Bonjour. Ayant travaillé à remettre au propre les fondements des mathématiques, le concept de définition fait partie de ce que j’ai eu l’occasion de clarifier, et qui reste vague dans les enseignements habituels. Quelques réactions à cet article:
une définition est une phrase mathématique dont la proposition peut être vraie ou fausse selon l’objet auquel on l’applique
Si j’écris: "soit f la fonction de R dans R donnée par x ↦ 2x+1", n’est-ce pas une définition qui ne ressemble pas tellement à une phrase vraie ou fausse suivant l’objet auquel on l’applique ?
…une définition vérifie les propriétés suivantes .... doit introduire des concepts nouveaux …doit être cohérente…par exemple « être un réel nul et non nul » n’est pas une définition puisque aucun réel ne vérifie cette proposition
Si, il est cohérent de définir l’ensemble des réels nuls et non nuls, sauf que c’est une nouvelle définition de l’ensemble vide qu’on connaissait déjà. Or si ce cas particulier est évident, il y a d’autres cas où on a besoin d’introduire une définition dans le seul but de servir d’intermédiaire pour finalement démontrer qu’il s’agissait en fait, justement, d’une nouvelle définition de l’ensemble vide… donc non, il n’y a pas à poser de telle restriction.
Le premier point exprime le fait qu’on se refuse à définir un objet par lui-même
Certes évidemment, aucune bonne définition n’aura une forme de cercle vicieux, mais cela ne dit toujours pas exactement (ne définit pas) ce qu’est précisément une définition.
une théorie est cohérente si, et seulement si, elle admet un modèle
Oui en effet. C’est le théorème de complétude qui l’assure. Mais pour le cas de théories incluant l’arithmétique, il y a aussi le théorème d’incomplétude, d’après lequel cette cohérence n’est pas démontrable dans la même théorie mais seulement dans une théorie "plus forte". Dans ces conditions on ne peut pas beaucoup se permettre de se restreindre à l’étude de théories dont la cohérence serait déjà démontrée.
C’est pourquoi nous dirons qu’une définition est cohérente si, et seulement si, on peut exhiber un exemple qui vérifie les hypothèses de cette définition
L’équivalence entre cohérence et existence d’un modèle est un théorème assez non-trivial. Il serait largement abusif de déguiser ce théorème en définition. De plus, si la démonstration de ce théorème procède effectivement, en un certain sens, sous forme de construction d’un modèle de la théorie sous l’hypothèse de sa cohérence, cette construction n’est, dans son cas général, pas du tout bien gentille comme on peut avoir l’habitude d’exhiber des exemples d’objets mathématiques, mais est non-algorithmique, faisant appel à un oracle résolvant le problème de l’arrêt travaillant sur la structure formelle de la théorie explicitement supposée cohérente. Et si les preuves d’indépendance d’axiomes comme l’hypothèse du continu en théorie des ensembles procèdent par "constructions de modèles" de théories modifiées, ces "constructions" ne peuvent pas se faire dans le vide mais sur la base de modèles supposément existants mais non "exhibés" d’une première version de la théorie des ensembles.
Comme remarquait tit_toinou, l’article confond 2 concepts distincts: d’une part les définitions, d’autre part les théories. Voici un résumé de ce que j’ai expliqué dans mon travail.
Une théorie est un système formel constitué d’une liste de types, une liste de symboles et une liste d’axiomes, visant à décrire tout système d’objets partitionné suivant ces types, reliés par des structures nommés par les symboles, et satisfaisant ces axiomes.
Détails:
Par ailleurs, étant donné une théorie, il est possible de la développer en lui ajoutant des constituants suivant des règles précises pour que cela reste "essentiellement la même théorie":
Détails: http://settheory.net/model-theory/development
On peut être tenté d’appeler "définition" non seulement une
définition dans une théorie à proprement parler, mais aussi, soit
la donnée d’une théorie, soit une construction dans une théorie.
En un sens c’est abusif, en un autre sens, ces 2 autres concepts
se transforment de fait en définitions lors de l’absorption de
cette théorie dans la théorie des ensembles (1.3).