2.6. Injectivité et inversion

Une fonction f : EF est injective (ou : une injection ) si tGr f est un graphe fonctionnel:

Inj f
⇔ (∀yF,!:f(y))

⇔ (∀x,x′∈E, f(x)=f(x′) ⇒ x=x′)

⇔ (∀x,x′∈E, xx′ ⇒ f(x) ≠ f(x′))
Alors son inverse est défini par f−1f=(Imfy ↦ ϵf(y)) de sorte que Gr(f−1)=tGr f.
Une fonction f : E → F est dite bijective (ou une bijection) de E sur F, et on note f : EF, si elle est injective et surjective: ∀yF, ∃!: f(y), auquel cas f−1:FE.
Une permutation (ou transformation) d'un ensemble E est une bijection f : EE.

Proposition. Soit f:E → F et g:F → G.
1. (Inj fInj g) ⇒ Inj(gf)
2. Inj(gf) ⇒ Inj f
3. Im(gf) = g[Im f] ⊂ Img.
4. Im(gf) = GImg=G.
5. Im f = FIm(gf) = Im g, donc ((f:EF)∧(g:FG)) ⇒ (gf:EG)

Preuves:
1. (Inj fInj g)⇒∀x,yE, g(f(x))=g(f(y)) ⇒ f(x)=f(y) ⇒ x=y.
2. ∀x,yE, f(x)=f(y) ⇒ g(f(x)) = (g(f(y)) ⇒ x=y.
3. ∀zG, zIm(gf) ⇔ (∃xE, g(f(x))=z) ⇔ (∃yImf, g(y)=z) ⇔ zg[Imf].
3.⇒ 4. et 3.⇒5. sont évidents.∎
Proposition. Pour tous ensembles E,F,G et tout fFE,
Im f=F ⇒ Inj(GFggf)⇒(Im f = F∨ !:G)
(Inj fG ≠ ∅) ⇒{gf| gGF}=GE ⇒(Inj f∨ !: G)
(EFG ≠ ∅) ⇒{g|E|gGF}=GE
(Inj fE ≠ ∅) ⇒∃gEF, gf=IdE
Preuves :
Imf=F⇒∀g,hGF, ((∀xE, g(f(x)) = h(f(x))) ⇔ (∀yF, g(y)=h(y) ⇔ g=h)).
z,z′∈G, (yz)০f = (y ↦ (yImf ? z : z′))০f(Inj(ggf) ⇒ (z=z′∨Imf=F))
zG,∀hGE, Injf ⇒ (Fy ↦ (yImf? hf−1(y):z))০f=h.
z,z′ ∈ G,∀xE, si gGF est tel que ∀yE,g(f(y)) = (y=x ? z : z′), alors
yE, f(y)=f(x) ⇒ g(f(y)) = g(f(x)) = z ⇒ (y=xz=z′).
Les dernières formules sont des cas particuliers de la deuxième.∎

Soient f:E →  F et f*F: ℘(F) →  ℘(E) défini par f*. Alors (par G=V2 et ∀BImf, f[f*(B)]=B),

Inj f ⇔ Im f*F = ℘(E)
Im f = F⇔Inj f*F
Im f*={f[A]|AE}=℘(Im f)

Proposition. Soit F=Dom g. Alors Inj gInj(FEfgf) ⇒ (Inj gE=∅).

Preuves: ∀f,f′ ∈ FE, (Inj g∧∀xE, g(f(x))=g(f′(x))) ⇒ (∀xE,f(x)=f′(x)).
Alors, de la formule du milieu, ∀y,zF,
g(y)=g(z) ⇒ g০(Exy) = g০(Exz) ⇒ (∀xE, y=z) ⇒ (y=zE = ∅).∎

Proposition. Soient f:E → F et Dom g=F. Alors
gf = IdE ⇔ (∀xE, ∀yF, f(x)=yg(y)=x)

⇔ (Gr ftGr g) ⇔ (∀yF, f(y)⊂{g(y)})

⇔ (∀xE, f(x)∈g(x)) ⇔(Inj fg|Imf=f−1)

E ⊂ Im g
(g:FEgf= IdE) ⇒ (Im f = F ⇔ Inj g ⇔ fg = IdF ⇔ g=f−1).
Preuve de la dernière formule: (Inj ggfg = gIdF) ⇒ fg=IdF. ∎

Proposition. 1) If f,g sont injectives et Im f = Dom g, then (gf)−1= f−1g−1.
2) Si
f,h : E → F et g : F →E alors (gf= IdEhg = IdF) ⇔ ((g:FE)∧f=h=g−1).

Preuves:
1) ∀x ∈ Dom f, ∀y ∈ Im g, (gf)(x)=y ⇔ f(x)=g−1(y) ⇔ x = (f−1g−1)(y).
Autre méthode: (gf)−1= (gf)−1gg−1= (gf)−1gff−1g−1 = f−1g−1.
2) On déduit f=h de f = hgf = h, ou de Gr ftGr g ⊂ Gr h. le reste est évident.∎


Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
2.1. Uplets, familles
2.2. Opérateurs booléens sur les ensembles
2.3. Produits, graphes et composition
2.4. Quantificateurs d'unicité, graphes fonctionnels
2.5. L'ensemble des parties
2.6. Injectivité et inversion
2.7. Relations binaires, ensembles ordonnés
2.8. Bijections canoniques
2.9. Relations d'équivalence et partitions
2.10. Axiome du choix
2.11. Correspondance de Galois
3. Théorie des modèles