2.9. Axiome du choix

L'axiome de choix est un énoncé avec plusieurs formulations équivalentes, désigné comme «axiome», car il ne peut être déduit des autres axiomes de la théorie des ensembles, mais il «sent vrai» et, une fois pris comme un axiome, il n'augmente pas le risque de contractions, mais a des conséquences commodes. Mais nous n'en aurons en fait pas besoin dans le reste de ce travail.

Axiome du choix (AC). Il s'énonceEnsX, ACX, où ACX désigne les énoncés équivalents
(1) ∀SetE,∀RX×E, (∀xX, ∃yE, xRy) ⇒ (∃fEX, ∀xX, xRf(x)).
ou en bref: pour tout graphe
R, X = Dom R ⇒ ∃f ∈ (Im R)X, Gr fR.
(2) Tout produit sur X d'ensembles non vides est non vide : (∀xX, Ax ≠ ∅) ⇒ ∏xX Ax ≠ ∅.
(3) ∀Fnc g, Im g = X ⇒ ∃f ∈ (Dom g)X, gf=IdX.

Preuve d'équivalence:
(1)⇒(2) par R = ∐xX Ax ;
(2)⇒(3) par Ax=g(x) ;
(3)⇒(1) Im π0|R = DomR = X⇒∃(h×f) ∈ RX, h=IdXGr fR. ∎
(on a aussi (2)⇒(1) par Ax = R(x), et (1)⇒(3) par R = tGr g)

Théorème du choix fini. Si X est fini alors ACX.

Une preuve rigoureuse pour le cas général s'appuiera sur une définition formelle de la finitude. Maintenant, donnons seulement un schéma de démonstrations, une pour chaque nombre explicite d'éléments de X, en utilisant l'expression (2): par exemple avec 3 éléments, pour chaque triplet d'ensembles (A,B,C),
(A≠∅∧B≠∅∧C≠∅) ⇒ (∃xA, ∃yB, ∃zC, (x,y,z)∈A×B×C) ⇒ A×B×C ≠ ∅.
Le cas général peut s'écrire (∀i<n, Ai ≠ ∅) ⇒ (∃u0A0,..., ∃un-1An-1, (u0,...,un-1)∈ ∏i<n Ai) ⇒ ∏i<n Ai ≠ ∅. ∎

Les différents énoncés ACX sont liés par les implications suivantes:

Les preuves sont faciles et laissées en exercice au lecteur.

Théorème. Les énoncés suivants sont équivalents à l'axiome du choix:
(4) Tout ensemble E d'ensembles non-vides a une fonction de choix: ∅ ∉ E ⇒ (∏AE A) ≠ ∅.
(5) Pour toute partition P d'un ensemble E, KE, ∀AP, ∃! : KA
(6) Pour tous ensembles E,F,G et tout g: FG, {gf | fFE}=GE.

Preuves:
(2)⇒(4) est évident;
(4)⇒(5) (x∈∏AP AK = Im x) ⇒ (KE ∧∀AP, xAA ∧ ∀BP, xBABA=B)
(5)⇒(3) Soit P = Im g. Alors f = (Xx ↦ ϵ(Kg(x))) = g|K−1gf = IdX.
(ACE 1)⇒(6) ∀hGE, (∀xE, ∃yF, g(y)=h(x)) ⇒ (∃fFE, ∀xE, g(f(x))=h(x))
(ACG 3)⇒(6) : ∃iFG, gi=IdG ∧ ∀hGE, ihFEgih=h.
(6)⇒(3) : E=GIdE ∈ {gf | fFE}. ∎
 
Notes:


Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
2.1. Uplets, familles
2.2. Opérateurs booléens sur les ensembles
2.3. Produits, graphes et composition
2.4. Quantificateurs d'unicité, graphes fonctionnels
2.5. L'ensemble des parties
2.6. Injectivité et inversion
2.7. Relations binaires, ensembles ordonnés
2.8. Bijections canoniques
2.9. Relations d'équivalence et partitions
2.10. Axiome du choix
2.11. Correspondance de Galois
3. Théorie des modèles

En anglais : Set theory and Foundations of Mathematics : Axiom of choice