1.4. Structures des systèmes mathématiques

Les structures interprétant le langage d'une théorie, relient les objets de différents types, donnant leurs rôles aux objets de chaque type en rapport avec ceux d'autres types, pour former le système étudié. Suivant ces rôles, les objets peuvent être interprétés comme des objets complexes, bien que n'ayant autrement pas de nature comme des urelements.
Les sortes de structures (et donc aussi les types de symboles de structure) autorisées pour les théories du premier ordre, ainsi appelées structures du premier ordre, seront classifiés en opérateurs et prédicats. Nous les décrirons comme des opérations désignées par les symboles de structure dans une interprétation ensembliste. Des structures plus puissantes nommées structures du second ordre seront introduites en 5.1, venant d'outils ensemblistes ou comme paquets d'un type supplémentaire avec des structures du premier ordre.

Interprétation ensembliste

Toute théorie générique peut être interprétée (insérée, traduite) en théorie des ensembles, en convertissant ses composants en composants de la théorie des ensembles. C'est l'approche habituelle des mathématiques ordinaires, voyant de nombreux systèmes comme «ensembles avec des relations ou des opérations telles que ...», avec des connexions possibles entre ces systèmes. Présentons à la fois les interprétations génériques applicables à toute théorie générique, et d'autres habituellement préférées pour des théories particulières.

Toute interprétation convertit chaque type abstrait en un symbole (nom) désignant un ensemble appelé type interprété (servant de domaine aux variables de ce type, dont l'usage reste par ailleurs intact). Ce symbole est habituellement une variable fixe dans le cas générique, mais peut être accepté comme symbole de constante de la théorie des ensembles dans des cas particuliers comme les systèmes de nombres (ℕ, ℝ...).
Dans les interprétations génériques, tous les objets (éléments des types interprétés) sont des urelements, mais d'autres sortes d'interprétations dites standard par convention pour des théories particulières peuvent faire autrement. Par exemple, les interprétations standard de la géométrie représentent les points par des urelements, mais représentent les droites par des ensembles de points.

Les interprétations génériques convertiront aussi les symboles de structure en variables fixes (tandis que celles standard peuvent les définir par le langage de la théorie des ensembles). Tout choix de valeurs fixes de tous les types et symboles de structure définit un choix de modèle. Lorsque le langage est vu comme un ensemble (en particulier s'il est fini), les modèles deviennent des objets de la théorie des ensembles, dont la multiplicité vient de la variabilité des types et des symboles de structures. Ceci permet d'intégrer toutes les théories voulues dans une même théorie des ensembles, rassemblant des représentants de tous leurs modèles considérés dans un même modèle de la théorie des ensembles. C'est pourquoi un modèle de la théorie des ensembles est appelé un univers. En adoptant la théorie des ensembles comme cadre conceptuel, ce concept "d'interprétation" devient synonyme de choix d'un modèle.

Structures du premier ordre

Un opérateur est une opération entre les types interprétés. Au niveau de la théorie avant interprétation, chaque symbole d'opérateur vient avec son type de symbole formé de Dans une théorie avec un seul type, cette donnée est réduite à l'arité.
Les symboles de constantes d'une théorie sont ses symboles d'opérateur nulaires (sans argument).
Les opérateurs unaires (qui sont des fonctions) seront appelés ici des foncteurs (*).

La liste des types est complété par le type booléen, interprété comme la paire d'éléments qu'on notera 1 pour «vrai» et 0 pour «faux». Une variable de ce type (hors de la théorie) est appelée variable booléenne.

Un para-opérateur est un opérateur généralisé en autorisant le type Booléen parmi ses types d'arguments et de résultats.
Un connecteur est un para-opérateur dont tous les arguments et les valeurs sont booléens.
Un prédicat est un para-opérateur à valeurs booléennes avec au moins un argument mais aucun argument booléen.
Comme sera formalisé en 2.4, un opérateur n-aire f est réductible au prédicat (n+1)-aire (y=f(x1,...,xn)), vrai pour une valeur unique de y pour toutes valeurs choisies de x1,...,xn.

Structures de la théorie des ensembles

Formaliser la théorie des ensembles, c'est la décrire comme une théorie avec ses notions, ses structures et ses axiomes. Nous admettrons 3 notions primitives : éléments (tous les objets), ensembles et fonctions. Leurs principales structures primitives sont introduites ci-dessous. La plupart des autres symboles primitifs et axiomes seront présentés en 1.8, 1.10 et 1.11, dans un cadre logique dédié, convertible en logique du premier ordre par une procédure également décrite en 1.10. D'autres composants primitifs s'ajouteront encore ensuite (2.1, 2.4, 2.5, 4.3). Des composants optionnels comme l’axiome du choix (2.10), ouvriront une diversité de théories des ensembles possibles.

Cette approche de la théorie des ensembles comme décrite par la théorie du/des modèles, relie les terminologies des deux théories, de manière différente du lien donné par interprétations des théories génériques en théorie des ensembles. Comme les notions ensemblistes (ensembles, fonctions ...) doivent garder leur nom naturel lorsqu'on les définit par cette formalisation, il deviendrait incorrect de garder cette terminologie pour les utiliser au sens du lien précédent (où les notions étaient des "ensembles" et les opérateurs étaient des "opérations"). Alors pour éviter toute confusion, utilisons ici uniquement les notions de théorie des modèles comme cadre conceptuel, en ignorant leurs interprétations ensemblistes. Nous décrirons en 1.7 comment ces deux liens peuvent être mis ensemble, et comment les deux manières de concevoir les mêmes théories (les décrire par la théorie des modèles ou utiliser une interprétation ensembliste), peuvent être réconciliées.

Un aspect du rôle des ensembles, est donné par le prédicat binaire ∈ d'appartenance : pour tout élément x et tout ensemble E, on dit que x est dans E (ou x appartient à E, ou x est élément de E, ou E contient x), et on note xE, pour signifier que x est une valeur possible des variables de domaine E.
Les fonctions f jouent leur rôle par deux opérateurs : le foncteur Dom (donnant leurs domaines) et l'évaluateur de fonction, opérateur binaire implicite dans la notation f(x), d'arguments f et x, et donnant la valeur de toute fonction f en tout élément x de Dom f.

A propos de la théorie axiomatique des ensembles ZFC

La théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF, ou ZFC avec axiome du choix) est une théorie générique avec un seul type «ensemble», le symbole de structure ∈, et des axiomes. Il suppose implicitement que tout objet est un ensemble, et donc un ensemble d'ensembles indéfiniment, construits sur l'ensemble vide.
Comme théorie des ensembles assez simplement exprimable mais très puissante pour un cycle fondateur élargi, elle peut en effet être un bon choix pour les spécialistes de logique mathématique pour prouver commodément divers théorèmes fondationnels difficiles, tels que la non-démontrabilité de certains énoncés, tout en leur donnant une portée sans doute parmi les meilleures concevables.
Mais malgré l’habitude des auteurs de cours de mathématiques de base de concevoir leur présentation de la théorie des ensembles comme une version vulgarisée ou implicite de ZF(C), ce n’est en fait pas une référence idéale pour un démarrage des mathématiques pour débutants:

Formalisation des types et structures comme objets de la théorie du modèle

Pour formaliser la théorie du modèle en utilisant le préfixe méta-, les méta-notions de "types" et de "structures" reçoivent leurs rôles par des méta-structures comme suit.

La théorie du modèle supposant une modèle fixe, il lui suffit d’un méta-type de "types" pour jouer les deux rôles de types abstraits (dans la théorie) et de types interprétés (composants du modèle), respectivement donnés par deux méta-foncteurs: l'un des variables vers les types, et l'autre des objets vers les types. En effet, la notion plus générale d'«ensemble d'objets» n'est pas utilisée et peut être ignorée.

Mais la méta-notion de structure devra rester distincte du langage, car d'autres structures que celles nommées dans le langage seront employées (1.5). Les structures recevront leurs rôles d'opérations, par des méta-structures similaires à l'évaluateur de fonctions (voir 3.1-3.2 pour une approche), tandis que le langage (ensembles des symboles de structure) y sera interprété par un méta-foncteur des symboles de structure vers les structures.
Or, cette seule formalisation laisserait indéterminée l'étendue de cette notion de structure. Essayer de concevoir cette étendue comme celle de «toutes les opérations entre les types interprétés» laisserait inconnue la source de connaissance d'une telle totalité. Cette idée de totalité sera formalisée en théorie des ensembles par l'ensemble des parties (2.5), mais sa signification dépendra encore de l'univers où il est interprété, loin de notre préoccupation actuelle pour la théorie du modèle.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction aux fondements des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories: notions, objets, méta-objets
1.4. Structures des systèmes mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles
1.9. Quantificateurs
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
 ⇨ Aspects philosophiques
Temps en théorie des modèles
Temps en théorie des ensembles
Interprétation des classes
Concepts de vérité en mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles
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EN : 1. First foundations of mathematics : 1.4. Structures of mathematical systems