2.C. Concepts de vérité en mathématiques

Le plus simple était la vérité vérité relative (analysée plus en détail en 1.B), à savoir la valeur booléenne de tout énoncé exprimé dans une théorie donnée, en fonction du système (modèle de la théorie) où il est interprété; ce système est supposé fixé comme une variable libre implicite. Plus généralement, toute formule prend une valeur booléenne pour chaque donnée de valeurs fixes de ses variables libres dans ce système.

Vient ensuite la prouvabilité dans chaque théorie axiomatique du premier ordre donnée; cela coïncide avec la qualité d'être relativement vrai dans tous ses modèles.

Vérités arithmétiques

Or, le théorème d'incomplétude a montré que ce prédicat de vérité réaliste de l'arithmétique n'est pas lui-même un prédicat existentiel. Plus précisément, même la négation du prédicat de prouvabilité de toute théorie explicite capable d'exprimer l'arithmétique, ne peut être elle-même un prédicat existentiel.

Mais nous avons encore besoin de solutions partielles: des classes existentielles d'énoncés d'arithmétique avec les deux qualités:

• FOT-correcte (incluse dans la classe des vérités réaliste);
• Large (comparée par inclusion avec d'autres classes existentielles de ce type).

Autres concepts de force

1. La classe de ses théorèmes d'arithmétique;
2. L'énoncé de sa cohérence.

• 1. ne peut pas contenir 2. (sauf si 2. est faux), mais 2. doit être vrai si 1. est valide. En effet, 1. n'est constitué que des théorèmes de T avec une preuve standard, tandis que 2. signifie interdire au présent univers courant de contenir même une preuve non standard (pseudo-finie) de T qui conduirait à une contradiction.
• Donc, 2. signifie l'existence, dans l'univers actuel, d'un modèle de T sans exigence de standardité; tandis que 1. signifie que l'univers actuel est d'accord avec T sur l'arithmétique, et ne peut donc être justifié philosophiquement que par l'idée que T est valide dans le sens d'avoir un modèle FOT-standard.

1. L'ordre d'inclusion entre leurs classes de théorèmes d'arithmétique ;
2. La déductibilité (implication prouvable) entre les énoncés de cohérence: T' est plus forte que T si la cohérence de T est déductible de la cohérence de T'; alors T' est dit strictement plus fort que T si la cohérence de T est un théorème de T'.

Si T' peut prouver l'existence d'un modèle standard de T alors T' est strictement plus fort que T dans les deux sens.

La théorie des ensembles du réalisme à l'axiomatisation

• Correcte = acceptant encore certains univers standard (pour rester FOT-correcte);
• Forte = n'accepte que les "grands" univers (vraiment grands dans le cas standard, sinon en tout cas apparaissant grands par la description de leur hiérarchie de sous-univers), pour contribuer à une large classe de théorèmes.

• T + la cohérence de T;
• T₀ + l'existence d'un univers standard de T ;
• T₀ + l'existence d'une infinité d'univers standard de T formant un multivers standard (en fait seulement assuré d'être quasi-standard).

Les arguments pour justifier toute version ainsi forte de la théorie des ensembles comme fondement valide des mathématiques doivent rester quelque peu philosophiques et donc évalués de manière intuitive, non complètement formalisable, précisément pour faire mieux que toute preuve formelle ou autre algorithme prédéfini : aucune méthode formelle fixe ne peut toujours vérifier pour une théorie forte quand elle est cohérente, encore moins quand elle est FOT-corrente (par indéfinissabilité de la vérité), ou correcte (l'idée que certains axiomes qui excluent une certaine taille d'univers standard en acceptent encore de plus grands).

Condition de compatibilité des axiomes

• un axiome est ouvert s'il est satisfait par tout univers dans lequel l'éternité est un temps très long surtout vers la fin (= univers ouvert).

D'abord, aucun axiome ne doit limiter la taille de l'univers, pour compatibilité avec des théories plus fortes que cette taille (par exemple, une théorie correcte T n'acceptant qu'un seul univers standard serait incompatible avec l'énoncé d'existence d'un univers standard de T).

Ensuite, le risque restant pour plusieurs énoncés d'être incompatibles, est si les valeurs d'au moins 2 d'entre eux varient indéfiniment (alternant vérité et fausseté) lorsque l'univers s'étend, de sorte qu'aucun univers standard "au-delà d'une certaine taille" ne puisse tous les satisfaire (leur conjonction limiterait la taille de l'univers). Ceci est résolu en n'acceptant que les axiomes «ouverts», qui s'accorderont tous sur des univers standard «ouverts». Expliquons comment.

Considérons un tel énoncé variable: écrit sous forme prénexe, il doit utiliser les deux types de quantificateurs ouverts. Analysons le cas des énoncés avec seulement 2 quantificateurs ouverts: ∃x, ∀y, A(x,y), parmi lesquels les énoncés S(C) selon lesquels une classe est un ensemble. (De là, le cas ∀x, ∃y se déduit par négation, tandis que les cas d'un plus grand nombre de quantificateurs ouverts seraient plus délicats et ne seront pas discutés ici). Pour tout multivers standard où il varie indéfiniment ainsi, un tel énoncé s'avère être faux dans son union. Donc, prendre un tel énoncé comme un axiome serait inapproprié pour ce multivers. Or, ce qui compte vraiment, c'est le comportement de la classe de tous les univers standard (il n'y a pas de moyen systématique de le déterminer, mais c'est notre idéal visé). Alors, la qualité d'ouverture d'un énoncé est celle de refléter la vérité dans l'union d'un multivers qui se comporte comme la classe voulue de tous les univers standard.

De tels univers "ouverts", ayant les mêmes propriétés que l'union d'un multivers standard ressemblant à la classe de "tous les univers standard", peuvent être intuitivement décrits comme "beaucoup plus grands que tout univers plus petit": il ne doit y avoir aucune limite à mesure dont l'univers peut être plus grand que n'importe quel sous-univers (décrit par une théorie plus faible). Cela évite également l'inefficacité qui pourrait survenir dans le cas contraire, d'un système axiomatique significativement plus complexe mais seulement un peu plus fort qu'un autre.

La quête de théories axiomatiques des ensembles approchant les 3 qualités idéalement conçues (forte et ouverte mais encore correcte) pour sélectionner des univers avec les 3 qualités correspondantes (grand et ouvert mais existant encore parmi ceux standards), est sans fin. Heureusement, des théories assez simples telles que ZF satisfont déjà ces qualités à un degré élevé, décrivant des réalités bien plus vastes que ce qui est habituellement utile. C'est ainsi qu'une vision platonicienne de la théorie des ensembles (voyant l'univers de tous les objets mathématiques comme une réalité fixe et exhaustive) peut fonctionner comme une bonne approximation, bien qu'elle ne puisse pas être un fait exact et absolu.

Cadres logiques alternatifs

• Certains logiciens ont développé la «logique intuitionniste», qui laisse aux formules une indétermination possible comme nous avons mentionné pour les quantificateurs ouverts, mais traités comme une modification de la logique booléenne pure (le rejet du tiers exclu, où ¬(¬A) n'implique pas A), sans mention particulière des quantificateurs comme source de cette indétermination. On peut aussi voir cela comme une confusion formelle entre vérité et prouvable. Dans ce cadre, {0}∪ ]0,1] ⊂ [0,1], sans égalité. Je n'ai pas personnellement vu d'intérêt à ce formalisme, mais seulement entendu dire que les spécialistes d'informatique théorique l'ont trouvé utilité.
• En étudiant la théorie de la mesure (qui définit mathématiquement probabilités dans les ensembles infinis), j'ai eu l'idée d'interpréter ses résultats comme des énoncés plus simples sur un autre concept d'ensemble, avec la propriété intuitive suivante. Soit x une variable prise aléatoirement dans [0,1], en tirant successivement à pile ou face chaque chiffre de son développent binaire infini. Soit E le domaine de x, ensemble de tous les nombres aléatoires dans [0,1]. Il est non vide parce que des nombres aléatoires peuvent être produits. Puis, un autre nombre aléatoire semblable, de même domaine (y ∈ E), mais tiré indépendamment de x, n'a aucune chance d'être égal à x. Donc, ∀x∈E, ∀y∈E, x ≠ y Ainsi x ∈ E n'est pas toujours équivalent à ∃y∈E, x = y.