1.7. Classes en théorie des ensembles

Le cadre unifié des théories

La théorie du modèle n'est pas totalement formalisable en logique du premier ordre : l'exclusion des «expressions» et «preuves» de taille infinie, nécessite un axiome en logique du second ordre, mieux formalisable dans le cadre ensembliste (bien que cette solution reste incomplète, comme sera expliqué en partie 3). Les composants de son modèle [T,M] y étant désignés par des variables libres, leur variabilité fait de ceci l'expression ensembliste de la théorie des modèles (ce qui, avec la formalisation de la théorie des ensembles, complètera le grand tour des fondements des mathématiques).

Soit maintenant T0 la copie externe de T, à savoir la théorie (intégrée au formalisme de la théorie des ensembles mais non à son univers d'objets) dont les composants k (types, symboles, axiomes) ont des copies comme objets qui sont les composants vraiment finis de T. Formellement, T0 est formé des k tels que «k» ∈ T, où la notation comme citation «k» abrège un terme clos de la théorie des ensembles décrivant k comme un objet. Par cette correspondance, tout modèle M de T (au sens de la théorie des modèles) est indirectement aussi un modèle (ensembliste) de T0.

Ceci donne un cadre puissant à l'interprétation de T0 dans M, englobant les deux cadres précédents (ensembliste et modèle-théorique) d'interprétation de théories dans des modèles. À savoir, tous les travaux (expressions, preuves et autres développements) faits dans T0, ont des copies comme objets dans le système T (système d'objets décrit par la théorie des ensembles comme ayant la propriété formelle d'«être une théorie»); tandis que le modèle (ensembliste) M de T0 est formellement vu comme un «modèle de T», dans le sens modèle-théorique formalisé dans le même cadre ensembliste, car il appartient au même univers que T.
Cependant, la puissance de cette interprétation vient avec un coût en légitimité: étant donné de l'extérieur une théorie T0 avec une infinité de composants, on ne peut pas directement construire un T correspondant, un ensemble ne pouvant être formellement défini comme formé des seules valeurs d'une liste infinie de termes (qui ne sont que des méta-objets). On ne peut donc travailler en partant d'un T0 que si ses infinités de composants sont définis par certaines règles, pour obtenir T comme défini par les mêmes règles. Puis, que T0 soit fini ou non, l'existence d'un modèle M de T, reflétant la cohérence de T telle que définie dans l'univers, ne résulte pas automatiquement de la cohérence de T0 (vu hors de l'univers). Ces conséquences des théorèmes de complétude et d'incomplétude seront expliquées ultérieurement.

Classes, ensembles et méta-ensembles

Pour toute théorie, une classe n'est autre qu'un prédicat unaire A réinterprété comme ensemble des objets où A est vrai, à savoir «la classe des x tels que A(x)».
Notamment en théorie des ensembles, tout ensemble E est synonyme de la classe des x tels que xE (définie par la formule xE, d'argument x et de paramètre E). Mais cela utilise deux interprétations différentes du concept d'ensemble, qui doivent être distinguées comme suit.

A partir de maintenant, dans le cadre unifié ci-dessus, la théorie utilisée en tant que T0, interprétée dans le modèle M et étudiée comme objet T, sera la théorie des ensembles elle-même (exprimable comme théorie générique comme expliqué en 1.9 et 1.10). Donc, notre usage précédent des concepts ensemblistes en tant que cadre décrivant l'univers extérieur, est maintenant une copie de T0 mais avec une une interprétation différente, qui sera distinguée en lui donnant le préfixe méta-. Les concepts ensemblistes dans M peuvent être reflétés de façon intéressante par leur méta-interprétation, mais les deux ne doivent pas être confondus.

Au lieu de la représentation générique de tous les objets des théories génériques comme méta-éléments purs, le rôle de tout objet «ensemble» de la théorie des ensembles sera habituellement joué par la classe (méta-ensemble) de ses éléments; de même, le rôle des fonctions sera joué par les foncteurs qu'elles désignent.
Ainsi, tout ensemble sera une classe, tandis que toute classe est un méta-ensemble d'objets. Mais certains méta-ensembles d'objets ne sont pas des classes (n'étant définissables par aucune formule avec paramètres); et certaines classes ne sont pas des ensembles, par exemple l'univers (classe de tous les objets, définie par 1), ou la classe des ensembles d'après le paradoxe de Russell (1.8).

Classes d'admissibilité

En théorie des ensembles, tous les objets ont besoin d'être admis comme «éléments» pouvant appartenir à des ensembles et être opérés par des fonctions (pour éviter les divisions à l'infini entre ensembles d'éléments, ensembles d'ensembles, de fonctions, ensembles mixtes...). Cela serait formalisable en gardant 3 types où chaque ensemble aurait une copie comme élément (identifié par un foncteur des ensembles vers les éléments), et de même pour les fonctions. Mais cela ne suffirait pas à notre théorie des ensembles, qui aura besoin d'autres notions au-delà de celles d'ensemble et de fonction. Pour cela, notre théorie des ensembles utilisera des classes au lieu de types en guise de notions. Ainsi les notions d'ensemble et de fonction seront des classes désignées par les symboles de prédicats:

Set = «est un ensemble»
Fnc = «est une fonction»

Dans les théories génériques, la correction syntaxique d'une expression (implicite dans le concept d'«expression») garantit qu'elle aura une valeur précise pour chaque donnée d'un modèle et d'une interprétation de ses variables libres dans ce modèle. Mais en théorie des ensembles, cela peut encore dépendre des valeurs de ses variables libres.
Ainsi une expression A (et toute structure définie par elle) sera dite admissible si elle a effectivement une valeur pour les valeurs données de ses variables libres (arguments et paramètres) dans le modèle. Cette condition d'admissibilité est elle-même un prédicat partout admissible, exprimé par une formule qu'on abrègera ici dA, de mêmes variables libres.
Les classes sont définies par des prédicats unaires admissibles. Le méta-domaine de toute structure unaire A est la classe définie par dA, de même argument et mêmes paramètres, appelée sa classe d'admissibilité.
Les expressions ne doivent être employées que là où elles sont admissibles, ce qui se fera assez naturellement. La condition d'admissibilité de (xE) est Set(E). Celle de l'évaluateur de fonction f(x), est (Fnc(f) ∧ x ∈ Dom f).
Mais l'admissibilité de cette dernière formule nécessite une justification, que voici.

Admissibilité étendue

Une théorie aux structures partiellement admissibles est formalisable (traduisible) en théorie à un seul type et aux structures partout admissibles, gardant intactes les expressions et leurs valeurs partout où elles sont admissibles : les modèles se traduisent dans un sens en donnant des valeurs arbitraires aux structures non admissibles (par exemple une valeur constante), et en sens inverse en ignorant ces valeurs. Ainsi, une expression comportant une sous-expression non admissible peut être déclarée admissible si sa valeur finale ne dépend pas de ces valeurs arbitrairement ajoutées.

Pour tous prédicats A et B, donnons aux formules AB et AB la même condition d'admissibilité (dA ∧ (AdB)) (rompant, pour «et», la symétrie entre A et B qu'il est inutile de rétablir). On les regardera donc admissibles (de valeurs respectives 0 et 1) si A est faux et B est non admissible.

Ceci rend admissibles les conditions d'admissibilité elles-mêmes, ainsi que dAA et dAA (étendant A respectivement par 0 et par 1 là où il n'était pas admissible). Les deux formules
A ∧ (BC)
(AB) ∧ C
ont ainsi la même condition d'admissibilité (dA ∧ (A ⇒ (dB ∧ (BdC)))).

Pour toute classe A et tout prédicat unaire B admissible sur tout A, la classe définie par le prédicat (partout admissible) AB, est appelée la sous-classe de A définie par B.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories: notions, objets et méta-objets
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles
1.9. Quantificateurs
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
Temps en théorie des ensembles
Interprétation des classes
Concepts de vérité en mathématiques
Aspects philosophiques
Temps en théorie des modèles
Temps
entre théories
2. Théorie des ensembles (suite) 3. Théorie des modèles

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EN : 1. First foundations of mathematics : Classes in set theory