Théorie des ensembles et fondements des mathématiques

1. Premiers fondements des mathématiques

1.1. Introduction au fondement des mathématiques
Que sont les mathématiques, les théories, fondements
le cycle des fondements
Aspects philosophiques
(Chaque section utilise celles à gauche et au-dessus)

Représentation intuitive et abstraction
Platonisme vs Formalisme
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
Constantes
Variables libres ou liées
Domaines et ensembles
Fonctions
Opérations
1.3. Forme des théories
La variabilité du modèle
Notions et objets
Théorie du modèle
Sur la diversité des cadres logiques
Exemples de notions de diverses théories
Méta-objets
Composants des théories
Interprétation ensembliste
Théories réalistes et théories axiomatiques
en mathématiques et autres sciences
1.4. Structures des systèmes mathématiques
Structures
Structures de la théorie des ensembles
A propos de la théorie axiomatique des ensembles ZFC
Types en théorie du modèle
La notion de structure en théorie du modèle

1.5. Expressions et structures définissables
Termes et formules
Structures variables
Structures définies par des expressions
Structures invariantes
Temps en théorie des modèles
Temps de l'interprétation
La métaphore du temps usuel
Le temps fini entre les expressions
1.6. Connecteurs
Negation
Conjonctions, disjonctions
Implication
Chaines d'implications et d'équivalences
Axiomes de l'égalité
Prouvabilité
1.7. Classes en théorie des ensembles
Le cadre unifié des théories
Classes, ensembles et méta-ensembles
Classes d'admissibilité
Admissibilité étendue

Le temps infini entre les théories
Le paradoxe de Zénon
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles
Syntaxe des symboles liants
Définitions des fonctions par des termes
Relations et symbole de compréhension
Paradoxe de Russell
Temps en théorie des ensembles
Expansion de l'univers des ensembles
Un ensemble peut-il appartenir à lui-même?
1.9. Quantificateurs
Les quantificateurs ∃,∀
Inclusion entre classes
Règles de preuves pour les quantificateurs
Quantificateurs ouverts en théorie des ensembles
Le sens relatif des quantificateurs ouverts
Interprétation des classes
Classes dans un univers en expansion
Exemples concrets
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
Le prédicat d'inclusion
Traduction du définisseur
Premiers axiomes
Un principe général en théorie des ensembles
Formalisation des opérations et curryfication
1.11. Principe de génération des ensembles
Critère de reconnaissance d'ensembles :
compréhension, union, image, Ø, paires
Justification du principe de génération des ensembles

Concepts de vérité en mathématiques
Démontrabilité
Vérités arithmétiques
Vérités ensemblistes
Cadres logiques alternatifs
2. Théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles

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EN : Set theory and Foundations of Mathematics : First foundations of mathematics