Théorie des ensembles et fondements des mathématiques

1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
2.1. Premiers axiomes de théorie des ensembles Le prédicat d'inclusion
Formules et énoncés
Le rôle des axiomes
Conversion des symboles liants
Classification des axiomes
Axiomes des notions
Axiome d'extensionnalité
Axiomes des fonctions
2.2. Principe de génération des ensembles Formaliser diverses notions en théorie des ensembles
Ensembles comme domaines de quantificateurs bornés
Enoncé du principe
Principaux exemples (compréhension, union,
image, Ø, paires)
2.3. Curryfication et Uplets Formalisation des opérations et relations
Curryfication
Uplets
Axiome des uplets
Uplets en théorie des ensembles
2.4. Quantificateurs d'unicité et opérateur
conditionnel
Quantificateurs d'unicité
Axiome de l'élément singulier
Connecteur conditionnel
Opérateur conditionnel
Les relations comme opérations
Définition des définisseurs d'uplets
2.5. Familles, opérateurs booléens sur les
ensembles
Familles
Structures et symboles liants
Ecriture d'ensembles en extension
Union d'une famille d'ensembles
Autres operateurs booléens sur les ensembles
Intersection
2.6. Produits, graphes et composition Notations de curryfication
Graphes fonctionnels
Partitions indexées
Somme ou union disjointe
Images directe et inverse par un graphe
Image directe et préimage par une fonction
2.7. L'ensemble des parties Produit cartésien de deux ensembles
Produits finis, opérations et relations
Traduction des opérateurs en prédicats
De nouveaux symboles primitifs
(Ensemble des parties, Puissance, Produit)
Leur équivalence
Théorème de Cantor
L'approche ZF
2.8. Injectivité et inversion Composition, restriction
Injections, bijections, inverse
Diverses propriétés
Fonctions canoniques
Sommes de fonctions
Produit de fonctions ou recurryfication
2.9. Relations binaires sur un ensemble Préimages et produits
Propriétés de base
Préordre et ordre
Ordre strict, ordre total
Relations d'équivalence
Fonctions quotient
Partitions
2.10. Axiome du choix
Propriétés de la composition curryfiée
Axiome du choix sur un ensemble (ACX)
Dépendences entre divers ACX
Autres énoncés simplement équivalents à AC
2.A. Temps en théorie des ensembles Expansion de l'univers des ensembles
Les univers idéalement standard
L'approche réaliste de la théorie des ensembles
Multivers standard
Un ensemble peut-il appartenir à lui-même?
2.B. Interprétation des classes Le sens relatif des quantificateurs ouverts
L'indéfinition des classes
Classes dans un univers en expansion
Justification du principe de génération des ensembles
Exemples concrets
2.C. Concepts de vérité en mathématiques Vérité relative, démontrabilité
Vérités arithmétiques
Autres concepts de force
La théorie des ensembles du réalisme à l'axiomatisation
Condition de compatibilité des axiomes
Cadres logiques alternatifs
3. Algèbre
4. Arithmétique
5. Second-order foundations
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