abn = 0

Alors, quel est l'intérêt d'écrire le tenseur d'Einstein par cette symétrisation plutôt que par l'expression habituelle:
Cela présente cette opération comme une contraction entre les duaux de Hodge des paires antisymétriques dans le tenseur de Riemann (cette contraction est d'ordre 1 = n−3, où n = 4 est la dimension de l'espace-temps, et 3 est le nombre d'indices entre lesquels S opère), au lieu d'une contraction entre ces paires elles-mêmes.
En d'autres termes, cela montre que la courbure d'une paire de dimensions donnée ne contribue au tenseur d'Einstein que dans les dimensions orthogonales. Ce qui est plus élégant que de d'abord écrire la contribution comme si c'était dans ces dimensions (dans le tenseur de Ricci), puis faire une soustraction globale dans toutes ses dimensions par (1/2) R g_ij, qui comme par hasard annule la contribution à ces dimensions et laisse une contribution opposée dans le reste des dimensions.

English version : Introduction to General Relativity
Sommaire : Théorie des ensembles et fondements des mathématiques