1.7. Classes en théorie des ensembles

Pour toute théorie, une classe est un prédicat unaire A vu comme ensemble des objets où A est vrai, à savoir «la classe des x tels que A(x)».
Notamment en théorie des ensembles, tout ensemble E est synonyme de la classe des x tels que xE (définie par la formule xE, d'argument x et de paramètre E). Mais cela utilise deux interprétations différentes de la notion d'ensemble, qui doivent être distinguées par les moyens suivants.

Le cadre unifié des théories

La théorie du modèle n'est pas totalement formalisable en logique du premier ordre faute de pouvoir préciser complètement les méta-notions d'«expressions» et de «preuves». En effet, comme sera expliqué en 4.7 (Modèles non standard de l'arithmétique), toute théorie du premier ordre visant à décrire des systèmes finis sans limite de taille (comme les expressions et les preuves) dans son modèle (comme classes incluses dans un type) admettra encore dans certains modèles des systèmes pseudo-finis, qui sont des systèmes infinis vus à tort comme «finis» bien que plus grands que toute taille qu'elle peut décrire (ceci étant une infinité de propriétés qu’elle ne peut pas exprimer comme un tout pour détecter la contradiction; ces systèmes seront également dits non-standard, à savoir que «vraiment fini» sera la signification particulière de «standard» lorsque qualifiant des types de systèmes qui devraient normalement être finis).
Combler cette lacune nécessitera un quantificateur universel du second ordre (1.9), dont la signification est mieux exprimée (en apparence mais pas vraiment complètement) après insertion en théorie des ensembles (dont le concept de finitude sera défini en 4.5). Cette insertion transformant ses composants en variables libres dont les valeurs définissent son modèle [T,M], leur variabilité élimine sa principale différence avec la théorie des modèles (l'autre différence est que la théorie des modèles peut également décrire des théories sans modèles). Cette vision de la théorie des modèles comme développée à partir de la théorie des ensembles, sera exposée dans les parties 3 et 4, complétant le grand tour des fondements des mathématiques après la formalisation de la théorie des ensembles dans un cadre logique.

Pour une théorie T ainsi décrite, soit T0 la théorie externe, également insérée en théorie des ensembles, qui ressemble à une copie de T comme tout composant k de T0 a une copie comme objet servant de composant de T. Dans une formalisation appropriée, T0 peut être défini à partir de T comme formé des k tel que («k» ∈ T) soit vrai, où la notation «k» abrège un terme de théorie des ensembles désignant k comme objet, et la vérité de cette formule signifie que la valeur de ce terme dans l'univers appartient à T.

Ceci donne un cadre unifié commode à la description des théories interprétées dans des modèles, englobant les deux cadres précédents (ensembliste et modèle-théorique): tous les travaux de T0 (expressions, preuves et autres développements), ont des copies comme objets décrits formellement par le développement modèle-théorique de la théorie des ensembles comme travaux de la théorie T. Dans le même univers, tout système M décrit comme modèle de T est indirectement aussi un modèle (ensembliste) de T0.
Ce cadre puissant est sujet aux limites suivantes : Ainsi comprises, les conditions d'utilisation de ce cadre unifié des théories sont généralement acceptées comme des hypothèses légitimes, en se concentrant sur des théories bien décrites (bien qu'aucune théorie des ensembles bien décrite ne puisse être celle "ultime" comme indiqué ci-dessous), interprétées dans des univers standard dont l'existence est admise pour des raisons philosophiques; ceci sera discuté plus en détail dans les pages philosophiques.

Univers standard et méta-ensembles

Désormais, dans le cadre unifié ci-dessus, la théorie T0 décrivant M et idéalisée comme objet T, sera la théorie des ensembles elle-même. La prendre comme une copie identique de la théorie des ensembles servant de cadre, revient à prendre la même théorie des ensembles interprétée par deux univers, qui seront distingués en donnant le préfixe méta à l'interprétation dans le rôle de cadre.

Outre les interprétations génériques, la théorie des ensembles a un type standard d'interprétation dans elle-même où chaque ensemble est interprété par la classe (méta-ensemble) de ses éléments (l'objet et le méta-objet synonymes sont alors égaux), et chaque fonction est interprétée par sa méta-fonction synonyme (voir détails et le lien avec la finitude). Ainsi, tout ensemble sera une classe, toute classe étant un méta-ensemble d'objets. Mais certains méta-ensembles d'objets ne sont pas des classes (n'étant définissables par aucune formule avec paramètres); et certaines classes ne sont pas des ensembles, par exemple la classe des ensembles (voir le paradoxe de Russell en 1.8), ou l'univers (classe de tous les objets, définie par 1).

Une sorte de différence théorique entre les deux utilisations de la théorie des ensembles s'avérera irréductible (par le théorème d'incomplétude): pour toute formalisation donnée (invariante) de la théorie des ensembles, l'existence d'un modèle de celle-ci (univers), ou de manière équivalente sa cohérence, formalisée comme énoncé ensembliste avec la méta-interprétation, ne peut pas être déduit logiquement (un théorème) des mêmes axiomes. Cet énoncé, et donc aussi l'énoncé plus fort de l'existence d'un univers standard, constitue donc un axiome supplémentaire de la théorie des ensembles ainsi utilisée comme cadre.

Classes d'admissibilité

La théorie des ensembles accepte tous les objets comme «éléments» pouvant appartenir à des ensembles et être opérés par des fonctions (pour éviter les divisions sans fin entre ensembles d'éléments, ensembles d'ensembles, de fonctions, ensembles mixtes...). Cela serait formalisable en gardant 3 types (éléments, ensembles et fonctions) où chaque ensemble aurait une copie comme élément, identifiée par un foncteur des ensembles vers les éléments, et de même pour les fonctions. Mais au-delà de ces types, notre théorie des ensembles aura de toute façon besoin d'autres notions comme domaines de ses structures, qui ne peuvent être commodément formalisées que comme classes. Ainsi les notions d'ensemble et de fonction seront des classes désignées par des symboles de prédicats:

Set = «est un ensemble»
Fnc = «est une fonction»

En logique du premier ordre, toute expression est assurée de prendre une valeur définie, pour chaque donnée d'un modèle et de valeurs de ses variables libres dedans (en raison de sa correction syntaxique implicite dans le concept d '«expression»). Mais en théorie des ensembles, cela peut encore dépendre des valeurs des variables libres.
Ainsi une expression A (et toute structure qu'elle définit) sera dite admissible si elle a effectivement une valeur pour les valeurs données de ses variables libres (vues comme arguments et paramètres de toute structure qu'elle définit). Cette condition est elle-même un prédicat partout admissible, exprimé par une formule dA avec les mêmes variables libres. En choisissant une d'elles comme argument, la classe qu'elle définit est le méta-domaine, appelé classe d'admissibilité, de la structure unaire définie par A.
Les expressions ne doivent être employées que là où elles sont admissibles, ce qui se fera assez naturellement. La condition d'admissibilité de (xE) est Set(E). Celle de l'évaluateur de fonction f(x), est (Fnc(f) ∧ x ∈ Dom f).
Mais l'admissibilité de cette dernière formule nécessite une justification, donnée plus bas.

Admissibilité étendue

Une théorie aux structures partiellement admissibles, comme la théorie des ensembles, peut être formalisée (traduite) en théorie avec un seul type et des structures partout admissibles, gardant intactes les expressions et leurs valeurs partout où elles sont admissibles : les modèles se traduisent dans un sens en donnant des valeurs arbitraires aux structures non admissibles (par exemple une valeur constante), et en sens inverse en ignorant ces valeurs. Ainsi, une expression comportant une sous-expression non admissible peut être déclarée admissible si sa valeur finale ne dépend pas de ces valeurs ajoutées.
En particulier, pour toutes formules A et B on considèrera les formules AB et AB comme admissibles si A est faux, de valeurs respectives 0 et 1, même si B n'est pas admissible. Donnons leur ainsi la même condition d'admissibilité (dA ∧ (AdB)) (rompant, pour «et», la symétrie entre A et B qu'il est inutile de rétablir). Cette formule est rendue admissible par la même règle dès lors que dA et dB étaient admissibles. Ainsi les deux formules

A ∧ (BC)
(AB) ∧ C

ont la même condition d'admissibilité (dA ∧ (A ⇒ (dB ∧ (BdC)))).

Les classes seront définies par des prédicats unaires partout admissibles, facilement exprimables par la règle ci-dessus comme suit.
Tout prédicat A peut être étendu au-delà de son domaine d'admissibilité, sous la forme dAA (donnant 0) ou dAA (donnant 1).
Pour toute classe A et tout prédicat unaire B admissible sur tout A, la classe définie par AB est appelée la sous-classe de A définie par B.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories: notions, objets et méta-objets
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles
1.9. Quantificateurs
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
Temps en théorie des ensembles
Interprétation des classes
Concepts de vérité en mathématiques
Aspects philosophiques
Temps en théorie des modèles
Temps
entre théories
2. Théorie des ensembles (suite) 3. Théorie des modèles

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EN : 1. First foundations of mathematics : Classes in set theory