1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations

Démarrons les mathématiques en introduisant quelques concepts simples du cycle fondateur, pouvant sembler auto-suffisants. Il est naturel de démarrer par une théorie des ensembles non totalement formalisée comme théorie axiomatique.
Expliquons d'abord ce qu'est un ensemble, puis nous complèterons progressivement le tableau par d'autres concepts et explications sur le contexte des fondements (théorie des modèles) et ses principales subtilités (paradoxes).

Constantes

Un symbole de constante est un symbole désignant un objet précis, appelé sa valeur. Exemples: 3, Ø, ℕ. Ceux du langage courant sont les noms propres et les noms avec un article défini singulier («le», «la») sans complément.

Variables libres ou liées

Un symbole de variable (ou une variable) est un symbole sans valeur fixe. Chaque interprétation possible lui donne une valeur particulière et le voit donc comme une constante.
On peut l'imaginer comme délimité par une boite dont l'intérieur a plusieurs versions en parallèle: Les divers «points de vue internes», correspondant aux valeurs possibles, peuvent être considérés comme des «lieux abstraits» dans l'univers mathématique, tandis que la succession de statuts d'un symbole (comme constante, variable libre ou variable liée), peut être vue comme une première expression de l'écoulement du temps en mathématiques: une variable est liée lorsque tous les «lieux parallèles de l'intérieur de la boite» (valeurs possibles) sont passés. Tous ces lieux et temps sont eux-mêmes des entités purement abstraites et mathématiques.

Domaines et ensembles

On appelle domaine d'une variable, sa signification vue comme liée: c'est la «connaissance» de la totalité de ses valeurs possibles ou autorisées (vues en vrac: sans ordre ni égard à leur contexte) appelées les élements de ce domaine. Cette «connaissance» est une entité abstraite, capable d'englober des infinités d'objets, contrairement à l'esprit humain. Une variable admet un domaine lorsqu'elle peut être liée: lorsqu'un point de vue englobant toutes ses valeurs possibles est donné.
Tout domaine d'une variable est appelé un ensemble.

Cantor définissait un ensemble comme «un groupement en un tout d'objets bien distincts de notre intuition ou de notre pensée». «Si la totalité des éléments d'une multiplicité peut être pensée comme «existant simultanément», de telle sorte qu'il soit possible de la concevoir comme un «seul objet» (ou un «objet achevé»), je la nomme une multiplicité consistante ou un «ensemble».» (Nous venons d'exprimer cette «multiplicité» comme celle des valeurs d'une variable).
Il décrivit le cas contraire comme celui d'une «multiplicité inconsistante» où «l'admission d'une coexistence de tous ses éléments mène à une contradiction». Mais la non-contradiction ne peut pas suffire comme définition générale des ensembles: la non-contradiction d'un énoncé n'implique pas sa véracité (l'énoncé contraire peut être vrai mais indémontrable); les faits de non-contradiction sont souvent eux-mêmes indémontrables (théorème d'incomplétude), et deux coexistences séparément consistantes pourraient se contredire (paradoxe de l'omnipotence).

On dit qu'une variable parcourt un ensemble, lorsqu'elle est liée de domaine cet ensemble. On peut introduire à volonté des variables parcourant tout ensemble donné, indépendantes entre elles et des autres variables en présence.
Le renommage systématique d'une variable liée dans tout l'intérieur de sa boite, en un autre symbole inutilisé dans le même contexte (la même boite), de même domaine, ne change pas la signification du tout. En pratique, une même lettre peut représenter plusieurs variables liées séparées (dont les boites sont séparées), qui peuvent prendre des valeurs différentes sans incohérence : il ne s'en trouve nulle part deux libres à la fois où l'on puisse en comparer les valeurs. Le langage courant le fait sans cesse, ne disposant que de fort peu de symboles de variables («il», «elle», ...).

Fonctions

On appelle fonction tout objet f se comportant comme variable dont la valeur est déterminée par celle d'une autre variable appelée son argument; cet argument a un domaine appelé le domaine de f et noté Dom f. Dès que cet argument est fixé (reçoit un nom, disons x, et une valeur dans Dom f), f devient une constante (notée f(x)).
Ainsi f est constitué des données suivantes:

Opérations

La notion d'opération généralise celle de fonction, par l'admission d'une liste finie d'arguments (variables de domaines respectifs donnés) au lieu d'un seul. Une opération donne donc un résultat (une valeur) quand tous ses arguments sont fixés. Le nombre n des arguments est appelé son arité ; l'opération est dite n-aire. Elle est dite nulaire si n=0 (c'est une constante), unaire si n=1 (c'est une fonction), binaire si n=2, ternaire si n=3...
Les opérations nulaires sont inutiles car remplaçables par leur unique valeur; on verra comment construire celles d'arité > 1 au moyen des fonctions.

La valeur d'une opération binaire f en ses arguments fixés x et y (sa valeur lorsque ses arguments reçoivent respectivement les valeurs de x et y), se note f(x,y). Généralement, au lieu de symboles, les arguments sont figurés par les espaces à gauche et à droite dans la parenthèse, à remplir par toute expression leur donnant des valeurs voulues.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction aux fondements des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories: notions, objets, méta-objets
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles
1.9. Quantificateurs
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
 ⇨ Aspects philosophiques
Temps en théorie des modèles
Temps en théorie des ensembles
Interprétation des classes
Concepts de vérité en mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles
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EN : 1. First foundations of mathematics : 1.2. Variables, sets, functions and operations