2.5. Familles, opérateurs booléens sur les ensembles

Familles

Une famille est une fonction vue intuitivement comme uplet généralisé: son domaine (un ensemble) est vu comme simple, fixe, et extérieur au principal système étudié, comme un ensemble de méta-objets. Une «famille de... » est une famille dont l'image est «un ensemble de... ».
Les familles utilisent le formalisme des fonctions déguisé comme celui des uplets (inapplicable du fait de la finitude des symboles). L'évaluateur (qui évalue u en i), au lieu de u(i) ou πi(u), est noté ui (tel un symbole méta-variable de variable). Une famille définie par un terme t, se note (t(i))iI au lieu de (Iit(i)) ou de (t(0),…,t(n−1)). L'argument i est appelé indice, et la famille est dite indexée par son domaine I.

Structures et symboles liants

Toute structure n-aire peut se voir comme structure unaire de domaine une classe de n-uplets (comme un symbole liant peut être vu comme une structure unaire sur une classe de fonctions ou de sous-ensembles d'un ensemble donné): les symboles liants sont la généralisation des structures quand les familles remplacent les uplets. Ainsi ∀ et ∃ généralisent les chaînes de ∧ et de ∨:

(B0∧…∧Bn−1) ⇔ (∀iVn, Bi).

La condition d'égalité des couples (x,y)=(z,t) ⇔ (x=zy=t) est semblable à celle des fonctions.

Soient R un prédicat unaire admissible sur E, et C un booléen. On a les distributivités

(C ∧ ∃xE, R(x))  ⇔  (∃xE, CR(x))
(C ∨ ∀xE, R(x))  ⇔  (∀xE, CR(x))
(C ⇒ ∀xE, R(x))  ⇔  (∀xE, CR(x))
((∃xE, R(x)) ⇒ C)  ⇔  (∀xE, R(x) ⇒ C)
(∃xE, C) ⇔ (CE≠∅) ⇒ C ⇒ (CE=∅) ⇔ (∀xE, C)

Ecriture d'ensembles en extension

Le foncteur Im définit un symbole liant :

{T(x)|xE} = {T(x)}xE = Im(ExT(x))

Cette notation ressemblant au symbole de compréhension, on peut les combiner :

{T(x)| xER(x)} = {T(x)| x∈{yE|R(y)}}

Appliquer Im aux uplets, définit les opérateurs d'écriture en extension d'ensembles (qui énumèrent leurs éléments): Im(a,b,…) = {a,b,…}. Ceux d'arité 0,1,2 ont été vus au 1.11: l'ensemble vide ∅, le singleton {a} and l'appariement {a,b}.
Ainsi l'ensemble Vn s'écrit {0,…,n−1}. Les images d'uplets sont des ensembles finis.

Union d'une famille d'ensembles

Pour toute famille de prédicats unaires Ai d'indice iI, tous admissibles dans (au moins) une classe C commune, leur application à la même variable x de domaine C réduit cela à une famille de variables booléennes dépendant de x (leur paramètre, voir 1.5). Par là, toute opération Q sur ces variables (un quantificateur de domaine I, qui devient un connecteur lorsque I est fini) définit une méta-opération entre prédicats unaires, de résultat un prédicat unaire ℛ, défini pour x dans C par Qi, Ai(x). Lorsque C est un ensemble E, cela opère entre sous-ensembles de E (par ∈ et l'opérateur de compréhension).
Par exemple, le quantificateur existentiel (Q = ∃) définit l'union d'une famille d'ensembles:

x
iI
Fi ⇔ ∃iI, xFi

Cette classe est un ensemble indépendent de E, comme il peut également être défini par l'union d'un ensemble d'ensembles (1.11):

iI
Fi ={Fi | iI}
(x
iI
Fi, B(x)) ⇔ ∀iI, ∀xFi, B(x)
xXY ⇔ (xXxY)
X XY = YX
Tous les opérateurs d'écriture en extension (sauf ∅) sont définissables par l'appariement et l'union binaire.

Intersection

Toute famille d'ensembles (Fi)iI peut être vue comme famille de sous-ensembles d'un certain ensemble commun, tel que leur union U=⋃iI Fi , ou tout autre ensemble E tel que UE. Puis, pour toute operation (quantificateur) Q entre booléens indexée par I, le prédicat ℛ(x) défini par (Qi, xFi) prend la valeur (Qi, 0) pour tout xU. ainsi Q doit satisfaire ¬(Qi,0) (être faux quand toutes les entrées sont fausses) pour que la classe ℛ soit un ensemble {xE | ℛ(x)}={xU | ℛ(x)}. C'était le cas pour Q = ∃, y compris sur la famille vide (⋃∅ = ∅), mais pour ∀ (qui définit l'intersection) il faut une famille non vide d'ensembles (I ≠ ∅):
 ∀jI,
iI
Fi = {xFj|∀iI,xFi}
  x
iI
Fi ⇔ ∀iI, xFi
xXY ⇔ (xXxY)
XY = YX = {xX| xY} ⊂ X
X = XYYXY = XY

Deux ensembles A et B sont dits disjoint quand AB=∅, ce qui équivaut à ∀xA, xB. L'union et l'intersection ont les mêmes propriétés d'associativité et de distributivité que ∧ et ∨ :
ABC = (AB)∪C = A∪(BC) ={A,B,C}
(
iI
Ai)C =

iI
(AiC) (
iI
Ai)C =

iI
(AiC)
(AB)⋂C = (AC)∪(BC) (AB)∪C =
(AC)⋂(BC)

Autres operateurs

La différence est définie par A\B = {xA| xB} de sorte que xA\B ⇔ xAxB.
Enfin le connecteur ⇎ donne la différence symétrique: AB = (AB)\(AB). Quand (Qi,0) est vrai, il faut choisir un ensemble E pour définir les operations entre sous-ensembles de E:

iI
Fi = {Fi|iI} = {xE | ∀iI, xFi} = ∁E
iI
E Fi


Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
2.1. Premiers axiomes de théorie des ensembles
2.2. Principe de génération des ensembles
2.3. Curryfication et uplets
2.4. Quantificateurs d'unicité
2.5. Familles, opérateurs booléens sur les ensembles
2.6. Produits, graphes et composition
2.7. L'ensemble des parties
2.8. Injectivité et inversion
2.9. Relations binaires, ensembles ordonnés
2.10. Bijections canoniques
2.11. Relations d'équivalence et partitions
2.12. Axiome du choix
Temps en théorie des ensembles
Interprétation des classes
Concepts de vérité en mathématiques
3. Algebra - 4. Arithmetic - 5. Second-order foundations