1.B. Indéfinissabilité de la vérité

Objets standard et citations

Les modèles non standard peuvent être compris comme des extensions du modèle standard: ils contiennent aussi tous les objets standard, copies des objets du modèle standard, définis comme valeurs de leurs citations mathématiques; mais diffèrent en ayant d'autres objets au-delà, appelés objets non standard (non citables). Les nombres non standard seront également appelés pseudo-finis: vus par la théorie comme «finis» mais avec le schéma de propriétés d'être «absolument indescriptiblement grands»: supérieurs à tout nombre standard, donc en fait infinis.
Dans les expressions d'énoncés ou de classes de théories fondatrices, il n'y a généralement aucune différence à permettre des paramètres de valeur finie (= dont le type appartient à une partie FOT de la théorie) dans la mesure où ils sont plus précisément destinés à ne prendre que des valeurs standard, et peuvent donc être remplacés par leurs citations.

Théorèmes d'indéfinissabilité de la vérité

Soit S la méta-classe des énoncés de T, et S la classe définie dans 1TT et donc dans T pour jouer le rôle de S dans tout modèle M de T. Pour tout énoncé F∈S, sa citation ⌜F⌝ désigne dans M l'élément de S jouant le rôle de cet énoncé : 1TT⊢ (⌜F⌝∈S).

Soit S₁ la méta-classe des formules de T avec une seule variable libre (de domaine S mais ce détail peut être ignoré), visant à définir des prédicats invariants de domaine S. Alors aucun d'eux ne peut coïncider avec la véracité des énoncés dans le même modèle:

Théorème d'indéfinissabilité de la vérité (version faible). Pour tout modèle M de T, la méta-classe {A∈S | M⊨A} des énoncés vrais dans M, diffère de toute classe invariante, dans M, d'objets "énoncés":

∀C∈S₁, ∀M⊨T, ∃A∈S, M⊨ (A ⇎ C(⌜A⌝))

La tradition se concentre sur la démonstration de la version forte (détails en partie 5): la preuve utilisant le paradoxe du menteur fournit un A explicite, défini comme ¬C(⌜A⌝) où la citation ⌜A⌝ est obtenue par une technique d'auto-référence explicite (finitiste) mais complexe. Elle donne donc l'information "pure" d'un "inconnu connu": l'échec nécessaire de C à interpréter un A explicite "simplement" fait de ¬C appliqué à un terme clos complexe.

Mais la version faible peut être prouvée d'une autre manière, par le paradoxe de Berry (les détails impliquant des subtilités dans les fondements de l'arithmétique ont été déplacés vers la partie 4): à partir d'une définition de la vérité des énoncés, on peut définir le prédicat entre formules et nombres disant quelle formule définit quel nombre, et donc définit un nombre du style "le plus petit nombre non définissable en moins de vingt mots" qui conduirait à la contradiction.
Cette preuve est à la fois plus intuitive (évitant les difficultés d'auto-référence) et fournit une information différente: elle montre l'omniprésence de «l'inconnu inconnu» donnant un ensemble fini d'énoncés A qui sont «moins purs» en leur genre mais moins complexes en taille, parmi lesquelles une "erreur" doit exister, sans préciser où (cela dépend du nombre qui serait ainsi "défini").

La hiérarchie des formules

Pour FST, la condition essentielle pour qu'une classe soit un ensemble est la finitude. De même en arithmétique, les quantificateurs peuvent être bornés en utilisant l'ordre: (∃x<k, ) et (∀x<k, ) abrègent respectivement (∃x, x<k ∧ ) et (∀x, x<k ⇒ ) et de même pour ≤.
Les valeurs des énoncés bornés des FOT sont indépendants du modèle car leur interprétation n'utilise que des objets standard. Tout objet standard d'un FOT a toutes les mêmes propriétés bornées (= exprimées par des formules bornées sans autre variable libre) dans tout modèle.

Versions raffinées

• La version forte donne simplement A comme ¬C d'argument remplacé par un terme clos explicite (sans symbole liant mais complexe);
• le paradoxe de Berry montre l'existence de certains A parmi des énoncés TT-prouvablement équivalents à de grands connecteurs logiques sur des instances de C appliqués à divers termes de cette sorte (mais plus simples)

∃B∈S, C(⌜B⌝) ⇎ C(⌜C(⌜B⌝)⌝)

Prédicats de vérité

1. ∀A∈X, C(A) : il contient tous les axiomes de T
2. ∀A∈S, C(A)∨C(¬A)
3. C est cohérent.

2. ∀A∈S, C(A) ⇎ C(¬A)
3. C contient toutes les conséquences logiques des conjonctions de ses éléments.

1. Prendre tous les énoncés dans un ordre arbitraire;
2. Ajouter chacun aux axiomes s'il est cohérent avec les axiomes précédemment acceptés.

Propriétés des modèles

Le théorème de complétude, simplement exprimé dans des théories des ensembles avec Infini, apparaît aussi dans TT comme un schéma de théorèmes qui, pour toute définition d'une théorie cohérente, conçoit un modèle comme une classe d'objets avec des structures définies par TT. La construction simple de notre preuve en 4.7 garantit la vérité des axiomes mais ignore les autres énoncés. En suivant cette construction, tous les énoncés s'interprètent comme cas particuliers d'énoncés TT (de paramètres τ, L, X composant T, à remplacer par leurs définitions). Le prédicat de vérité ainsi obtenu sur cette classe peut ne pas être invariant TT, mais est de toute façon invariant MT du moment que T l'était (car MT peut définir la vérité sur la classe des énoncés TT).

Mais l'application du théorème de complétude à un prédicat de vérité donné (qui peut être défini par TT), prouve dans TT l'existence d'un modèle dont les propriétés lui sont conformes, bien que ses notions interprétées ne soient pas des ensembles. Cela présente en 2 étapes comment construire un modèle avec des propriétés invariantes TT, mais le même objectif est également atteint par la construction unique mais plus difficile de la preuve traditionnelle (par Henkin) du théorème de complétude.

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EN : 1. First foundations of mathematics : 1.B. Truth undefinability