1.4. Structures des systèmes mathématiques

Les structures interprétant le langage d'une théorie (valeurs des symboles de structure dans une interprétation ensembliste), relient les objets de différents types, donnant leurs rôles aux objets de chaque type en rapport avec ceux d'autres types, pour former le système étudié. Suivant ces rôles, les objets peuvent être interprétés comme des objets complexes, malgré leur nature première d'éléments purs.
Les théories génériques admettent 2 sortes de structures (et donc de symboles de structure): les opérateurs et les prédicats.

Un opérateur est une opération entre les types interprétés. Au niveau de la théorie avant interprétation, chaque symbole d'opérateur vient avec les données de sa liste des arguments (figurés comme des espaces autour du symbole), le type abstrait de chaque argument (qui aura pour domaine ce type interprété), et le type unique de toutes ses valeurs (résultats de l'opération). Dans une théorie avec un seul type, cette donnée est réduite à l'arité.
Les symboles de constantes d'une théorie sont ses symboles d'opérateur nulaires (sans argument).
Les opérateurs unaires (qui sont des fonctions) seront appelés ici des foncteurs (*).

La liste des types est complété par le type booléen, interprété comme la paire d'éléments qu'on notera 1 pour «vrai» et 0 pour «faux». Une variable de ce type (hors de la théorie) est appelée variable booléenne.
Un para-opérateur est un opérateur généralisé en autorisant le type Booléen parmi ses types d'arguments et de résultats.
Un connecteur est un para-opérateur dont tous les arguments et les valeurs sont booléens.
Un prédicat est un para-opérateur à valeurs booléennes avec au moins un argument mais aucun argument booléen.
Comme sera formalisé en 2.4, un opérateur n-aire f est réductible au prédicat (n+1)-aire (y=f(x1,...,xn)), vrai pour une valeur unique de y pour toutes valeurs choisies de x1,...,xn.

Structures de la théorie des ensembles

Formaliser la théorie des ensembles, c'est la décrire comme une théorie avec ses notions, ses structures et ses axiomes. Nous admettrons 3 notions primitives (sortes d'objets): éléments (tous les objets), ensembles et fonctions. Leurs principales structures primitives sont introduites ci-dessous. La plupart des autres structures primitives et axiomes seront présentés en 1.8, 1.10 et 1.11, dans un cadre logique dédié, convertible en logique du premier ordre par une procédure également décrite en 1.10. D'autres composants primitifs s'ajouteront encore ensuite (2.1, 2.4, 2.5, 2.10, 4.3).

Ce lien entre la théorie des ensembles et la théorie du/des modèles (voyant la théorie des ensembles comme basée sur la théorie des modèles), qui relie les terminologies des deux théories, diffère de celui donné par conversions des théories génériques en théorie des ensembles. Comme les notions ensemblistes (ensembles, fonctions ...) doivent garder leur nom naturel lorsqu'on les définit par cette formalisation, il deviendrait incorrect de garder cette terminologie pour les utiliser au sens du lien précédent (où les notions étaient des "ensembles" et les opérateurs étaient des "opérations"). Alors pour éviter toute confusion, utilisons ici uniquement les notions de théorie des modèles comme cadre conceptuel, en ignorant leurs interprétations ensemblistes. Nous décrirons en 1.7 comment ces deux liens peuvent être mis ensemble, et comment les deux manières de concevoir les mêmes théories (les décrire par la théorie des modèles ou utiliser une interprétation ensembliste), peuvent être réconciliées.

Un aspect du rôle des ensembles, est donné par le prédicat binaire ∈ d'appartenance : pour tout élément x et tout ensemble E, on dit que x est dans E (ou x appartient à E, ou x est élément de E, ou E contient x), et on note xE, pour signifier que x est parmi les valeurs d'une variable de domaine E.
Les fonctions f jouent leur rôle par deux opérateurs : le foncteur Dom (donnant leurs domaines) et l'évaluateur de fonction, opérateur binaire implicite dans la notation f(x), d'arguments f et x, et donnant la valeur de toute fonction f en tout élément x de Dom f.

A propos de la théorie axiomatique des ensembles ZFC

La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF, ou ZFC avec axiome du choix) est une théorie générique avec un seul type «ensemble», le symbole de structure ∈, et des axiomes. Il suppose implicitement que tout objet est un ensemble, et donc un ensemble d'ensembles indéfiniment, construits sur l'ensemble vide.
Comme théorie des ensembles assez simplement exprimable mais très puissante pour un cycle fondateur élargi, elle peut en effet être un bon choix pour les spécialistes de logique mathématique pour prouver commodément divers théorèmes fondationnels difficiles, tels que la non-démontrabilité de certains énoncés, tout en leur donnant une portée sans doute parmi les meilleures concevables.
Mais malgré l’habitude des auteurs de cours de mathématiques de base de concevoir leur présentation de la théorie des ensembles comme une version vulgarisée ou implicite de ZF(C), ce n’est en fait pas une référence idéale pour un démarrage des mathématiques pour débutants:

Formalisation des types et structures comme objets de la théorie du modèle

Pour décrire la théorie du modèle comme une théorie utilisant le préfixe méta, les méta-notions de "types" et de "structures" reçoivent leurs rôles par des méta-structures comme suit.

La théorie du modèle supposant une modèle fixe, il lui suffit d’un méta-type de "types" pour jouer les deux rôles de types abstraits (dans la théorie) et de types interprétés (composants du modèle), respectivement donnés par deux méta-foncteurs: l'un des variables vers les types, et l'autre des objets vers les types. En effet, la notion plus générale d '«ensemble d'objets» n'est pas utilisée et peut être ignorée.

Mais la méta-notion de structure devra rester distincte du langage, car d'autres structures que celles nommées dans le langage seront employées (1.5). Les structures obtiendront leurs rôles (en tant qu'opérations entre types interprétés ...) par des méta-structures similaires à l'évaluateur de fonctions (voir 3.1-3.2 pour une approche), tandis que le langage (ensembles des symboles de structure) y sera interprété par un méta-foncteur des symboles de structure vers les structures. Or, cette seule formalisation laisserait indéterminée l'étendue de cette notion de structure.
Essayer de concevoir cette étendue comme celle de «toutes les opérations entre les types interprétés» laisserait inconnue la source de connaissance d'une telle totalité. Cette idée de totalité sera formalisée en théorie des ensembles par l'ensemble des parties (2.5), mais sa signification dépendra encore de l'univers où il est interprété (qu'on suppose contenir toutes les opérations voulues), loin de notre préoccupation actuelle pour la théorie du modèle.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction aux fondements des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories: notions, objets, méta-objets
1.4. Structures des systèmes mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles
1.9. Quantificateurs
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
 ⇨ Aspects philosophiques
Temps en théorie des modèles
Temps en théorie des ensembles
Interprétation des classes
Concepts de vérité en mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles
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EN : 1. First foundations of mathematics : 1.4. Structures of mathematical systems