2.4. Quantificateurs d'unicité, graphes fonctionnels

Pour tous ensembles FE, tout prédicat unaire A admissible sur E, et tout xE,

xF ⇔ {x} ⊂ F ⇔ (∃yE, x=yyF) ⇔ (∀yE, x=yyF)
xF ⇒ ((∀yF, A(y))⇒A(x)⇒∃yF, A(y))
F ⊂ {x} ⇔ (∀yF, x=y) ⇒ ((∃yF, A(y))⇒A(x)⇒(∀yF, A(y)))
F={x} ⇔ (xF∧∀yF, x=y) ⇔ (∀yE, yF ⇔ x=y)

Voici 3 nouveaux quantificateurs: ∃2 (pluralité), ! (unicité), et ∃! («il existe un unique... »), qui appliqués à A dans E ne dépendent que de F={xE, ℛ (x)} (comme ∃ et contrairement à ∀) :
(∃xE, A(x)) ⇔ (F ≠ ∅) ⇔ (∃xF, 1) ⇔ (∃xE, {x} ⊂ F)
(∃2xE, A(x)) ⇔ (∃2: F) ⇔ (∃x,yF, xy) ⇔ (∃x,yE, A(x)∧A(y)∧xy)
(!xE, A(x)) ⇔ (!:F) ⇔ ¬(∃2: F) ⇔ (∀x,yF, x=y) ⇔ ∀xF, F ⊂ {x}
(∃!xE, A(x)) ⇔ (∃!: F) ⇔ (∃xF, F ⊂ {x}) ⇔ (∃xE, F={x})
F ⊂ {x} ⇒∀yF, F ⊂ {y} ⇔ (!:F)
(∃!:F) ⇔ (F ≠ ∅∧!: F)
F ≠ ∅ ⇒ ((∀yF, B(y)) ⇒ (∃yF, B(y)))
( !: F) ⇒ ((∃yF, B(y)) ⇒ (∀yF, B(y)))
F={x} ⇒ ((∃yF, B(y)) ⇔ B(x) ⇔ ∀yF, B(y))

Une fonction f est dite constante lorsque !:Imf. La constance d'un uplet est la chaîne d'égalités:
x=y=z ⇔ !:{x,y,z} ⇔ ((x=y)∧(y=z))⇒x=z

Traduction des opérateurs en prédicats

Dans une théorie générique, tout symbole de foncteur T est remplaçable par un symbole de prédicat binaire R (où xRy ⇔ (y=T(x))) avec l'axiome ∀x,∃!y, xRy, remplaçant toute formule A(T(x)) (où x est un terme) par (∃y, xRyA(y)), ou par (∀y, xRyA(y)) (tandis que les termes sont intraduisibles).
Ainsi, tout prédicat R tel que ∀x,∃! y, xRy définit implicitement un symbole d'opérateur T. Cela s'étend en arité supérieure en remplaçant x par un uplet.
Mais l'utilisation de quantificateurs ouverts dans cette construction, la rend inacceptable dans notre théorie des ensembles. A leur place, introduisons un nouvel opérateur ϵ sur la classe (Set(E)∧∃!:E) des singletons, qui en donne l'élément suivant l'axiome (∀x, ϵ{x}=x) qui s'écrit aussi (Set E∧∃!:E) ⇒ ϵEE. Alors pour tout prédicat unaire A et tout singleton E, AE) ⇔ (∃xE, A(x)) ⇔ (∀xE, A(x)).

Operateur conditionnel

Comme le connecteur conditionnel, il choisit entre deux objets x,y suivant le booléen B:

(B? x:y) = (y,x)B = ϵ{z∈{x,y}|B ? z=x : z=y}

de sorte que pour tout prédicat A on a A(B? x:y) ⇔ (B? A(x):A(y)). Tous les para-operateurs autres que les connecteurs mais avec au moins un argument booléen, s'expriment naturellement comme composés de l'opérateur conditionnel et d'operateurs, ou du connecteur conditionnel et de prédicats, rendant inutile leur inscription directe au langage d'une théorie.

Graphes fonctionnels

Un graphe R est dit fonctionnel si ∀xDom R, !: R(x), qui équivaut à
x,yR, x0=y0x1=y1.
C'est la condition pour qu'il soit le graphe d'une fonction: R = GrR) où
ϵR = ((Dom R) ∋ x ↦ ϵ(R(x)))
 

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
2.1. Uplets, familles
2.2. Opérateurs booléens sur les ensembles
2.3. Produits, graphes et composition
2.4. Quantificateurs d'unicité, graphes fonctionnels
2.5. L'ensemble des parties
2.6. Injectivité et inversion
2.7. Relations binaires, ensembles ordonnés
2.8. Bijections canoniques
2.9. Relations d'équivalence et partitions
2.10. Axiome du choix
2.11. Correspondance de Galois
3. Théorie des modèles