1.3. Forme des théories: notions, objets et méta-objets

La variabilité du modèle

Chaque théorie cohérente admet son modèle comme fixe, mais cela n'est généralement qu'un simple «choix» d'un modèle dans une diversité (infinie) d'autres modèles «existants», et tout aussi légitimes, de la même théorie; le modèle devient variable lorsqu'il est vu par la théorie des modèles. Mais, ce «choix» et cette «existence» d'un modèle peuvent être très abstraits. En détails, la preuve du théorème de complétude, de la façon qui fonctionne dans tous les cas, va effectivement «spécifier» un modèle dans la gamme de possibilités, mais cette construction n'est pas vraiment explicite (utilisant une infinité d'étapes, où chaque étape dépend d'une connaissance infinie).
Dans ces conditions, l'hypothèse de la fixation d'un modèle peut être qualifiée de non-sens, mais constitue néanmoins l'interprétation standard des théories mathématiques.

Notions et objets

Chaque théorie a sa propre liste de notions, couramment désignées par des noms communs, qui sont les sortes de variables utilisées par la théorie. Chaque modèle (interprétation de la théorie) interprète chaque notion comme un ensemble qui est le domaine commun de toutes les variables de cette sorte. Par exemple, la géométrie euclidienne a les notions de «point», «ligne droite», «cercle» et plus. Les objets d'une théorie dans un modèle, sont toutes les valeurs possibles de ses variables (éléments des notions) dans ce modèle.

Théorie du modèle

Lorsqu'on évoque plusieurs théories T et systèmes M (modèles possibles de ces T), on se trouve dans le cadre de la théorie des modèles, avec ses notions de «théorie» et «système» qui sont les sortes respectives des variables T et M.
Mais lorsqu'on concentre l'étude sur une théorie (notamment une théorie des ensembles) avec un modèle supposé fixe, les variables T et M étant fixées disparaissent (ce ne sont plus des variables, le choix de la théorie et du modèle devient implicite). Ainsi, les notions de théorie et de modèle disparaissent également de la liste des notions.
Ceci réduit le cadre du discours, de la théorie des modèles vers celui de théorie du modèle. Un modèle de la théorie du modèle, est un système [T,M] combinant une théorie T et un modèle M de T.

Sur la diversité des cadres logiques

Avant de donner une théorie T, on doit spécifier son cadre logique (son format, sa grammaire), qui décrit les formes admissibles du contenu de T, ce qu'un tel contenu signifie pour M et comment ses conséquences peuvent s'en déduire. Ce cadre est donné par le choix d'une version précise de la théorie du modèle, qui décrit T et interprète ses énoncés.
Nous allons d'abord décrire deux des principaux cadres logiques en parallèle. Les théories conformes au cadre le plus courant de la logique du premier ordre seront ici appelées théories génériques. La théorie des ensembles sera exprimée dans un cadre qui lui est spécialement adapté. D'autres cadres seront introduits dans la partie 3.
Les cadres logiques les plus courants sauf celui que nous utiliserons pour la théorie des ensembles, gèreront les notions comme des types (habituellement en nombre fini pour chaque théorie), classifiant à la fois variables et objets : chaque objet n'appartiendra qu'à un seul type, celui des variables qui peuvent le désigner. Par exemple, un objet de la géométrie euclidienne peut être un point ou une droite, mais le même objet ne peut être à la fois un point et une droite.

Exemples de notions de diverses théories

Théorie Sortes d'objets (notions)
Théorie générique Eléments purs classés par types
Théorie des ensembles   Eléments, ensembles, fonctions, opérations, relations, uplets...
Théorie des modèles Théories génériques, systèmes et leurs composants (détaillés ci-dessous).
Théorie du modèle Objets, symboles, types, structures (opérateurs, prédicats), expressions (termes, formules)...
Arithmétique Nombres entiers
Algèbre linéaire Vecteurs, scalaires...
Géométrie Points, droites, cercles...

Méta-objets

Les notions d'une théorie du modèle T1, normalement interprétées dans [T,M], classifient les composants de T («type», «symbole», «formule»...) et ceux de M («objet», et des outils pour y interpréter T). Mais les mêmes notions (bien que d'une version différente de la théorie du modèle) pourront être interprétées dans [T1, [T,M]], en les marquant du préfixe méta-.

Par sa notion d'«objet», la théorie du modèle distingue les objets de T dans M du reste de ses propres objets dans [T,M] qui sont les méta-objets. La règle ci-dessus d'utilisation du préfixe méta admettrait tout objet comme un méta-objet particulier; mais on fera une exception de vocabulaire en réservant le nom de méta-objet à ceux qui ne sont pas des objets : les symboles, les types (et autres notions), structures, expressions...

La théorie des ensembles ne connait que les domaines de certaines de ses variables, vus comme objets (ensembles). Mais vue par la théorie du modèle, toute variable d'une théorie a un domaine parmi les notions, qui ne sont que des méta-objets.

Composants des théories

Une fois fixé un cadre logique, le contenu d'une théorie (ou son fondement qui est son contenu initial, décrivant la forme attendue de ses modèles), consiste en un choix de 3 listes successives de composants, où les composants de chaque liste servent à former ceux de la liste suivante:

Interprétation ensembliste

Toute théorie générique (et son modèle si besoin) peut être insérée (traduite) vers la théorie des ensembles, en traduisant ses composants en composants de la théorie des ensembles. Présentons à la fois la méthode de traduction générique (fonctionnant pour toute théorie générique), et l'autre méthode (non-générique) habituellement préférée pour la géométrie.

Dans tous les cas, les types abstraits deviennent des symboles de variables fixes (ou nouveaux symboles de constantes) dont les valeurs sont des ensembles appelés types interprétés (domaines respectifs des variables de ce type). En géométrie, les deux types abstraits «Point» et «Droite» deviennent des variables fixes P et L, désignant respectivement l'ensemble de tous les points et l'ensemble de toutes les droites.
L'usage des symboles de variables reste intact, prenant valeurs parmi les objets de la théorie des ensembles (mais non tous). Alors que certains objets de la géométrie, comme les lignes droites, sont habituellement interprétés comme ensembles (de points), la méthode générique n'utilise que des éléments purs comme objets (on peut aussi rester ambigus, les appelant des éléments même s'ils ne sont pas purs).

La méthode générique convertira aussi tous les symboles de structure en symboles de variables fixes. Les interprétations des types et des symboles de structure (leurs valeurs en tant que variables fixes) déterminent le modèle, dont ils sont les principaux composants. Ce modèle, qui varie avec ces variables, est lui-même un objet de la théorie des ensembles. Ceci permet d'intégrer toutes les théories voulues dans une même théorie des ensembles, rassemblant tous leurs modèles à l'intérieur d'un même modèle de la théorie des ensembles. C'est pourquoi les modèles des théories des ensembles seront appelés des univers.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction aux fondements des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles
1.9. Quantificateurs
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
 ⇨ Aspects philosophiques
Temps en théorie des modèles
Temps en théorie des ensembles
Interprétation des classes
Concepts de vérité en mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles
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EN : 1. First foundations of mathematics : 1.3. Form of theories: notions, objects, meta-objects