Interprétation des classes

Classes dans un univers en expansion

Contrairement aux objets qui peuvent être comparés par un symbole d'égalité (utilisable dans les formules), la méta-relation d'égalité entre classes est aussi indéterminée que le ∀ ouvert, les deux concepts étant définissables l'un par l'autre:
Comme avec les quantificateurs ouverts, cette indétermination laisse place aux seuls deux concepts d'égalité prouvable (ou prouvée) et d'inégalité prouvable, selon que l'énoncé de cette égalité (∀x, A(x) ⇔ B(x)) est prouvable ou réfutable.

Chaque univers U interprète chaque classe C comme méta-ensemble d'objets P={xU |C(x)}, et ainsi la voit comme un ensemble lorsque PU. Cette condition exprimant que C a les mêmes éléments dans U qu'un objet (ensemble) P aussi dans U, s'exprime en théorie des ensembles dans U par

P,∀x, C(x) ⇔ xP

ce qui est équivalent à

E,∀x, C(x) ⇒ xE

puisqu'un tel E permet de retrouver P par P={xE |C(x)}.
Sinon (si PU), ce P est en train de naître avec U et existera désormais comme ensemble dans les univers ultérieurs (ceux qui voient U comme un ensemble).

Du point de vue d'un univers en expansion, une classe C (donnée comme formule avec paramètres) «est un ensemble» (égal à P) si la partie P = {xU |C(x)} que cette formule définit dans chaque U (formellement dépendant de U) s'avère constant (le même ensemble) lors de l'expansion de U. Plus précisément, elle est connue comme un ensemble (prouvée égale à P) si on a pu prouver cette indépendance, autrement dit réfuter la possibilité pour tout objet x extérieur à l'univers actuel (mais existant dans un univers plus large) de satisfaire C(x). Au contraire, une classe C n'est pas regardée comme un ensemble si elle reste éventuellement capable de contenir des objets «inconnus» ou «qui n'existent pas encore» (dans un univers futur), qui donc s'ajouteront à P (appartiendront à une valeur future de P) et le feront donc varier lors de la croissance de U

Pour une expansion donnée de U, l'interprétation de l'énoncé qualifiant une classe C comme ensemble (∃E,∀x, C(x) ⇒ xE) dans l'union U de ces U, signifie que lors de cette expansion, «il existe un temps après lequel P est constant». Comparé à notre dernier critère de distinction des ensembles parmi les classes dans un univers en expansion (la constance de P), celui-ci ignore les variations passées pour se concentrer sur les dernières (entre les univers les plus larges, dont la taille approche celle de U où il est interprété).
Mais le multivers idéalement souhaité, domaine de la variable U, serait lui-même une classe et non un ensemble. Alors, les 2 perspectives (un univers constant ou variable) se dépassent alternativement l'une l'autre, indéfiniment au cours de l'expansion. Ce faisant, une classe définie d'une manière spéciale pourrait alternativement gagner et perdre le statut d'ensemble ; mais si au cours d'une expansion, P alternait indéfiniment entre variation et constance, alors il ne serait en définitive pas constant, de sorte que C ne serait pas un ensemble. Et donc, cette alternance cesserait... si on cessait de regarder au mauvais endroit. Mais comment ?

Exemples concrets

Un ensemble: Reste-t-il un dodo sur l'île Maurice ? Cette île étant bien connue et régulièrement visitée depuis leur disparition supposée, des dodos survivants n'auraient pas pu passer inaperçus, où qu'ils puissent se cacher. N'en ayant pas trouvé, on peut conclure qu'il n'y en a plus. La question étant exprimée par un quantificateur borné, a un sens pratique et une réponse observable.

Un ensemble ressemblant à une classe: Bertrand Russell a ainsi critiqué la théologie: «Si je suggérais qu'entre la Terre et Mars se trouve une théière de porcelaine en orbite elliptique autour du Soleil, personne ne serait capable de prouver le contraire [puisque] la théière est trop petite pour être détectée par nos plus puissants télescopes. Mais si j'affirmais que, comme ma proposition ne peut être réfutée, il n'est pas tolérable pour la raison humaine d'en douter, on me considérerait aussitôt comme un illuminé.»
Cette question est claire mais portant sur un espace trop grand, sa réponse est pratiquement inaccessible. (Un télescope de 8 m a un pouvoir de résolution de 0,1 seconde d'arc, soit environ 200 m sur la surface de la Lune).

Une classe: l'énoncé étendu, «il existe une théière orbitant une étoile dans l'univers» perd tout sens: non seulement on ignore la taille de l'univers, mais la théorie de la relativité considère les évènements éloignés dont nous n'avons pas encore reçu de lumière, comme n'ayant pas encore eu lieu non plus pour nous.

Un méta-objet: Comment Dieu pourrait-il «exister», s'il est un méta-objet tandis que l'existence ne peut qualifier que des objets ? Les apologistes concevaient-ils correctement leur propre thèse ? Mais quels sont donc les objets de leur foi et de leur adoration ? Chaque monothéisme accuse justement chaque autre de n'adorer que des objets (péché d’idolâtrie): des livres, histoires, croyances, enseignements, idées, attitudes, sentiments, lieux, évènements, miracles, guérisons, erreurs, souffrances, maladies, accidents, catastrophes naturelles (déclarées volonté de Dieu), guère plus subtils que les antiques statues, sans en vérifier sérieusement (par crainte de Dieu) les indices de leur supposée divinité.

Un évènement universel: le sacrifice rédempteur du Fils de Dieu. Il reste à préciser s'il aurait été théologiquement équivalent qu'il eut lieu non sur Terre mais dans une autre galaxie ou dans les plans de Dieu pour la Terre de l'an 3456.

Autre ensemble réduit à une classe... la classe F des filles reste incomplètement représentée par des ensembles: l'ensemble de celles présentes tel jour en tel lieu, celles utilisant tel site de rencontres et dont les paramètres satisfont tels ou tels critères, etc. Définissons dedans les prédicats B de beauté à mon gout et C de possibilité d'une relation avec moi. Quand j'essaie d'expliquer que «il m'est difficile de trouver une fille qui me plait (et elles sont souvent indisponibles)», à savoir

(∀Fx, C(x) ⇒ B(x)) ∧ {xF | B(x)}≈⌀,

la réaction fréquente est: «Crois-tu donc que la beauté est la seule chose qui compte ?», autrement dit

Quoi,(∀xF, C(x) ⇔ B(x)) ????

puis «Si tu trouves une fille jolie mais bête ou de mauvais caractère, que feras-tu ?», formellement (∃xF, B(x) ⇏ C(x) !!!).
Et de conclure par un énoncé de pure bonté: «Je suis sûr(e) que tu trouveras», autrement dit : «∃ beaucoup de x dans F tels que C(x)». Sans oublier la condition nécessaire pour y parvenir: «Tu dois changer de manière de penser».

...par l'absence de Dieu...: F se serait directement réduit à un ensemble par l'existence d'un humain capable d'entendre la volonté de Dieu, qui aurait évidemment saisi cette opportunité pour lui faire m'envoyer par email l'adresse de ma future femme (ou réciproquement).

...et de tout substitut: un système d'annonce de rencontres en ligne gratuit, ouvert et performant, comme serait inclus dans mon projet trust-forum.net, aurait pu remplir la même fonction. Mais il faudrait pour cela trouver des programmeurs prêts à l'implémenter. Or la classe des programmeurs n'est pas non plus un ensemble, surtout que la motivation du projet irait à l'encontre de la priorité morale religieuse qui se consacre à protéger Dieu de toute compétition afin de lui garantir son salaire de louanges.

Justification du principe de génération des ensembles

Soit Q* l'abbréviation en symbole de quantificateur, d'une formule bornée utilisant un symbole supplémentaire (indéterminé) de prédicat unaire.
Supposons que ¬(Q*y,0), et soit C(x) défini par (Q*y, y = x). L'hypothèse du principe de génération des ensembles est qu'on a une preuve de (Q* ⇔ ∃C).
Soit E l'ensemble des valeurs prises par l'argument y de R(y) lors de l'interprétation de Q*y, R(y). Il peut dépendre des paramètres implicites de Q*y, mais ne dépend pas de R. C'est un ensemble parce que cette formule a seulement des moyens fixes (variables liées à des ensembles donnés, paramètres fixes) pour fournir ces valeurs. On peut aussi choisir un autre ensemble E incluant celui-ci, par exemple tout univers fixe (vu comme ensemble dans un univers plus large) contenant les valeurs de tous les paramètres, de sorte que la formule peut y être interprétée.
Pour tout x, la valeur C(x) de Q* sur le prédicat (y ↦ (y = x)), ne peut différer (par vrai) de sa valeur (faux) sur (y ↦ 0), que si les deux prédicats diffèrent dans E, donc si x appartient à E:

C(x) ⇔ ((Q*y, y = x) ⇎ (Q*y,0)) ⇒ (∃yE, y=x ⇎ 0) ⇔ xE

donc C  est un ensemble.∎

Une telle classe indirectement aussi utilisable qu'un ensemble comme domaine des quantificateurs, est-elle aussi indirectement utilisable comme domaine de fonction ? A savoir, y a-t-il des formules ensemblistes fixes (de complexité limitée) jouant les rôles de définisseurs et évaluateurs des foncteurs l'ayant comme domaine ? La réponse est oui mais nous n'en détaillerons pas les justifications ici.


Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques Aspects philosophiques
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
Représentation intuitive et abstraction
Platonisme vs Formalisme
1.3. Forme des théories: notions, objets, méta-objets
Théories réalistes, théories axiomatiques
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
Temps en théorie des modèles
Temps de l'interprétation
La métaphore du temps usuel
Le temps fini entre les expressions
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
Le temps infini entre les théories
Le paradoxe de Zénon
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles Temps en théorie des ensembles
Expansion de l'univers des ensembles
Un ensemble peut-il appartenir à lui-même?
1.9. Quantificateurs
Sens relatif des quantificateurs ouverts
Interprétation des classes
Classes dans un univers en expansion
Exemples concrets
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
Justification du principe de génération
des ensembles
 ⇨ Concepts de vérité en mathématiques
Démontrabilité
Vérités arithmétiques
Vérités ensemblistes
Cadres logiques alternatifs 
2. théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles

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