2.2. Opérateurs booléens sur les ensembles

Union d'une famille d'ensembles

Pour toute famille de prédicats unaires Ai d'indice iI, tous admissibles dans (au moins) une classe C commune, leur application à la même variable x de domaine C réduit cela à une famille de variables booléennes dépendant de x (leur paramètre, voir 1.5). Par là, toute opération Q sur ces variables (un quantificateur de domaine I, qui devient un connecteur lorsque I est fini) définit une méta-opération entre prédicats unaires, de résultat un prédicat unaire ℛ, défini pour x dans C par Qi, Ai(x). Lorsque C est un ensemble E, cela opère entre sous-ensembles de E (par ∈ et l'opérateur de compréhension).
Par exemple, le quantificateur existentiel (Q = ∃) définit l'union d'une famille d'ensembles:

x
iI
Fi ⇔ ∃iI, xFi

Cette classe est un ensemble indépendent de E, comme il peut également être défini par l'union d'un ensemble d'ensembles (1.11):

iI
Fi ={Fi | iI}
(x
iI
Fi, B(x)) ⇔ ∀iI, ∀xFi, B(x)
xXY ⇔ (xXxY)
X XY = YX
Tous les opérateurs d'écriture en extension (sauf ∅) sont définissables par l'appariement et l'union binaire.

Intersection

Toute famille d'ensembles (Fi)iI peut être vue comme famille de sous-ensembles d'un certain ensemble commun, tel que leur union U=⋃iI Fi , ou tout autre ensemble E tel que UE. Puis, pour toute operation (quantificateur) Q entre booléens indexée par I, le prédicat ℛ(x) défini par (Qi, xFi) prend la valeur (Qi, 0) pour tout xU. ainsi Q doit satisfaire ¬(Qi,0) (être faux quand toutes les entrées sont fausses) pour que la classe ℛ soit un ensemble {xE | ℛ(x)}={xU | ℛ(x)}. C'était le cas pour Q = ∃, y compris sur la famille vide (⋃∅ = ∅), mais pour ∀ (qui définit l'intersection) il faut une famille non vide d'ensembles (I ≠ ∅):
 ∀jI,
iI
Fi = {xFj|∀iI,xFi}
  x
iI
Fi ⇔ ∀iI, xFi
xXY ⇔ (xXxY)
XY = YX = {xX| xY} ⊂ X
X = XYYXY = XY

Deux ensembles A et B sont dits disjoint quand AB=∅, ce qui équivaut à ∀xA, xB. L'union et l'intersection ont les mêmes propriétés d'associativité et de distributivité que ∧ et ∨ :
ABC = (AB)∪C = A∪(BC) ={A,B,C}
(
iI
Ai)C =

iI
(AiC) (
iI
Ai)C =

iI
(AiC)
(AB)⋂C = (AC)∪(BC) (AB)∪C =
(AC)⋂(BC)

Autres operateurs

La différence est définie par A\B = {xA| xB} de sorte que xA\B ⇔ xAxB.
Enfin le connecteur ⇎ donne la différence symétrique: AB = (AB)\(AB). Quand (Qi,0) est vrai, il faut choisir un ensemble E pour définir les operations entre sous-ensembles de E:

iI
Fi = {Fi|iI} = {xE | ∀iI, xFi} = ∁E
iI
E Fi


Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
2.1. Uplets, familles
2.2. Opérateurs booléens sur les ensembles
2.3. Produits, graphes et composition
2.4. Quantificateurs d'unicité, graphes fonctionnels
2.5. L'ensemble des parties
2.6. Injectivité et inversion
2.7. Relations binaires, ensembles ordonnés
2.8. Bijections canoniques
2.9. Relations d'équivalence et partitions
2.10. Axiome du choix
2.11. Correspondance de Galois
3. Théorie des modèles