1.B. Indéfinissabilité de la vérité

Poursuivant notre introduction à la vue d'ensemble des fondements des mathématiques, esquissons un aspect particulier de l'ordre temporel des interprétations: l'incapacité des théories auto-descriptives à définir (prédire) les valeurs de leurs propres énoncés. Cela confirmera le rôle de la hiérarchie des forces des théories et sera une étape clé dans la preuve de l'incomplétude de l'arithmétique (et donc de la logique du second ordre).

Objets standard et citations

Qualifions de théorie d'objets finis (FOT = finite object theory) les 3 théories Z1, FST et TT, similaires de par leur égalité de force.
Les objets dans les modèles standard d'un FOT seront eux-mêmes appelés standard, ce qui intuitivement signifie "vraiment fini": ils peuvent en principe être cités, c'est-à-dire désignés par un terme clos. Ainsi, le modèle standard de l'arithmétique ℕ est composé de nombres standard, valeurs de citations du style "1+...+1" (les détails effectifs seront étudiés dans la partie 4).
Les références à la vérité des énoncés et à la signification des classes des FOT seront implicitement entendues comme leurs interprétations standard, sauf indication contraire.

Les modèles non standard peuvent être compris comme des extensions du modèle standard: ils contiennent aussi tous les objets standard, précisément les copies des objets du modèle standard, définis comme valeurs de leurs citations; mais diffèrent en ayant d'autres objets au-delà, appelés objets non standard (non citables). Les nombres non standard seront également appelés pseudo-finis: vus par la théorie comme «finis» mais avec le schéma de propriétés d'être «absolument indescriptiblement grands»: supérieurs à tout nombre standard, donc en fait infinis.
Dans les expressions d'énoncés ou de classes de théories fondatrices, il n'y a généralement aucune différence à permettre des paramètres de valeur finie (= dont le type appartient à une partie FOT de la théorie) dans la mesure où ils sont plus précisément destinés à ne prendre que des valeurs standard, et peuvent donc être remplacés par leurs citations.

Dans un modèle non standard de FST, les ensembles standard sont les ensembles vraiment finis d'éléments tous standard. Mais cela ne définit pas la standardité, qu'on ne peut pas non plus définir par les citations (qui sont une infinité de méta-objets). Comme il sera clair dans la partie 4, le schéma d'axiomes rend la standardité indéfinissable par toute formule de FOT: le méta-ensemble des objets standard dans un modèle non standard n'est pas une classe, et donc (pour FST) pas un ensemble.

Théorèmes d'indéfinissabilité de la vérité

Toute théorie descriptible T plus forte que TT (= capable d'exprimer TT) peut également se décrire elles-même: les définitions des τ, L, X composant T forment le développement à partir de TT (et donc de T) de la version de 1TT décrivant T. Mais cela ne sera pleinement utilisé que pour les théorèmes d'incomplétude (1.C). D'abord, l'indéfinissabilité de la vérité utilisera TT (avec des notions générales d'expressions) mais pas X (distinction des axiomes parmi les énoncés; les τ et L habituels étant finis sont sans problème).
(Une version de 1TT avec τ, L ou X non défini n'étant pas un développement de TT proprement dit, son fonctionnement nécessiterait d'ajouter l'utilisation de τ, L, X dans le schéma d'axiomes : d'induction pour Z1, ou de compréhension pour FST ...).

Soit S la méta-classe des énoncés de T, et S la classe définie dans 1TT et donc dans T pour jouer le rôle de S dans tout modèle M de T. Pour tout énoncé FS on peut former sa citation ⌜F⌝ qui est un terme clos visant à désigner dans M l'objet jouant le rôle de cet énoncé : 1TT⊢ (⌜F⌝∈S).

Soit S1 la méta-classe des formules de T avec une seule variable libre (de domaine S mais ce détail peut être ignoré), visant à définir des prédicats invariants de domaine S. Alors aucun d'eux ne peut coïncider avec la véracité des énoncés dans le même modèle:

Théorème d'indéfinissabilité de la vérité (version faible). Pour tout modèle M de T, la méta-classe {AS | MA} des énoncés vrais dans M, diffère de toute classe invariante, dans M, d'objets "énoncés":

CS1, ∀MT, ∃AS, M⊨ (AC(⌜A⌝))

Théorème d'indéfinissabilité de la vérité (version forte).CS1, ∃AS, T ⊢ (AC(⌜A⌝)).

La tradition se concentre sur la démonstration de la version forte (détails en partie 5): la preuve utilisant le paradoxe du menteur fournit un A explicite, défini comme ¬C(⌜A⌝) où la citation ⌜A⌝ est obtenue par une technique d'auto-référence explicite (finitiste) mais complexe. Elle donne donc l'information "pure" d'un "inconnu connu": l'échec nécessaire de C à interpréter un A explicite "simplement" fait de ¬C appliqué à un terme clos complexe.

Mais la version faible peut être prouvée d'une autre manière (étrangement inconnue dans la littérature), par le paradoxe de Berry (les détails impliquant des subtilités dans les fondements de l'arithmétique ont été déplacés vers la partie 4): à partir d'une définition de la vérité des énoncés, on peut définir le prédicat entre formules et nombres disant quelle formule définit quel nombre, et donc définit un nombre du style "le plus petit nombre non définissable en moins de vingt mots" qui conduirait à la contradiction.
Cette preuve est à la fois plus intuitive (évitant les difficultés d'auto-référence) et fournit une information différente: elle montre l'omniprésence de «l'inconnu inconnu» donnant un ensemble fini d'énoncés A qui sont «moins purs» en leur genre mais moins complexes en taille, parmi lesquelles une "erreur" doit exister, sans préciser où (cela dépend du nombre qui serait ainsi "défini").

Prédicats de vérité

Appelons prédicat de vérité d'une théorie T décrite par une autre théorie T', tout prédicat C (défini par T' avec de possibles paramètres) sur la classe S d'énoncés de T, de sorte que
  1. AX, C(A) : il contient tous les axiomes de T
  2. AS, C(A)∨CA)
  3. C est cohérent.
De manière équivalente, 2. et 3. peuvent être remplacés par
  1. AS, C(A) ⇎ CA)
  2. C contient toutes les conséquences logiques des conjonctions de ses éléments.
L'existence d'un prédicat de vérité de T implique évidemment sa cohérence. Mais l'inverse est également TT-prouvable, ce qui rend ces équivalents:
Si T est cohérent alors on peut (TT-prouvablement) TT-définir un prédicat de vérité de T, en prenant tous les énoncés dans un ordre arbitraire et en ajoutant chacun aux axiomes si cohérent avec les axiomes précédemment acceptés.∎
Une telle définition n'est pas algorithmique (la condition "si cohérent" est invérifiable en temps fini), mais n'utilise aucun autre paramètre que T et un ordre sur son langage.

Propriétés des modèles

Les propriétés (du premier ordre) d'un modèle M de T, sont les énoncés de T vrais dans M.
La classe des propriétés de tout modèle de T est un prédicat de vérité de T. Mais cela n'a pas toujours de sens à cause de l'indéfinissabilité de la vérité : TT manque de définitions générales pour les classes de propriétés des systèmes infinis. Leur signification systématique ne vient que dans des cadres strictement plus forts tels que MT, pouvant tenir comme ensembles certaines classes infinies (telles que les classes d'objets finis) servant de types (classes d'objets) dans M.

Le théorème de complétude, simplement exprimé dans des théories des ensembles avec Infini, apparaît aussi dans TT comme un schéma de théorèmes qui, pour toute définition d'une théorie cohérente, conçoit un modèle comme une classe d'objets avec des structures définies par TT. La construction simple de notre preuve en 4.6 garantit la vérité des axiomes mais ignore les autres énoncés. En suivant cette construction, tous les énoncés s'interprètent comme cas particuliers d'énoncés TT (de paramètres τ, L, X composant T, à remplacer par leurs définitions). Ainsi, leur prédicat de vérité peut ne pas être invariant TT, mais est de toute façon invariant MT du moment que T l'était (car MT peut définir la vérité sur la classe des énoncés TT).

Mais l'application du théorème de complétude à un prédicat de vérité donné (qui peut être défini par TT), prouve dans TT l'existence d'un modèle dont les propriétés lui sont conformes, bien que ses notions interprétées ne soient pas des ensembles. Cela présente en 2 étapes comment construire un modèle avec des propriétés invariantes TT, mais le même objectif est également atteint par la construction unique mais plus difficile de la preuve traditionnelle (par Henkin) du théorème de complétude.

La diversité des modèles non standard

Au-delà du simple fait d'existence des modèles, les diverses façons de les construire et leurs cas d'utilisation (théories) fourniront une diversité de modèles, y compris des modèles non standard de théories fondatrices, plus ou moins similaires aux modèles standard.

Même avec des propriétés de premier ordre identiques (une condition qu'on peut adopter en prenant comme «axiomes» tous les énoncés vrais d'un modèle donné, bien que ce ne soit pas TT-invariant pour les modèles standard de théories plus fortes que TT), les modèles peuvent différer par des propriétés de niveau méta: cela sera vu pour l'arithmétique en 4.7, et pour toute théorie avec un modèle infini par le théorème de Löwenheim-Skolem.
Mais l'indéfinissabilité de la vérité implique que certains modèles construits diffèrent également par des propriétés du premier ordre à cause de leur invariance. Ceci vaut même pour des théories fondatrices "presque complètes" (pouvant notamment approcher une théorie complète du second ordre par élimination universelle du second ordre).

Toutes les théories fondatrices étant TT-invariantes, ont des modèles aux propriétés FOT-invariantes, donc déjà non standard pour leurs propriétés FOT.

Une théorie T plus forte que FOT sera qualifiée de FOT-correcte si, dans la classe des énoncés FOT, la T-prouvabilité implique la vérité (dans le modèle standard de FOT).
Toute théorie T invariante MT, cohérente et plus forte que MT, a des modèles MT-invariants (et MT-interprétables), donc de propriétés MT non standard (une fois clarifié un concept de "modèle standard de MT" ...). Si de plus T est FOT-correcte, l'ajout de tous les énoncés vrais TT aux axiomes donne encore une théorie cohérente et invariante MT, donnant des modèles de T avec des propriétés FOT standard mais d'autres propriétés MT non standard (et très probablement un modèle de FOT non standard).

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants
1.9. Axiomes et preuves
1.10. Quantificateurs
1.11. Quantificateurs du 2e ordre
Aspects philosophiques
1.A. Temps en théorie des modèles
1.B. Indéfinissabilité de la vérité
1.C. Théorèmes d'incomplétude
1.D. Le cadre ensembliste unifié
2. Théorie des ensembles - 3. Algèbre

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EN : 1. First foundations of mathematics : 1.B. Truth undefinability