1.7. Classes en théorie des ensembles
Pour toute théorie, une classe est un prédicat unaire A
vu comme ensemble des objets où A est vrai, à savoir «la classe des
x tels que A(x)».
Notamment en théorie des ensembles, tout ensemble E est
synonyme de la classe des x tels que x ∈ E
(définie par la formule x ∈ E, d'argument x
et de paramètre E). Mais cela utilise deux interprétations différentes
de la notion d'ensemble, qui doivent être distinguées comme suit.
Univers standard et méta-ensembles
Interpréter (insérer)
la théorie des ensembles dans elle-même, nécessite d’articuler
deux interprétations (modèles) de la théorie des ensembles, qui
seront distingués en donnant le préfixe méta à l'interprétation
dans le rôle de cadre. Outre les
interprétations
génériques, la théorie des ensembles a un type standard d'interprétations
dans elle-même où chaque ensemble est interprété par la classe (méta-ensemble)
de ses éléments (l'ensemble et le méta-ensemble des mêmes éléments sont alors
égaux), et chaque fonction est interprétée par sa méta-fonction synonyme.
Ainsi, tout ensemble est une classe, tandis que toute classe est un
méta-ensemble d'objets. Mais certains méta-ensembles d'objets ne
sont pas des classes (n'étant définissables par aucune formule avec
paramètres; donner des exemples serait paradoxal car cela signifierait
définir quelque chose d'indéfinissable, mais 1.B introduit de telles possibilités);
et certaines classes ne sont pas des ensembles, par
exemple la classe des ensembles (voir le paradoxe
de Russell en 1.8), ou l'univers (classe de tous les objets, définie par 1).
Classes d'admissibilité
La théorie des ensembles accepte tous les objets comme «éléments»
pouvant appartenir à des ensembles et être opérés par des fonctions
(pour éviter les divisions sans fin entre ensembles d'éléments, ensembles
d'ensembles, de fonctions, ensembles mixtes...). Cela serait formalisable
en gardant 3 types (éléments, ensembles et fonctions) où chaque ensemble
aurait une copie comme élément, identifiée par un foncteur des ensembles
vers les éléments, et de même pour les fonctions. Mais au-delà de ces types,
notre théorie des ensembles aura de toute façon besoin d'autres notions
comme domaines de ses structures, qui ne peuvent être commodément
formalisées que comme classes. Alors gardons "élément" comme type unique contenant
tous les objets, et formalisons les notions d'ensemble et de
fonction comme classes désignées par des symboles de prédicats:
Set = «est un ensemble»
Fnc = «est une fonction»
En logique du premier ordre, toute expression est assurée de prendre une valeur définie,
pour chaque donnée d'un modèle et de valeurs de ses variables libres dedans
(en raison de sa correction syntaxique implicite dans le concept d '«expression»).
Mais en théorie des ensembles, cela peut encore dépendre des valeurs des variables
libres.
Ainsi une expression A
(et toute structure qu'elle définit) sera dite admissible si elle a effectivement
une valeur pour les valeurs données de ses variables libres (vues comme
arguments et paramètres de toute structure qu'elle définit). Cette condition est
elle-même un prédicat partout admissible, exprimé par une formule dA
avec les mêmes variables libres. En choisissant une d'elles comme argument,
la classe qu'elle définit est le méta-domaine, appelé classe
d'admissibilité, de la structure unaire définie par A.
Les expressions ne doivent être employées que là où elles sont
admissibles, ce qui se fera assez naturellement. La condition
d'admissibilité de (x ∈ E) est Set(E). Celle
de l'évaluateur de fonction f(x), est (Fnc(f)
∧ x ∈ Dom f).
Mais l'admissibilité de cette dernière formule nécessite une
justification, donnée plus bas.
Admissibilité étendue
Une théorie aux structures partiellement admissibles, comme la théorie
des ensembles, peut être formalisée (traduite) en théorie avec un seul type et
des structures partout admissibles, gardant intactes les expressions et
leurs valeurs partout où elles sont admissibles : les modèles se
traduisent dans un sens en donnant des valeurs arbitraires aux
structures non admissibles (par exemple une valeur constante), et en
sens inverse en ignorant ces valeurs. Ainsi, une expression
comportant une sous-expression non admissible peut être déclarée
admissible si sa valeur finale ne dépend pas de ces valeurs
ajoutées.
En particulier, pour toutes formules A et B on considèrera les
formules A ∧ B et A ⇒ B comme admissibles
si A est faux, de valeurs respectives 0 et 1, même si B
n'est pas admissible. Donnons leur ainsi la même condition
d'admissibilité (dA ∧ (A ⇒ dB))
(rompant, pour «et», la symétrie entre A et B qu'il est inutile de
rétablir). Cette formule est rendue admissible par la même règle
dès lors que dA et dB étaient admissibles. Ainsi
les deux formules
A ∧ (B ∧ C)
(A ∧ B) ∧ C
ont la même condition d'admissibilité (dA ∧
(A ⇒ (dB ∧ (B ⇒ dC)))).
Les classes seront définies par des prédicats unaires partout admissibles,
facilement exprimables par la règle ci-dessus comme suit.
Tout prédicat A peut être étendu au-delà de son domaine d'admissibilité,
sous la forme dA ∧ A (donnant 0) ou dA ⇒ A (donnant 1).
Pour toute classe A et tout prédicat unaire B
admissible sur tout A, la classe définie par A∧B
est appelée la sous-classe de A définie par B.
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EN : 1. First foundations of
mathematics : Classes in set
theory