Temps en théorie des modèles

L'ordre temporel de l'interprétation des expressions

Dans un modèle donné, les expressions ne reçoivent pas leur interprétation toutes en même temps, mais seulement les unes après les autres, car ces interprétations dépendent les unes des autres, et donc doivent être calculées dans l'ordre. Cet ordre temporel des interprétations entre les expressions, suit l'ordre hiérarchique des sous-expressions vers les expressions qui les contiennent.
Prenons par exemple, la formule xy + x = 3. Pour qu'elle ait un sens, les variables x et y doivent prendre une valeur en premier. Puis, xy prend une valeur, obtenue en multipliant les valeurs de x et y. Ensuite, xy+x prend une valeur basée sur les précédentes. Ensuite, la formule entière (xy+x=3) prend une valeur booléenne (vrai ou faux).
Mais cette valeur dépend de celles des variables libres x et y. Enfin, en prenant par exemple la formule close ∀x, ∃y, xy+x=3, sa valeur booléenne (qui est faux dans le monde des nombres réels), «est calculée à partir de» celles prises par la formule précédente pour toutes les valeurs possibles de x and y, et vient donc après elles.
Une liste finie de formules dans une théorie peut être interprétée par une grande formule unique les contenant toutes. Il suffit pour cela d'intégrer (ou de décrire) séparément toutes les formules individuelles de la liste dans la grande formule, sans besoin de représenter les formules comme objets (valeurs d'une variable). Cette grande formule vient donc (est interprétée) après elles toutes, mais appartient toujours à la même théorie.
Mais pour qu'une seule formule réfère à l'interprétation d'une infinité de formules (éventuellement toutes les formules possibles, vues comme valeurs d'une variable), ceci nécessite de passer au cadre de la théorie du modèle.

La métaphore du temps usuel

Je peux parler de «ce que dont j'ai parlé à tel instant»: cela a bien un sens si ce propos passé en avait un, car j'en avais saisi le sens et je m'en souviens. Mais parler de «ce dont je parle» n'informerait pas sur ce dont il s'agit: cela pourrait être n'importe quoi, et devient absurde dans une phrase qui modifie ou contredit ce sens («le contraire de ce que je dis»). Parler de «ce dont je parlerai demain», même en sachant déjà ce que je dirai, ne suffirait pas non plus à en donner déjà le sens: au cas où je parlerai de «ce dont j'ai parlé hier» (donc maintenant) cela ferait un cercle vicieux; mais même si la forme de mon futur propos assurait que son sens existera demain, cela ne le donnerait pas encore aujourd'hui. J'aurais beau spéculer dessus, son sens effectif ne surgira qu'une fois réellement exprimé dans son contexte. Faute d'intérêt à décrire des expressions sans leur signification, autant restreindre l'étude aux propos passés, se contenter de "vivre" les propos présents et ignorer ceux à venir.
Ainsi, mon actuel univers du passé que je peux décrire aujourd'hui, inclut celui d'hier, mais aussi mes propos d'hier sur celui-ci et leur signification. Je peux donc décrire aujourd'hui des choses extérieures à l'univers que je pouvais décrire hier. Or, depuis hier, je n'ai pas appris à parler le Martien ni n'ai acquis une nouvelle intelligence transcendantale; mais le même langage s'applique à un univers plus vaste, enrichi de nouveaux objets. Ces nouveaux objets étant de mêmes types que les précédents, mon univers d'aujourd'hui peut ressembler à celui d'hier; mais d'un univers à l'autre, les mêmes expressions peuvent prendre des sens différents.

Comme des historiens, les théories mathématiques ne peuvent «à chaque instant donné» que décrire un univers d'objets mathématiques passés, tandis que cette interprétation elle-même «se produit» dans un présent mathématique hors de cet univers.
Même si décrire «l'univers de tous les objets mathématiques» (modèle de la théorie des ensembles), c'est décrire tout, ce «tout» qui est décrit n'est à chaque instant que l'univers actuel, celui de notre passé; notre acte d'interpréter les expressions dedans, forme notre présent au-delà de ce passé. Et décrire ensuite l'acte de description précédent, c'est ajouter à cette précédente description (ce «tout» décrit), quelque chose d'autre au-delà.

Le temps infini entre les interprétations des théories

La théorie du modèle décrivant une théorie T avec un modèle M, les composants (notions et structures) de son propre modèle que nous avions noté [T, M] sont en fait classifiables en 3 catégories: La dernière partie de [T,M] est une construction mathématique déterminée par la combinaison des deux systèmes T et M, mais n'est pas directement contenue dans ces données: elle est construit après.
Donc le modèle [T,M] de T', englobant la présente théorie T avec l'interprétation de toutes ses formules dans le présent univers M des objets passés, est le prochain univers du passé, qui viendra lorsque l'infinité des interprétations actuelles (dans M) des formules T sera passée.

Ou peut-il en être autrement? Serait-il possible pour la présente théorie d'exprimer ou au moins simuler la notion de ses propres formules, et de calculer leurs valeurs?
Comme expliqué en 1.7, certaines théories (comme la théorie des modèles, et la théorie des ensembles d'où elle se développe) sont bien capables de se décrire elles-mêmes: elles peuvent décrire dans chaque modèle un système ressemblant à une copie de la même théorie, avec une notion de "toutes ses formules" (incluant des objets copies de ses propres formules). Cependant alors, d'après le théorème d'indéfinissabilité de la vérité, aucune formule unique (prédicat invariant) ne peut donner les valeurs booléennes correctes à tous les objets copies de toutes les formules closes, conformément aux valeurs de ces formules dans le même modèle.

Le paradoxe de Berry

Ce fameux paradoxe est l'idée de «définir» un nombre naturel n comme «le plus petit nombre non définissable en moins de vingt mots». Cela définirait en 10 mots un nombre ... non définissable en moins de 20 mots. Mais cela n'apporte pas de contradiction aux mathématiques, car ce n'est pas une définition mathématique. En le rendant plus précis, il donne une preuve simple (mais pas une totalement rigoureuse) du théorème de l'indéfinissabilité de la vérité.
Supposons un choix fixe d'une théorie T décrivant un ensemble ℕ de nombres naturels dans le cadre de son modèle M.
Soit H l'ensemble des formules de T avec une variable libre visant à parcourir ce ℕ, et plus petites que (par exemple) 1000 occurrences de symboles (issus de la liste finie de symboles de T, des symboles logiques et des variables).
Considérons la formule de T' avec une variable libre n parcourant ℕ, qui s'écrit
FH, F(n) ⇒ (∃k<n, F(k))
Cette formule ne peut pas être fausse sur plus d'un nombre par formule dans H, qui sont en nombre fini (on peut en trouver une limite explicite). Elle doit donc être vraie pour certains nombres.
Si elle était équivalente à une formule BH, on obtiendrait

n∈ℕ, B(n) ⇔ (∀FH, F(n) ⇒ (∃k<n, F(k))) ⇒ (∃k<n, B(k))

contredisant l'existence d'un plus petit n sur lequel B est vrai.

Le nombre 1000 a été choisi pour le cas où traduire cette formule dans T serait compliqué, donnant une formule B grande, mais toujours dans H. Si c'était si compliqué que 1000 symboles ne suffisent pas, on pourrait essayer ce raisonnement à partir d'un nombre plus grand. Puisque l'existence d'une formule équivalente dans H conduirait de toute façon à une contradiction, aucun choix de nombre ne pourra jamais suffire à en trouver une. Cela montre l'impossibilité de traduire de telles formules de T' en formules équivalentes de T, par aucune méthode beaucoup plus efficace que le genre de simple énumération suggérée ci-dessus.

Ce temps infini entre les théories, se développera en une hiérarchie illimitée d'infinis.

Le paradoxe de Zénon

Achille poursuit une tortue ; à chaque fois qu'il parcourt la distance qui l'en sépare, celle-ci prend une nouvelle longueur d'avance.
Vu d'une hauteur, un véhicule parti sur une route horizontale se rapproche sans cesse de l'horizon.
Les particules sont envoyées dans les accélérateurs de plus en plus près de la vitesse de la lumière.
Peuvent-ils atteindre leur but ?

Chaque exemple peut être vu de 2 manières:

Et dans chaque exemple, une mesure physique du «coût» pour approcher et éventuellement atteindre l'extrémité visée, décide quelle est sa seule «vraie» lecture, suivant que ce coût serait fini ou infini, ce qui peut différer des suppositions d'un observateur naïf.
Mais le monde des mathématiques, libre de toute mesure de coût physique et où les objets ne font que jouer des rôles conventionnels, peut accepter les 2 interprétations.

Chaque théorie générique est «fermée», voyant son modèle (les domaines de ses variables) comme un tout (un ensemble dans sa traduction ensembliste) : par son usage des quantificateurs sur les types (ou classes), elle «atteint l'extrémité» de son modèle, et le voit donc comme «fermé». Mais tout cadre l'englobant (théorie du modèle ou théorie des ensembles) échappe à cette totalité.
Comme expliqué dans 1.7, la théorie des ensembles a de multiples modèles possibles : de l'étude d'un univers d'ensembles donné, on peut passer à celle d'un autre plus grand avec plus d'ensembles (que nous avons appelés les méta-ensembles), et de nouvelles fonctions entre les nouveaux ensembles.

Cela pouvant se répéter indéfiniment, on a besoin d'une théorie «ouverte» intégrant chaque univers décrit par une théorie, comme partie (passée) d'un univers ultérieur, formant une succession illimitée de réalités croissantes, sans perspective sur son éventuelle totalité. Ce rôle de théorie ouverte sera joué par la théorie des ensembles elle-même, par la manière dont ses expressions ne lient les variables que sur des ensembles (1.8.)

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques Aspects philosophiques
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
Représentation intuitive et abstraction
Platonisme vs Formalisme
1.3. Forme des théories: notions, objets, méta-objets
Théories réalistes, théories axiomatiques
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
Temps en théorie des modèles
Temps de l'interprétation
La métaphore du temps usuel
Le temps fini entre les expressions
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
Le temps infini entre les théories
Le paradoxe de Zénon
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles Temps en théorie des ensembles
Expansion de l'univers des ensembles
Un ensemble peut-il appartenir à lui-même?
1.9. Quantificateurs
Sens relatif des quantificateurs ouverts
Interprétation des classes
Classes dans un univers en expansion
Exemples concrets
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
Justification du principe de génération
des ensembles
Concepts de vérité en mathématiques
Démontrabilité
Vérités arithmétiques
Vérités ensemblistes
Cadres logiques alternatifs
2. théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles

Other languages:
EN : 1. First foundations of mathematics : Time in model theory