1.3. Forme des théories: notions, objets et méta-objets

La variabilité du modèle

Chaque théorie cohérente admet son modèle comme fixe, mais cela n'est généralement qu'un simple «choix» d'un modèle dans une diversité (infinie) d'autres modèles «existants», et tout aussi légitimes, de la même théorie; le modèle devient variable lorsqu'il est vu par la théorie des modèles. Mais, ce «choix» et cette «existence» d'un modèle peuvent être très abstraits. En détails, la preuve du théorème de complétude, de la façon qui fonctionne dans tous les cas, va effectivement «spécifier» un modèle dans la gamme de possibilités, mais cette construction n'est pas vraiment explicite (utilisant une infinité d'étapes, où chaque étape dépend d'une connaissance infinie).
Dans ces conditions, l'hypothèse de la fixation d'un modèle peut être qualifiée de non-sens, mais constitue néanmoins l'interprétation standard des théories mathématiques.

Notions et objets

Chaque théorie a sa propre liste de notions, couramment désignées par des noms communs, qui sont les sortes de variables utilisées par la théorie. Chaque modèle (interprétation de la théorie) interprète chaque notion comme un ensemble qui est le domaine commun de toutes les variables de cette sorte. Par exemple, la géométrie euclidienne a les notions de «point», «ligne droite», «cercle» et plus. Les objets d'une théorie dans un modèle, sont toutes les valeurs possibles de ses variables (éléments des notions) dans ce modèle.

Théorie du modèle

Lorsqu'on évoque plusieurs théories T et systèmes M (modèles possibles de ces T), on se trouve dans le cadre de la théorie des modèles, avec ses notions de «théorie» et «système» qui sont les sortes respectives des variables T et M.
Mais lorsqu'on concentre l'étude sur une théorie (notamment une théorie des ensembles) avec un modèle supposé fixe, les variables T et M étant fixées disparaissent (ce ne sont plus des variables, le choix de la théorie et du modèle devient implicite). Ainsi, les notions de théorie et de modèle disparaissent également de la liste des notions.
Ceci réduit le cadre du discours, de la théorie des modèles vers celui de théorie du modèle. Un modèle de la théorie du modèle, est un système [T,M] combinant une théorie T et un modèle M de T.

Sur la diversité des cadres logiques

Avant de donner une théorie T, on doit spécifier son cadre logique (son format, sa grammaire), à savoir le choix d'une version précise de la théorie du modèle, décrivant les formes admissibles de contenu de T, leur signification sur M, et comment leurs conséquences peuvent s'en déduire. Voici ceux que nous présenterons, grossièrement ordonnés du plus pauvre au plus expressif (bien que l'ordre dépende des manières de les relier):

Nous allons d'abord décrire deux des principaux cadres logiques en parallèle : la logique du premier ordre, et la théorie des ensembles.
Tous ces cadres sauf la théorie des ensembles, gèrent les notions comme des types (habituellement en nombre fini pour chaque théorie), classifiant à la fois variables et objets : chaque objet n'appartiendra qu'à un seul type, celui des variables qui peuvent le désigner. Par exemple, un objet de la géométrie euclidienne peut être un point ou une droite, mais le même objet ne peut être à la fois un point et une droite.

Exemples de notions de diverses théories

Théorie Sortes d'objets (notions)
Théorie générique Eléments purs classés par types
Théorie des ensembles   Eléments, ensembles, fonctions, opérations, relations, uplets...
Théorie des modèles Théories génériques, systèmes et leurs composants (détaillés ci-dessous).
Théorie du modèle Objets, symboles, types, structures (opérateurs, prédicats), expressions (termes, formules)...
Arithmétique Nombres entiers
Algèbre linéaire Vecteurs, scalaires...
Géométrie Points, droites, cercles...

Méta-objets

Les notions d'une théorie du modèle T1, normalement interprétées dans [T,M], classifient les composants de T («type», «symbole», «formule»...) et ceux de M («objet», et des outils pour y interpréter T). Mais les mêmes notions (bien que d'une version différente de la théorie du modèle) pourront être interprétées dans [T1, [T,M]], en les marquant du préfixe méta-.

Par sa notion d'«objet», la théorie du modèle distingue les objets de T dans M du reste de ses propres objets dans [T,M] qui sont les méta-objets. La règle ci-dessus d'utilisation du préfixe méta admettrait tout objet comme un méta-objet particulier; mais on fera une exception de vocabulaire en réservant le nom de méta-objet à ceux qui ne sont pas des objets : les symboles, les types (et autres notions), structures, expressions...

La théorie des ensembles ne connait que les domaines de certaines de ses variables, vus comme objets (ensembles). Mais vue par la théorie du modèle, toute variable d'une théorie a un domaine parmi les notions, qui ne sont que des méta-objets.

Composants des théories

Une fois fixé un cadre logique, le contenu d'une théorie, consiste en 3 listes successives (sortes) de composants, où les composants des 2 dernières sortes sont des systèmes finis faits à partir de ceux de la sorte précédente: Un fondement d'une théorie est un choix initial de son contenu, décrivant ses modèles voulus. Puis, les développements élargiront ce contenu par des composants supplémentaires de chaque type, en préservant son sens (décrivant essentiellement les mêmes modèles) comme sera expliqué plus tard.

Interprétation ensembliste

Toute théorie générique peut être insérée (traduite) en théorie des ensembles, en traduisant ses composants en composants de la théorie des ensembles. C'est l'approche habituelle des mathématiques ordinaires, voyant de nombreux systèmes comme «ensembles avec des relations ou des opérations telles que ...», avec des connexions possibles entre eux. Présentons à la fois la méthode de traduction générique (fonctionnant pour toute théorie générique), et l'autre méthode (non-générique) habituellement préférée pour la géométrie.

Dans tous les cas, les types abstraits deviennent des noms d'ensembles : des symboles de variables fixes (ou nouveaux symboles de constantes) dont les valeurs sont des ensembles appelés types interprétés qui serviront de domaines aux variables de chaque type (dont l'usage reste par ailleurs intact). La méthode générique convertit tous les objets en éléments purs, mais d'autres méthodes spécifiques à des théories données (la géométrie, ou la théorie des ensembles dans son interprétation standard) peuvent faire autrement. Par exemple en géométrie, les deux types abstraits «Point» et «Droite» deviennent des variables fixes P et L, désignant respectivement l'ensemble de tous les points (qui sont des éléments purs) et l'ensemble de toutes les droites (qui sont des ensembles de points).

La méthode générique convertira aussi les symboles de structure en symboles de variables fixes. Les interprétations possibles des types et des symboles de structure (leurs valeurs en tant que variables fixes) définissent un choix de modèle. Les modèles deviennent des objets de la théorie des ensembles, dont la multiplicité correspond à la variation de ces variables. Ceci permet d'intégrer toutes les théories voulues dans une même théorie des ensembles, rassemblant tous leurs modèles dans un même modèle de la théorie des ensembles. C'est pourquoi un modèle de la théorie des ensembles sera appelé un univers.

Une autre procédure (sections 1.9, 1.10, moins utile aux mathématiques ordinaires) convertira le cadre de la théorie des ensembles en logique du premier ordre. Cela n'inversant pas la traduction ci-dessus, les deux cadres de la logique du premier ordre et de la théorie des ensembles restent fondamentalement différents.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction aux fondements des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles
1.9. Quantificateurs
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
 ⇨ Aspects philosophiques
Temps en théorie des modèles
Temps en théorie des ensembles
Interprétation des classes
Concepts de vérité en mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles
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EN : 1. First foundations of mathematics : 1.3. Form of theories: notions, objects, meta-objects