La théorie des ensembles comme cadre unifié

Définisseurs de structure dans diverses théories

Appelons définisseur de structure tout symbole liant B qui, utilisé dans diverses expressions A, enregistre fidèlement la structure unaire définie par A sur un domaine E (type ou classe définie par un argument ici implicite), à savoir que son résultat S = (Bx, A(x)) peut restaurer cette structure par un évaluateur V (symbole ou expression): V(S, x) = A(x) pour tout x dans E. Admettant l'utilisation de la négation et la possibilité d'interpréter des booléens par des objets (dans un ensemble à au moins deux objets, comme cela arrive souvent), le paradoxe de Russell montre que l'ajout des deux exigences suivantes à un définisseur de structure dans une théorie conduirait à une contradiction:
  1. Tous ces S appartiennent à E
  2. V peut apparaître dans l'expression A et utiliser x n'importe comment dans ses arguments, à savoir que V(x, x) est autorisé, ce qui est normal comme 1. garantit l'admissibilité de tout V(S, S).
Enumérons les options restantes. La théorie des ensembles rejette 1. mais conserve 2. Mais puisque 1. est rejeté, conserver 2. peut être un problème ou non suivant les cas plus précis.

Comme sera expliqué en 4.9, étendre une théorie générique (dont les domaines des symboles liants étaient les types) par un nouveau type K donné comme l’ensemble de toutes les structures définies par une expression fixe A pour toutes les combinaisons de valeurs de ses paramètres, constitue un développement légitime de la théorie (une construction). En effet, un symbole liant sur un symbole de structure variable S parcourant un tel ensemble K abrége une utilisation successive de symboles liants sur tous les paramètres de A qui remplace S. Ici, A et le système l’interprétant viennent d'abord, puis l'ensemble K des S résultants et leurs interprétations par V sont créés en dehors: A n'a pas de sous-terme de type K, donc n'utilise pas V (qui a un argument de type K).

La notion de structure en logique du premier ordre en tant que théorie du modèle, présente cette similitude avec la notion d'ensemble en théorie des ensembles: pour chaque type de symbole donné au-delà des constantes, la classe de toutes les structures de ce type n'est généralement pas un ensemble, appelant "ensembles" de tels domaines K (ensembles de structures définies par une expression fixe avec des paramètres variables), ou des sous-classes de ceux-ci. La théorie entièrement développée avec l'infinité de ces nouveaux types construits pour toutes les expressions possibles A, peut devenir similaire à la théorie des ensembles en regroupant en un seul type U tous les types construits K de structures variables du même type de symbole (structures sur les mêmes ensembles), interprété par le même symbole V (qui pourrait déjà être utilisé par A). Ceci ne fait que réunir en V différentes structures sans conflit, car venant de différents types K du premier argument. Cela reste innocent (une réécriture de ce qui peut être fait sans cela) tant que, dans la nouvelle théorie, les symboles liants de type U restent limités à l'un de ces "ensembles" K (ou sont couverts par un nombre fini d'entre eux, qui sont en fait inclus dans un autre).

En théorie des ensembles, les domaines des symboles liants sont les ensembles. Ainsi, au-delà de l'avantage simplificateur de supprimer les types, la théorie des ensembles gagnera de la puissance en acceptant plus de classes comme ensembles.

D'autres théories, que nous ignorerons dans la suite de ce travail, suivent des options plus audacieuses:

Le cadre unifié des théories

La théorie du modèle n'est pas totalement formalisable en logique du premier ordre faute de pouvoir préciser complètement les méta-notions d'«expressions» et de «preuves». En effet, comme sera expliqué en 4.7 (Modèles non standard de l'arithmétique), toute théorie du premier ordre visant à décrire des systèmes finis sans limite de taille (comme les expressions et les preuves) dans son modèle (comme classes incluses dans un type) admettra encore dans certains modèles des systèmes pseudo-finis, qui sont des systèmes infinis vus à tort comme «finis» bien que plus grands que toute taille qu'elle peut décrire (ceci étant une infinité de propriétés qu’elle ne peut pas exprimer comme un tout pour détecter la contradiction; ces systèmes seront également dits non-standard, à savoir que «vraiment fini» sera la signification particulière de «standard» lorsque qualifiant des types de systèmes qui devraient normalement être finis).
Combler cette lacune nécessitera un quantificateur universel du second ordre (1.9), dont la signification est mieux exprimée (en apparence mais pas vraiment complètement) après insertion en théorie des ensembles (dont le concept de finitude sera défini en 4.5). Cette insertion transformant ses composants en variables libres dont les valeurs définissent son modèle [T,M], leur variabilité élimine sa principale différence avec la théorie des modèles (l'autre différence est que la théorie des modèles peut également décrire des théories sans modèles). Cette vision de la théorie des modèles comme développée à partir de la théorie des ensembles, sera exposée dans les parties 3 et 4, complétant le grand tour des fondements des mathématiques après la formalisation de la théorie des ensembles dans un cadre logique.

Pour une théorie T ainsi décrite, soit T0 la théorie externe, également insérée en théorie des ensembles, qui ressemble à une copie de T comme tout composant k de T0 a une copie comme objet servant de composant de T. Dans une formalisation appropriée, T0 peut être défini à partir de T comme formé des k tel que («k» ∈ T) soit vrai, où la notation «k» abrège un terme de théorie des ensembles désignant k comme objet, et la vérité de cette formule signifie que la valeur de ce terme dans l'univers appartient à T.

Ceci donne un cadre unifié commode à la description des théories interprétées dans des modèles, englobant les deux cadres précédents (ensembliste et modèle-théorique): tous les travaux de T0 (expressions, preuves et autres développements), ont des copies comme objets décrits formellement par le développement modèle-théorique de la théorie des ensembles comme travaux de la théorie T. Dans le même univers, tout système M décrit comme modèle de T est indirectement aussi un modèle (ensembliste) de T0.
Ce cadre puissant est sujet aux limites suivantes : Ainsi comprises, les conditions d'utilisation de ce cadre unifié des théories sont généralement acceptées comme des hypothèses légitimes, en se concentrant sur des théories bien décrites (bien qu'aucune théorie des ensembles bien décrite ne puisse être celle "ultime" comme indiqué ci-dessous), interprétées dans des univers standard dont l'existence est admise pour des raisons philosophiques; ceci sera discuté plus en détail dans les pages philosophiques.

La théorie des ensembles comme cadre unifié d'elle-même

Désormais, dans le cadre unifié ci-dessus, la théorie T0 décrivant M et idéalisée comme objet T, sera la théorie des ensembles elle-même. La prendre comme une copie identique de la théorie des ensembles servant de cadre, revient à prendre la même théorie des ensembles interprétée par deux univers.

Une sorte de différence théorique entre les deux utilisations de la théorie des ensembles s'avérera irréductible (par le théorème d'incomplétude): pour toute formalisation donnée (invariante) de la théorie des ensembles, l'existence d'un modèle de celle-ci (univers), ou de manière équivalente sa cohérence, formalisée comme énoncé ensembliste avec la méta-interprétation, ne peut pas être déduit logiquement (un théorème) des mêmes axiomes. Cet énoncé, et donc aussi l'énoncé plus fort de l'existence d'un univers standard, constitue donc un axiome supplémentaire de la théorie des ensembles ainsi utilisée comme cadre.

Le paradoxe de Zénon

Achille poursuit une tortue ; à chaque fois qu'il parcourt la distance qui l'en sépare, celle-ci prend une nouvelle longueur d'avance.
Vu d'une hauteur, un véhicule parti sur une route horizontale se rapproche sans cesse de l'horizon.
Les particules sont envoyées dans les accélérateurs de plus en plus près de la vitesse de la lumière.
Peuvent-ils atteindre leur but ?

Chaque exemple peut être vu de 2 manières:

Dans chaque exemple, une mesure physique du «coût» pour approcher et éventuellement atteindre l'extrémité visée, décide quelle est sa seule «vraie» lecture, suivant que ce coût serait fini ou infini, ce qui peut différer des suppositions d'un observateur naïf.
Mais le monde des mathématiques, libre de toute mesure de coût physique et où les objets ne font que jouer des rôles conventionnels, peut accepter les 2 interprétations.

Chaque théorie générique est «fermée», voyant son modèle (les domaines de ses variables) comme un tout (un ensemble dans sa traduction ensembliste) : par son usage des quantificateurs sur les types (ou classes), elle «atteint l'extrémité» de son modèle, et le voit donc comme «fermé». Mais tout cadre l'englobant (théorie du modèle ou théorie des ensembles) échappe à cette totalité.
Comme expliqué dans 1.7, la théorie des ensembles a de multiples modèles possibles : de l'étude d'un univers d'ensembles donné, on peut passer à celle d'un autre plus grand avec plus d'ensembles (que nous avons appelés les méta-ensembles), et de nouvelles fonctions entre les nouveaux ensembles.

Cela pouvant se répéter indéfiniment, on a besoin d'une théorie «ouverte» intégrant chaque univers décrit par une théorie, comme partie (passée) d'un univers ultérieur, formant une succession illimitée de réalités croissantes, sans perspective sur son éventuelle totalité. Ce rôle de théorie ouverte sera joué par la théorie des ensembles elle-même, par la manière dont ses expressions ne lient les variables que sur des ensembles (1.8.)

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants
1.9. Axiomes et preuves
1.10. Quantificateurs
1.11. Quantificateurs du 2e ordre
Aspects philosophiques
1.A. Temps en théorie des modèles
1.B. Le cadre ensembliste unifié
2. Théorie des ensembles - 3. Algèbre