Aspects philosophiques des fondements des mathématiques

Pour compléter notre initiation aux fondements des mathématiques, les pages suivantes de compléments philosophiques (de celle-ci à Concepts de vérité en mathématiques) présenteront un aperçu de quelques aspects les plus profonds des fondements des mathématiques: leurs aspects philosophiques et intuitifs (principalement déjà compris implicitement mais mal expliqués par les spécialistes, de telles questions philosophiques n'étant pas facilement considérées comme objets appropriés de travaux scientifiques). Notamment: Ces compléments ne sont pas nécessaires pour la partie 2 (Théorie des ensembles, suite), sauf pour expliquer la signification profonde et les conséquences du fait que l'opérateur de puissance ou ensemble des parties (2.6) n'est pas justifiable par le principe de génération des ensembles. Mais ils seront plus précisément développés et justifiés dans la partie 3 (théorie des modèles).

Représentation intuitive et abstraction

Bien que les systèmes mathématiques «existent» indépendamment de toute sensation particulière, on a besoin de les représenter sous une certaine forme (par des mots, des formules ou des dessins). Diverses méthodes peuvent être utilisées, pouvant être équivalentes (donnant les mêmes résultats) mais avec divers degrés de pertinence (efficacité) pouvant dépendre des objectifs. Les idées apparaissent habituellement comme intuitions plus ou moins visuelles, puis sont exprimés en formules et phrases littérales pour être attentivement vérifiées, traitées et la communiquées. Pour se libérer des limites d'une forme de représentation particulière, la méthode est de développer d'autres formes de représentation, et de s'exercer à traduire des concepts d'une forme à l'autre. L'aventure mathématique elle-même est pleine de jeux de conversions entre diverses formes de représentation.

Platonisme vs Formalisme

Dans cette diversité d'approches des mathématiques (ou de chaque théorie), deux points de vue philosophiques sont traditionnellement distinguées. Les philosophes les présentent généralement comme systèmes de croyances opposées et incompatibles, vérités candidates sur la nature réelle des mathématiques. Cependant, ces deux approches s'avèrent plutôt être des aspects nécessaires et complémentaires des fondements. Expliquons comment.

Bien sûr, la pensée humaine n'ayant pas de capacités infinies, ne peut pas opérer d'une manière totalement réaliste, mais seulement d'une manière grossièrement équivalente à des raisonnements formels développés à partir d'un fondement ; ce travail de formalisation permet de se prémunir d'éventuelles erreurs de l'intuition.
Mais un point de vue purement formaliste ne serait pas non plus tenable car

Une autre raison de leur réconciliation, est qu'ils ne sont pas en concurrence globale pour décrire l'ensemble des mathématiques, mais leurs parts de pertinence dépendent des théories spécifiques envisagées.

La forme des théories mathématiques

Les principaux cadres logiques utiles pour les théories mathématiques, du plus faible (moins expressif) au plus fort (plus expressif), sauf la théorie des ensembles, seront:

Nous avons décrit la forme générale des théories mathématiques dans les sections 1.1, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.8, 1.9. pour les deux cadres les plus importants: la logique du premier ordre, et le cadre de la théorie des ensembles (qui est spécifique, avec des classes d'admissibilité et symboles liants sur des ensembles). La relation entre les deux échappe à l'ordre hiérarchique ci-dessus par la présence de correspondances irréversibles entre eux dans les deux sens (non l'inverse l'une de l'autre):
Résumons notre description: une fois choisi un formalisme, une théorie est spécifiée par son contenu (vocabulaire et axiomes), comme suit. Toute théorie est formée de 3 sortes de composants. Les composants des 2 dernières sortes sont des systèmes finis faits de ceux de la sorte précédente:

Mais pour avoir un intérêt quelconque pour la plupart des fins pratiques, une théorie doit être telle qu'on ne peut construire à partir de cela, aucun composant du 4ème type:

Théories réalistes vs axiomatiques en mathématiques et autres sciences

Les interprétations du mot «théorie» peuvent varier entre les utilisations mathématiques et non mathématiques (dans le langage ordinaire et d'autres sciences), de deux manières.

Les théories peuvent différer par leur objet et leur nature:
Les théories peuvent également différer selon que le platonisme ou formalisme décrit le mieux leur sens voulu:

Une théorie réaliste vise à décrire un système fixe donné par une réalité indépendante, de sorte que chacune de ses formules closes (énoncés) sera soit réellement vraie soit réellement fausse, comme déterminé par ce système (mais la véracité d'un énoncé non-mathématique peut être ambiguë : mal définie pour le système réel donné). Basée sur cette intention, la théorie sera construite en fournissant une liste initiale de formules appelées axiomes: une description qu'on espère vraie du système voulu, tel qu'actuellement connu ou deviné. Ainsi, la théorie sera vraie si tous ses axiomes sont effectivement vrais sur le système voulu. Alors, ses conséquences logiques (théorèmes, déduits des axiomes) seront aussi vraies sur le modèle voulu.
Cela est généralement bien assuré en mathématiques pures, mais peut être spéculatif dans d'autres domaines. Dans les théories réalistes hors des mathématiques pures, la réalité voulue est généralement contingente parmi d'autres possibilités, qui (en mathématiques appliquées) sont également possibles d'un point de vue purement mathématique. Si une théorie (liste d'axiomes) ne correspond pas à une réalité précise que les mathématiques pures ne suffisent pas à discerner, on peut espérer le découvrir en comparant ses prédictions (conséquences logiques) avec les observations : la théorie est dite falsifiable.

Une théorie axiomatique est une théorie donnée avec une liste d'axiomes visant à définir la sélection de ses modèles (les systèmes qu'elle décrit), comme classe de tous les systèmes où ces axiomes sont vrais. Cette sélection peut préserver une diversité illimitée de modèles possibles, qui demeurent des interprétations également réelles et légitimes. Par cette définition de ce que «modèle» signifie, la véracité des axiomes de la théorie est automatique sur chaque modèle (elle est acceptée par définition, et n'est donc pas discutable). Tous les théorèmes, conséquences des axiomes, sont également vrai dans chaque modèle.

En mathématiques pures, les caractéristiques habituelles des deux rôles possibles des théories (réalistes et axiomatiques) les protègent automatiquement contre le risque d'être «fausses» tant que les règles formelles sont respectés.

Les théories non-réalistes en dehors des mathématiques pures (où l'exigence de la vérité des théorèmes n'est pas toujours stricte, de sorte que la notion d'axiome perd de sa précision) peuvent soit décrire des classes de systèmes réels, ou être des œuvres de fiction décrivant des systèmes imaginaires ou futurs possibles. Mais cette distinction entre systèmes réels et imaginaires n'existe pas en mathématiques pures, où tous les systèmes possibles sont également réels. Ainsi, les théories axiomatiques des mathématiques pures visent à décrire une réalité mathématique qui est existante (si la théorie est cohérente), mais généralement pas unique.
Différents modèles peuvent être non-équivalents, en ce sens que les formules indécidables peuvent être vraies ou fausses suivant le modèle. Des théories cohérentes différentes peuvent être «en désaccord» sans conflit, en étant toutes des descriptions correctes de systèmes différents, qui peuvent également «exister» en un sens mathématique sans se soucier de «où ils sont».

Par exemple la géométrie euclidienne, dans son rôle de première théorie physique, n'est qu'une théorie dans un panorama de géométries diverses qui sont tout aussi légitime en mathématiques, et l'espace physique réel est plus précisément décrit par la géométrie non-euclidienne de la Relativité Générale. De même, la biologie est relative à un grand nombre de choix aléatoires discrètement accumulées par la nature sur Terre pendant des milliards d'années.

Des théories réalistes et axiomatiques sont également présentes en mathématiques pures, dans différentes parties des fondements des mathématiques, comme sera brièvement présenté dans la section sur les concepts de vérité en mathématiques. Mais expliquons d'abord la présence d'un flux du temps purement mathématique (indépendant de notre temps) en théorie des modèle et en théorie des ensembles.

Une fois lu 1.5, continuer par Temps en théorie des modèles

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
(table générale des matières)
1. Premiers fondements des mathématiques
(table des matières détaillée)
Aspects philosophiques
(Chaque section utilise celles à gauche et au-dessus)
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
Représentation intuitive et abstraction
Platonisme vs Formalisme
1.3. Forme des théories: notions, objets, méta-objets
Théories réalistes, théories axiomatiques
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
Temps en théorie des modèles
Temps de l'interprétation
La métaphore du temps usuel
Le temps fini entre les expressions
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
Le temps infini entre les théories
Le paradoxe de Zénon
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles Temps en théorie des ensembles
Expansion de l'univers des ensembles
Un ensemble peut-il appartenir à lui-même?
1.9. Quantificateurs
Sens relatif des quantificateurs ouverts
Interprétation des classes
Classes dans un univers en expansion
Exemples concrets
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
Justification du principe de génération
des ensembles
Concepts de vérité en mathématiques
Démontrabilité
Vérités arithmétiques
Vérités ensemblistes
Cadres logiques alternatifs
2. théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles
 

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EN : 1. First foundations of mathematics : Philosophical aspects