Temps en théorie des ensembles

L'expansion de l'univers des ensembles

Etant donné deux univers UU', l'univers U sera appelé standard dans U', ou un sous-univers U', si son interprétation des structures ensemblistes (leurs valeurs pour toutes valeurs fixées des arguments dans U) coïncide avec leur méta-interprétation (celle de U'). Précisément, demandons la préservation des données suivantes: Donc, les structures dans U' étant fixées, il suffit de spécifer U comme méta-partie ou classe dans U'. Appelons-le un petit sous-univers si c'est plus précisément un ensemble (UU').
Si on a 3 univers UU'U"U' est standard dans U", alors on a l'équivalence:
(U est standard dans U') ⇔ (U est standard dans U").
D'où l'idée de considérer le caractère standard d'un univers comme une propriété absolue, indépendante de l'univers externe dans lequel il est décrit ... à condition que cet univers externe soit lui-même standard. Ceci ne définit pas formellement le caractère standard comme concept absolu (ce qui est impossible), mais suggère qu'un tel concept aurait un sens idéal.

Appelons multivers standard toute collection (domaine de variation) d'univers standard, où 2 quelconques d'entre eux sont des petits sous-univers d'un troisième. On dira que l'univers des ensembles s'étend, lorsqu'il parcourt un multivers standard.
De tout multivers standard M, on peut reconstruire un univers externe contenant tous ses univers, défini comme leur union U=⋃M, où ils sont tous standard. En effet, toute expression avec des variables libres dans U prend son sens dans au moins un UM, contenant les valeurs de toutes ces variables, et où donc l'expression peut s'interpréter. Ce U est encore un autre univers standard spécifique, mais il ne peut pas appartenir lui-même à M, car sa présence contredirait le concept de multivers qui n'admet pas de plus grand élément. Donc, aucun multivers standard particulier ne peut jamais contenir tous les univers standard.

On peut comprendre le sens voulu de la théorie des ensembles comme de sorte différente de celui des théories génériques, ainsi : Contrairement aux univers standard, un univers non-standard n'est pas toujours un petit sous-univers d'un autre (lui-même non-standard), les extensions risquant de ne pouvoir préserver le foncteur d'ensemble des parties. On peut aussi avoir un multivers d'univers non-standard, ressemblant à un multivers standard (ses membres sont des petits sous-univers les uns des autres) mais dont l'union U (munie des mêmes structures, par lesquelles ces univers apparaissent standard) n'est plus un bon univers, ne satisfaisant pas le schéma d'axiomes de compréhension sur les formules avec quantificateurs ouverts (qualité nécessaire d'un univers pour pouvoir être un petit sous-univers d'un autre) : il peut notamment exister un ensemble EU et une formule A tels que

{xE|∀U y, A(x,y)}∉U.

Deux univers seront qualifiés de compatibles s'ils peuvent être vus tous deux comme sous-univers d'un même univers plus grand. Tous les univers standard sont compatibles entre eux. Donc lorsque 2 univers sont incompatibles, au moins un d'entre eux est non-standard; ils ne peuvent être tous deux parties d'un même univers plus grand, qu'en y présentant au moins l'un d'eux comme non-standard.

Un ensemble peut-il appartenir à lui-même ?

Un ensemble sera dit réflexif s'il appartient à lui-même.
Par la preuve du paradoxe de Russell [1.8], la classe (Set(x) ∧ xx) des ensembles non-réflexifs ne peut coïncider avec aucune partie F d'un ensemble E car ce F serait alors un ensemble non-réflexif hors de E, donnant une contradiction. Mais des ensembles réflexifs peuvent-ils exister ? Ceci est indécidable; voici pourquoi.

D'un univers contenant des ensembles réflexifs, on peut tous les éliminer : ces ensembles ne sont pas reconstructibles par la donnée de leurs éléments (ayant chacun au moins un élément éliminé de l'univers, à savoir eux-mêmes), mais pour que le reste constitue encore un univers (modèle de la théorie des ensembles), il reste à traiter le cas des autres ensembles qui contenaient l'un d'eux (et de même pour les fonctions):
Une autre solution est de reconstruire progressivement l'univers en les évitant: chaque ensemble apparaît à un certain instant, formé comme collection d'objets précédemment acceptés ou formés. Tout ensemble ainsi formé, a dû avoir un premier instant de formation : il ne pouvait pas encore être disponible la première fois qu'il est venu comme collection d'objets déjà acceptés, donc il ne peut pas être réflexif.
La réflexivité d'un ensemble étant une propriété indépendante du contexte, une union d'univers chacun dépourvu d'ensemble réflexif, n'en contiendra pas non plus.

A l'inverse, on peut créer des univers contenant des ensembles réflexifs, par le biais suivant:

Devinette: quelle est la différence entre
Réponse: le rôle de l'ensemble contenant x mais non y, joué par y dans le premier univers, est joué par x dans le second.

L'absence d'ensembles réflexifs, est un cas particulier de l'axiome de fondation, auquel les arguments d'indécidabilité ci-dessus s'étendront naturellement. Sa formulation sera basée sur le concept de relation bien fondée, qui suivra l'étude détaillée des correspondances de Galois. Mais cet axiome est aussi inutile que les ensembles qu'il exclut.

Le sens relatif des quantificateurs ouverts

Lorsque l'univers s'étend, les valeurs des énoncés (formules du premier ordre avec quantificateurs ouverts) peuvent varier.
Bien sûr, si un énoncé est formellement prouvable à partir d'axiomes donnés alors il reste vrai dans tous les univers satisfaisant ces axiomes; de même s'il est réfutable (sa négation est prouvable, donc il est faux dans tous les univers). Mais la théorie des ensembles ne donne pas de sens (de valeur booléenne) aux énoncés indécidables clos ou non (avec des quantificateurs ouverts et des valeurs données des variables libres), car toute valeur donnée resterait relative à ce qui a lieu «ici et maintenant» : si un énoncé universel (∀x, A(x) pour une formule bornée A) est vrai «ici», il pourrait encore devenir faux (un xA est faux pourrait se trouver) «ailleurs».

Mais si la valeur d'un énoncé indéterminé est relative à ce qui se passe «ici», la possibilité pour cette valeur de varier effectivement d'un lieu à l'autre (motivant ce statut d'indétermination) reste relative à ce qui se produit «ailleurs». Précisément, elle est relative à une diversité donnée de «lieux» possibles coexistants (univers) où il est interprété, donc à un multivers. Or, pour coexister, ces univers nécessitent le cadre d'un univers plus vaste commun U les contenant tous. En fait, la seule donnée de U suffit à essentiellement définir un multivers comme étant celui de «tous les univers contenus dans U». Ou plutôt, 2 multivers, suivant qu'on admette tous les univers qu'il contient, ou seulement ceux standard.

Un multivers standard, comme défini plus haut. Là, la variabilité d'un énoncé existentiel (∃x, A(x)) pour une formule bornée A, signifie l'existence d'univers U,U'U tels que ∀xU, ¬A(x) mais ∃xU', A(x). Ainsi A(x) n'est vrai que pour des x hors de U. On peut obtenir un U' tel que UU' en prenant un univers contenant à la fois U et l'ancien U'. En particulier, (∃x, A(x)) est aussi vrai dans U (on peut qualifier cet énoncé d'ultimement vrai). Intuitivement, les xA(x) est vrai sont hors d'atteinte de la théorie: ils ne peuvent pas être désignés par des termes, et leur existence ne peut être déduite des axiomes d'existence donnés (satisfaits par U).
Mais, comme (∃x,A(x)) n'était pas clairement vrai pour l'univers U initialement considéré (mais inconnu et en fait en expansion), ses chances semblent minces de devenir clairement vrai pour U qui est juste un autre univers décrit axiomatiquement, également inconnu. Ainsi lorsqu'un énoncé entendu pour U est indéterminé, il peut varier lorsque U s'étend, mais il se peut aussi que cette question de savoir s'il varie effectivement (traduisible en une question sur U), demeure elle-même indéterminée également. On seulement déterminer plus de vérités pour U que pour U, en donnant plus d'axiomes à la description de U qu'on en avait donné pour U.
Le théorème d'incomplétude impliquera qu'une formalisation de cette description de U (comme union d'un multivers standard, dont les univers satisfont des axiomes donnés) constitue déjà une telle axiomatisation plus forte, mais aussi que ni ceci ni aucune autre théorie axiomatique visant à décrire U (comme une sorte d'univers standard ultime), ne peut jamais décider (prouver ou réfuter) tous les énoncés clos dans U; en particulier, la question de la variabilité d'un énoncé clos dans le U en expansion ne peut pas être toujours décidé non plus.

Un multivers de «tous les univers», qu'ils soient ou non standard. Le théorème de complétude montrera que pour toute théorie générique, l'interprétation de l'indétermination d'une formule close comme variabilité de ses valeurs dans ce multivers, coïncide avec leur indécidabilité formelle. Des situations étranges peuvent s'y produire pour un énoncé indécidable (∃x,A(x)), les univers où il est vrai et ceux où il est faux pouvant être incompatibles:

Intuitivement, différents univers possibles aux différentes propriétés "ne se suivent pas" nécessairement dans le temps, mais peuvent s'inscrire dans des dynamiques séparées et incompatibles, dont certaines peuvent être considérées plus réalistes que d'autres.

Ainsi, alors que l'indécidabilité formelle d'un énoncé clos le rend automatiquement variable dans un "multivers de tous les univers", ceci ne nous renseigne pas sur ce qu'il en est des multivers standard. En conclusion, l'indétermination des énoncés doit n'être traitée que par évitement, comme une simple expression d'ignorance envers la diversité des univers admissibles, partiellement sélectionnés par les axiomes, où ils peuvent être interprétés.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques Aspects philosophiques
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
Représentation intuitive et abstraction
Platonisme vs Formalisme
1.3. Forme des théories: notions, objets, méta-objets
Théories réalistes, théories axiomatiques
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
Temps en théorie des modèles
Temps de l'interprétation
La métaphore du temps usuel
Le temps fini entre les expressions
1.6. Connecteurs
1.7. Classes en théorie des ensembles
Le temps infini entre les théories
Le paradoxe de Zénon
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles Temps en théorie des ensembles
Expansion de l'univers des ensembles
Un ensemble peut-il appartenir à lui-même?
1.9. Quantificateurs
Sens relatif des quantificateurs ouverts
Interprétation des classes
Classes dans un univers en expansion
Exemples concrets
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
Justification du principe de génération
des ensembles
Concepts de vérité en mathématiques
Démontrabilité
Vérités arithmétiques
Vérités ensemblistes
Cadres logiques alternatifs
2. théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles

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EN : 1. First foundations of mathematics : Time in Set theory