L'idée générale est que les structures de U1 (l'interprétation considérée des symboles de la théorie des ensembles dans U1 qui en fait un univers) doivent être les restrictions de celles utilisées pour U2. Mais cela dépend de quelles structures il s'agit et comment on définit leurs restrictions. La condition de conservation par restriction de U2 à U1 qu'on précisera dans chaque cas, entraine implicitement d'autres conditions de conservation sur d'autres symboles en vertu des axiomes de la théorie des ensembles sur U2. Toute structure définie à l'aide de seuls symboles de sens conservé est également conservée. Les structures non conservées sont de toute façon déterminées en U1 comme définies à partir de celles de U2 avec le paramètre U1 (comme ensemble ou prédicat unaire). C'est pourquoi U1 n'a besoin d'être spécifié que comme méta-partie ou classe dans U2, gardant ses structures implicites.
Contentons-nous de préciser ce que chaque version de la standardité requiert sur les ensembles (à quoi la diversité des versions est réductible, les conditions sur les fonctions en découlant de la manière essentiellement donnée par le sort de leurs graphes comme ensembles, après avoir défini naturellement la standardité pour des couples). La première structure pour eux est leur classe Set. La condition pour cela est Set1 = Set2 ∩ U1. Mais, considérant que Set n'est pas vraiment une structure mais seulement une source de classes d'admissiblité pour les structures effectives, cette condition peut être affaiblie en Set1 ⊂ Set2 ∩ U1 sans affecter essentiellement les 3 principaux degrés de standardité décrits ci-dessous.
La version faible (venant quand le rôle des ensembles est vu comme donné par ∈) est
(ST) : ∈1 = ∈2 ∩ (U1× Set1).
En fait, cette condition suffira à impliquer (STF) une fois adopté l'axiome de fondation pour U2 et d'autres conditions raisonnables qui seront détaillées plus loin. Sinon, cela doit être ajouté comme exigence dans le concept de standardité, sous la forme ℕ1 = ℕ2 (si l'axiome de l'infini est adopté dans les deux) ou de toute façon en termes de la classe Fin des ensembles finis comme Fin1 ⊂ Fin2 qui équivaut à Fin1 = Fin2 ∩ Set1 (pour des raisons un peu subtiles).La version intermédiaire (mentionnée en 1.7: chaque ensemble coïncide avec le méta-ensemble des mêmes éléments) est
(ST') : ∈1 = ∈2 ∩ (U2× Set1) ⊂ U1× Set1
exprimant que chaque ensemble dans U1 est interprété par U2 comme inclus dans U1. Cela implique la préservation des quantificateurs bornés (si la sous-formule garde ses valeurs, à savoir n'utilise pas ℘) et de tout opérateur donnant un ensemble déterminé par la donnée de ses éléments, à savoir les opérateurs donnés par le principe de génération des ensembles. Des constructions spéciales existent (comme celles de l'analyse non standard) de sous-univers ne satisfaisant pas cette condition et conservant néanmoins les quantificateurs bornés sur les formules avec paramètres dans U1; mais l'équivalence tient avec la conservation des quantificateurs bornés sur des formules avec paramètres dans U2 (comme on verra avec la justification du principe de génération des ensembles en 2.B).La version forte de la standardité requiert également la conservation du symbole d'ensemble des parties ℘ (2.7):
(STP) : ℘1 = ℘2|Set1
Cette condition supplémentaire peut également s'écrire sans utilisation explicite de ℘ comme(ST") : (ST) ∧ ∀E∈Set1, ∀F∈Set2, F ⊂2 E ⇒ F ∈ Set1
Ces conditions sont liées par (ST") ⇔ ((ST') ∧ (STP)) ⇒ (STF).(U1 est standard dans U2) ⇔
(U1 est standard dans U3).
Un sous-univers U1 de U2 sera qualifié de petit s'il y est vu comme un ensemble. Cela peut s'écrire U1 ∈ Set2 si U2 est lui-même (ST')-standard, sinon ∃X∈Set2, U1 = ∈⃖2(X).
Pour compléter le concept d'univers idéalement standard, supposons que deux quelconques univers standard sont de petits sous-univers d'un troisième.
Cet idéal est très raisonnable pour (ST) et (ST'); mais pour (ST") c'est un peu plus osé. Comme première raison, on peut arguer philosophiquement que n'importe quel univers (standard ou non) peut être pris comme un petit sous-univers d'un autre au sens (ST'), mais pas toujours au sens (ST") car le voir comme un ensemble peut fournir des moyens de définir d'autres parties d'ensembles donnés. En particulier, tout univers (ST")-standard étant un petit sous-univers (ST") d'un autre, cela implique son respect du schéma de compréhension.
Les concepts ci-dessus fournissent une signification réaliste à la théorie des ensembles :
Formalisons certains aspects de la pluralité des univers standards que la théorie des ensembles entend décrire dans sa vision réaliste.
Pour tout multivers quasi-standard M, son union U=⋃M forme un autre univers contenant tous les membres de M comme petits sous-univers. Alors pour toute expression avec des valeurs de ses variables libres dans U il existe un U∈M contenant ces valeurs, et donc capable d'interpréter l'expression. Cette interprétation étant indépendante du choix de U, définit celle de U. Ainsi,
(M est un multivers standard) ⇔ (l'univers U est standard).
Mais U ne peut pas appartenir à M, car M n'a pas de plus grand élément. Donc, aucun multivers standard particulier ne peut jamais contenir tous les univers standard.L'axiome de fondation, introduit en 5.3, impliquera l'absence d'ensembles réflexifs comme cas particulier; son indécidabilité se démontre de manière essentiellement similaire aux arguments ci-dessus. Mais le plus souvent, cet axiome est aussi inutile que les ensembles qu'il exclut.
Théorie des
ensembles et fondements des mathématiques |
|
1. Premiers fondements des mathématiques | |
2. Théorie des ensembles | |
2.1.
Premiers axiomes de théorie des ensembles 2.2. Principe de génération des ensembles 2.3. Curryfication et uplets 2.4. Quantificateurs d'unicité 2.5. Familles, opérateurs booléens sur les ensembles 2.6. Graphes 2.7. Produits et ensembles des parties |
2.8. Injections, bijections
2.9. Propriétés des relations binaires 2.10. Axiome du choix ⇦ |
2.A. Temps en théorie des ensembles ⇨ 2.B. Interprétation des classes 2.C. Concepts de vérité en mathématiques |
|
⇨ 3. Algebra - 4. Arithmetic - 5. Second-order foundations |