Concepts de vérité en mathématiques

Passons en revue 4 concepts distincts de «vérité» pour une formule mathématique, du plus simple au plus subtil.

Nous avons d'abord vu la vérité relative, qui est la valeur d'une formule interprétée dans un modèle supposé donné (comme une variable libre implicite, en ignorant toute difficulté de préciser un exemple). En ce sens, une formule donnée peut être aussi bien vraie ou fausse en fonction du modèle, et des valeurs de ses variables libres dedans.

Prouvabilité

Puis vient la qualité d'être relativement vrai dans tous les modèles d'une théorie axiomatique donnée, qui coïncide avec la démontrabilité dans cette théorie (déduction à partir de ses axiomes par les règles de la logique du premier ordre). A savoir, on connait des systèmes formels de preuve pour la logique du premier ordre, avec des algorithmes de vérification de preuve connus, universellement applicables à toute théorie du premier ordre en gardant cette qualité (capacité de prouver exactement toutes les formules universellement vraies).
Cette propriété remarquable de la logique du premier ordre, avec le fait que toutes les mathématiques sont exprimables dans sont cadre (ce qui ne l'est pas directement, peut s'y ramener par insertion dans la théorie des ensembles, elle-même formalisée comme théorie du premier ordre), donne à ce cadre une importance centrale dans les fondements des mathématiques: il réconcilie le platonisme et le formalisme, tout en donnant un sens clair et naturel aux concepts de «preuve», «théorème» et «cohérence». Plusieurs systèmes formels peuvent accomplir cela mais tous ces formalismes (s'ils sont corrects) sont équivalents: toute preuve au sens de l'un est automatiquement convertible en une preuve selon n'importe quel autre.

Le théorème de complétude assurant cela, d'abord formulé comme affirmant l'existence de modèles de toute théorie cohérente du premier ordre, sera prouvé en construisant ces modèles à partir de l'ensemble infini de toutes les expressions closes dans un langage construit à partir de la théorie (le langage de la théorie enrichi de symboles issus de ses axiomes). Comme l'ensemble des expressions closes dans un langage peut lui-même être construit à partir de ce langage et de l'ensemble ℕ des entiers naturels, la validité de ce théorème ne dépend que de l'axiome de l'infini, à savoir l'existence de ℕ comme infini actuel suffisant pour toutes les théories (ignorant la diversité des infinis en théorie des ensembles).

Cependant, ce ne sont que des propriétés théoriques supposant abstraitement un ordinateur disposant de temps et de ressources illimitées (potentiellement infinies) capable de trouver des preuves de n'importe quelle taille. Non seulement la taille précise d'une preuve peut dépendre du système formel particulier, mais même des formules relativement simples peuvent n'avoir que des preuves pratiquement «introuvables», car elles seraient trop longues, plus encore que le nombre d'atomes dans l'univers physique visible (voir le théorème d'accélération de Gödel). Avec des ressources finites, il peut n'y avoir aucun moyen de distinguer si une formule est vraiment indémontrable ou si une preuve n'a seulement pas encore été trouvée.

Pour inclure leur cas, le concept universel de démontrabilité (existence d'une preuve) doit être défini dans l'abstrait. A savoir, on peut l'exprimer comme une formule de l'arithmétique du premier ordre (théorie des entiers naturels avec addition et multiplication en logique du premier ordre), faite d'un quantificateur existentiel non borné au sens de l'arithmétique (∃ p, ) suivi d'une formule où tous les quantificateurs sont bornés, c'est-à-dire de domaine fini (∀x < (...), ...). Par exemple, p peut être l'encodage de la preuve, ou le temps que prendrait un algorithme de recherche de preuve pour la trouver.

Cependant, étant donné une formule arithmétique connue comme expression correcte du prédicat de prouvabilité (toutes les expressions de ce type étant prouvablement équivalentes entre elles), il reste à l'interpréter.

Vérités arithmétiques

Or, cela fait appel au troisième concept de vérité mathématique, qui est la vérité réaliste en arithmétique du premier ordre. C'est l'interprétation idéalement voulue de l'arithmétique: l'interprétation des formules closes de l'arithmétique du premier ordre dans «le vrai ensemble ℕ de tous, et seulement tous, les entiers vraiment finis», appelé le modèle standard de l'arithmétique. Mais toute formulation axiomatique de l'arithmétique en logique du premier ordre est incomplète, dans les deux sens suivants de la question:
Cette incomplétude affecte le prédicat de prouvabilité lui-même, mais sur un seul côté, comme suit.
D'un côté, si la formule p(A) de prouvabilité d'une formule A est vraie, alors elle est démontrable: une preuve de p(A) peut en principe être produite par la méthode suivante en 2 étapes:
  1. Trouver une preuve de A (comme il en est supposé exister);
  2. La traiter par un certain convertisseur automatique capable de convertir formellement toute preuve de A en preuve qu'une preuve de A existe.
De l'autre côté, elle est pas toujours réfutable lorsqu'elle est fausse: quel que soit le temps passé à chercher en vain une preuve d'une certaine formule indémontrable, on risque de ne jamais pouvoir réfuter formellement la possibilité de finalement trouver une preuve en continuant à chercher, à cause du risque pour une formule de n'être démontrable que par des preuves déraisonnablement longues.

Faute de pouvoir trouver un algorithme ultime produisant toutes les vérités de l'arithmétique, on peut s'intéresser à des solutions partielles: des algorithmes produisant des listes illimitées de formules closes de l'arithmétique avec les deux qualités:
Une méthode naturelle pour progresser dans la recherche illimitée (non-algorithmique) de meilleurs algorithmes pour la deuxième qualité tout en préservant la première, sera de développer des formalisations de la théorie des ensembles décrivant des univers de plus en plus larges au-delà de l'infinité de ℕ, dans lesquels les propriétés de ℕ se déduisent comme cas particuliers. En effet, si une théorie des ensembles T' oblige son univers à contenir, comme un ensemble, un modèle U d'une théorie des ensembles T, alors la formule arithmétique de la cohérence de T sera prouvable dans T', mais non dans T, alors que tous les théorèmes arithmétiques de T restent démontrables dans T' si T' décrit U comme standard.

Vérités ensemblistes

La dernière remarque peut se voir comme un argument d'indispensabilité pour notre dernier concept de vérité, qui est la vérité des énoncés en théorie des ensembles. Pour progresser au-delà de la déduction logique à partir de ceux déjà acceptés, il faut ajouter de nouveaux axiomes, motivés par des arguments platoniciens d'existence réelle de certains univers standard qui les satisfont; la validité de tels arguments est à évaluer de manière intuitive, non purement formelle, précisément pour faire mieux que tout algorithme prédéfini.
Des arguments pour une certaine théorie axiomatique des ensembles, mènent à des conséquences arithmétiques:
  1. La cohérence formelle de cette théorie des ensembles;
  2. Les théorèmes arithmétiques dans son cadre.
Ces deux conséquences ne doivent pas être confondues:
Mais ayant pour seuls objets des propriétés de systèmes finis, ces conclusions gardent leur sens indépendamment de toute hypothèse ontologique sur les infinis, y compris l'ontologie finitiste (niant la réalité de tout infini actuel, quoi que puisse signifier une telle philosophie). Il parait difficile d'imaginer, alors, comment leur fiabilité pourrait être sérieusement remise en cause par des disputes philosophiques sur la "réalité" d'abstractions qui les dépassent (des univers), seulement du fait d'avoir été motivées par ces abstractions.
Mais alors, cet énoncé de cohérence (1.), avec la seule hypothèse de l'existence de ℕ, suffit à faire réellement exister des modèles de cette théorie (non-standard, mais fonctionnant comme ceux standard).

Pour que la déduction logique à partir d'axiomes ensemblistes constitue un bon algorithme de recherche de vérités arithmétiques, ces axiomes doivent être Mais pour qu'une liste d'axiomes de ce type gardent leur qualité une fois rassemblés en une même théorie, ils doivent également être compatibles, en ce sens que leur conjonction reste saine. Deux énoncés de ce type pourraient être incompatibles, soit si l'un d'eux limite la taille de l'univers (ce qui donc ne doit pas arriver), soit si chaque énoncé (utilisant les deux types de quantificateurs ouverts dans sa forme prénexe), alterne indéfiniment entre vérité et fausseté lorsque l'univers s'étend, d'une telle manière que les deux énoncés ne seraient plus vrais ensemble sur tout univers standard au-delà d'une certaine taille (leur conjonction ne devant pas non plus limiter la taille de l'univers). La question est, sur quel genre de grands univers standard de bons axiomes peuvent-ils plus naturellement s'accorder ?

Un univers standard U' pourrait être axiomatiquement décrit comme très grand en le faisant un peu plus grand qu'un autre très grand U, mais la taille de ce U nécessiterait une autre description (comme il ne saurait démontrablement satisfaire les mêmes axiomes que U' sans contradiction), mais de quel type? Décrire U comme aussi un peu plus grand qu'un troisième univers et ainsi de suite, nécessiterait des axiomes gardant trace de leurs différences successives. Cela mènerait rapidement à des complications inefficaces avec des alternatives incompatibles, sans raison précise de préférer une version des axiomes contre les autres.

La solution naturelle, à la fois pour l'élégance philosophique et l'efficacité et la compatibilité des axiomes, est de se concentrer sur le cas contraire, des univers décrits comme grands précisément parce qu'ils sont beaucoup plus grands que tout autre univers plus petit (comme nous avions décrit un univers ultime comme union d'un multivers standard): les axiomes doivent être C'est également pratique du fait que de telles descriptions sont effectivement exprimables par des axiomes interprétés à l'intérieur de l'univers, sans besoin d'objet externe. En effet, si une propriété était uniquement exprimable à l'aide d'un objet externe (regardant cet univers comme un ensemble), on pourrait la remplacer en décrivant plutôt notre univers comme contenant un sous-univers de ce genre (sans limiter sa taille au-delà), et pourquoi pas aussi une série illimitée de sous-univers de ce genre, formant un multivers standard: que chaque objet soit contenu dans un tel sous-univers. On peut l'écrire en axiomes à l'aide d'objets hors de chaque sous-univers, mais à l'intérieur du grand; et ces axiomes satisferont les 3 qualités mentionnés.

Finalement, la signification bien comprise de la théorie des ensembles n'est ni axiomatique ni réaliste, mais une sorte d'intermédiaire flou entre les deux: ses axiomes visent à approcher les 3 qualités (fort et ouvert mais sain), sélectionnant les univers avec les 3 qualités correspondantes (grands et ouverts mais standard), mais ces qualités sont toutes floues à interpréter, et un système axiomatique (resp. univers) particulier ne peut viser qu'à les approcher, tandis que cette quête ne saurait jamais être achevée.
Heureusement, des théories assez simples (telles que ZF) satisfont déjà ces qualités de manière très poussée, décrivant des réalités bien plus vastes qu'habituellement utile. C'est ainsi qu'une vision platonicienne de la théorie des ensembles (voyant l'univers de tous les objets mathématiques comme une réalité fixe et exhaustive) peut fonctionner comme une bonne approximation, bien que ne pouvant pas être un fait exact et absolu.

Cadres logiques alternatifs

La description faite ici des fondements des mathématiques (logique du premier ordre et théorie des ensembles), n'est essentiellement qu'une expression clarifiée équivalente de celles largement acceptées (une introduction différente aux mêmes mathématiques). En section 3 seront présentés d'autres cadres logiques qui sont soit des versions restreintes de la logique du premier ordre, soit de toute façon naturellement exprimables en théorie des ensembles. Mais d'autres cadres plus radicalement différents (concepts de logique et/ou d'ensembles), appelés logiques non classiques, pourraient être envisagés. Exemples: Nous garderons la logique classique dans toutes les sections suivantes, ignorant de telles alternatives.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques Aspects philosophiques
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
Représentation intuitive et abstraction
Platonisme vs Formalisme
1.3. Forme des théories: notions, objets, méta-objets
Théories réalistes, théories axiomatiques
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
Temps en théorie des modèles
Temps de l'interprétation
La métaphore du temps usuel
Le temps fini entre les expressions
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
Le temps infini entre les théories
Le paradoxe de Zénon
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles Temps en théorie des ensembles
Expansion de l'univers des ensembles
Un ensemble peut-il appartenir à lui-même?
1.9. Quantificateurs
Sens relatif des quantificateurs ouverts
Interprétation des classes
Classes dans un univers en expansion
Exemples concrets
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
Justification du principe de génération des
ensembles
Concepts de vérité en mathématiques
Démontrabilité
Vérités arithmétiques
Vérités ensemblistes
Cadres logiques alternatifs
2. Théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles
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EN : 1. First foundations of mathematics : Concepts of truth in mathematics