1.3. Forme des théories: notions, objets et méta-objets

La variabilité du modèle

Chaque théorie décrit son modèle comme un système fixe. Mais du point de vue plus large de la théorie des modèles, cela n'est qu'un simple «choix» d'un modèle (interprétation) possible dans une diversité (généralement infinie) d'autres modèles existants, également légitimes, de la même théorie. Or, cette fixation du modèle, comme la fixation de toute variable, n’est que l’acte élémentaire de choisir une possibilité, en ignorant le problème de savoir comment spécifier un exemple. En fait, ces «choix» et «existence» de modèles peuvent être très abstraits. En détail, la preuve du théorème de complétude «spécifiera» effectivement un modèle de toute théorie cohérente pour le cas général, mais sa construction nécessitera une infinité d'étapes, dont chacune dépend d'une connaissance infinie. Indépendamment de cette difficulté, l’attitude de fixer implicitement un modèle lorsqu’on étudie formellement une théorie mathématique reste la manière standard de l'interpréter (sauf en un sens pour la théorie des ensembles comme expliqué en 1.D).

Notions et objets

Chaque théorie a sa propre liste de notions, couramment désignées par des noms communs, et qui lui servent formellement de sortes de variables utilisables. Chaque modèle interprète chaque notion comme un ensemble qui est le domaine commun de toutes les variables de cette sorte. Par exemple, la géométrie euclidienne a les notions de «point», «ligne droite», «cercle» et plus, et est généralement exprimée en utilisant un style différent de symbole variable pour chacune. Les objets d'une théorie dans un modèle, sont toutes les valeurs possibles de ses variables de toutes sortes (éléments de toutes ses notions) dans ce modèle.

Théorie du modèle

Toute discussion sur plusieurs théories T et systèmes M modèles possibles de ces T, se place dans la théorie des modèles, avec ses notions de «théorie» et «système» qui sont les sortes respectives des variables T et M. Mais en se concentrant sur une théorie avec un modèle fixe, les variables T et M étant fixées disparaissent de la liste des variables. Leurs sortes, les notions de théorie et de modèle, disparaissent ainsi de la liste des notions. Ceci réduit le cadre, de la théorie des modèles à la théorie du modèle. Un modèle de la théorie du modèle, est un système [T,M] combinant une théorie T et un modèle M de T.

Sur la diversité des cadres logiques

Le rôle d'un cadre logique, version précise de la théorie du modèle ou des modèles avec sa théorie des preuves, est de décrire Voici ceux que nous présenterons, grossièrement ordonnés du plus pauvre au plus expressif (bien que l'ordre dépende des manières de les relier): Nous allons d'abord décrire les deux principaux cadres logiques en parallèle. La logique du premier ordre est la version standard de la théorie des modèles, décrivant les théories du premier ordre qu'on appellera également ici des théories génériques. La théorie des ensembles, qui peut englober toutes les autres théories, pourra également englober les cadres logiques et ainsi servir elle-même de cadre logique ultime, comme cela sera expliqué en 1.7. Le qualificatif "ensembliste" visera à qualifier tout concept appartenant à, ou se rapportant à, la théorie des ensembles.
La plupart de ces cadres gèrent les notions comme des types (habituellement en nombre fini pour chaque théorie), classifiant à la fois variables et objets. Les notions sont appelées des types si chaque objet n'appartient qu'à un seul d'entre eux, qu'on appelle alors aussi le type des variables qui peuvent le désigner. Par exemple, un objet de la géométrie euclidienne peut être un point ou une droite, mais le même objet ne peut être à la fois un point et une droite. Mais la théorie des ensembles nécessitera d'autres notions que les types: les classes, qui seront introduites en 1.7.

Exemples de notions de diverses théories

Théorie Sortes d'objets (notions)
Théorie générique Eléments purs classés par types pour jouer divers roles
Théorie des ensembles  Eléments, ensembles, fonctions, opérations, relations, uplets...
Théorie des modèles Théories, systèmes et leurs composants (détaillés ci-dessous).
Théorie du modèle Objets, symboles, types ou autres notions, Booléens,
structures (opérateurs, prédicats), expressions (termes, formules)...
Arithmétique Nombres entiers
Algèbre linéaire Vecteurs, scalaires...
Géométrie Points, droites, cercles...

Méta-objets

Les notions d'une théorie du modèle T1, normalement interprétées dans [T,M], classifient les composants de T («type», «symbole», «formule»...) et ceux de M («objet», et des outils pour y interpréter T). Mais les mêmes notions (bien que d'une version différente de la théorie du modèle) pourront être interprétées dans [T1, [T,M]], en les marquant du préfixe méta-.

Par sa notion d'«objet», la théorie du modèle distingue les objets de T dans M du reste de ses propres objets dans [T,M] qui sont les méta-objets. La règle ci-dessus d'utilisation du préfixe méta admettrait tout objet comme un méta-objet particulier; mais on fera une exception de vocabulaire en réservant le nom de méta-objet à ceux qui ne sont pas des objets : les symboles, les types (et autres notions), structures, expressions...

La théorie des ensembles ne connait que les domaines de certaines de ses variables, vus comme objets (ensembles). Mais vue par la théorie du modèle, toute variable d'une théorie a un domaine parmi les notions, qui ne sont que des méta-objets.

Composants des théories

Dans un cadre logique donné, le contenu d'une théorie consiste en 3 listes de composants de sortes suivantes, où ceux de chacune des 2 dernières sortes sont des systèmes finis utilisant ceux de la sorte précédente:

Interprétation ensembliste

Toute théorie générique peut être interprétée (insérée, traduite) en théorie des ensembles, en traduisant ses composants en composants de la théorie des ensembles. C'est l'approche habituelle des mathématiques ordinaires, voyant de nombreux systèmes comme «ensembles avec des relations ou des opérations telles que ...», avec des connexions possibles entre ces systèmes. Présentons à la fois les interprétations génériques applicables à toute théorie générique, et d'autres habituellement préférées pour des théories particulières.

Toute interprétation convertit chaque type abstrait en un symbole (nom) désignant un ensemble appelé type interprété (servant de domaine aux variables de ce type, dont l'usage reste par ailleurs intact). Ce symbole est habituellement une variable fixe dans le cas générique, mais peut être accepté comme symbole de constante de la théorie des ensembles dans des cas particuliers comme les systèmes de nombres (ℕ, ℝ...).
Dans les interprétations génériques, tous les objets (éléments des types interprétés) sont des éléments purs, mais d'autres sortes d'interprétations dites standard par convention pour des théories particulières peuvent faire autrement. Par exemple, les interprétations standard de la géométrie représentent les points par des éléments purs, mais représentent les droites par des ensembles de points.

Les interprétations génériques convertiront aussi les symboles de structure en variables fixes (tandis que celles standard peuvent les définir par le langage de la théorie des ensembles). Tout choix de valeurs fixes des types et des symboles de structure définit un choix de modèle. Les modèles deviennent des objets de la théorie des ensembles, dont la multiplicité vient de la variabilité des types et des symboles de structures. Ceci permet d'intégrer toutes les théories voulues dans une même théorie des ensembles, rassemblant tous leurs modèles dans un même modèle de la théorie des ensembles. C'est pourquoi un modèle de la théorie des ensembles sera appelé un univers.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction aux fondements des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles
1.9. Quantificateurs
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
 ⇨ Aspects philosophiques
Temps en théorie des modèles
Temps en théorie des ensembles
Interprétation des classes
Concepts de vérité en mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles
Other languages:
EN : 1. First foundations of mathematics : 1.3. Form of theories: notions, objects, meta-objects