x ∈ E ⇔ (∃y∈E, x=y)
mais n'est pas généralement définissable par lui en retour suivant une formule bornée, sa définition utilisant un quantificateur ouvert. Philosophiquement, la perception d'un ensemble comme classe (capacité à classer chaque objet comme lui appartenant ou non) ne suffit pas à fournir sa pleine perception comme ensemble, à savoir la perspective sur tous ses éléments comme coexistants. Cette vision intuitive d'un ensemble comme coexistence de ses éléments peut être vue comme confirmée par la définition ci-dessus de l'appartenance comme une forme d'existence relative à cet ensemble. Ainsi, le paradoxe de Russell signifie que les objets mathématiques ne peuvent pas tous coexister en une ultime totalité.∀A, (∀x, C(x) ⇒ A(x)) ⇔ (Qx, A(x))
est prouvé par introduction universelle de second ordre (*) sous une condition donnée sur les paramètres, alors C est un ensemble désignable par un nouveau symbole d'opérateur K ajouté au langage de la théorie des ensembles, avec ces paramètres comme arguments; et l'axiome suivant qui exprime K = C par double inclusion: Pour toutes valeurs des paramètres satisfaisant la condition,Set(K) ∧ (∀x∈K, C(x)) ∧ (Qx, x ∈ K).
(*) On se contentera des cas dont les preuves n'utilisent aucun axiome obtenu à partir d'un axiome de second ordre en utilisant A dans la définition de sa structure variable, bien que je doute qu'une telle utilisation soit possible.
(1) ∀x, (C(x) ⇔ Q*y, x=y)
(il suffit en fait que ∀x, C(x) ⇒ Q*y,
x=y)
(2) Qx, C(x)
(3) ∀A,B, (∀x, A(x) ⇒ B(x))
⇒ ((Qx, A(x)) ⇒ (Qx, B(x))).
Les premiers et principaux cas d'utilisation de ce principe sont présentés
dans le tableau suivant. Pour les justifier, (1) vient en trouvant que C
est la formule ainsi définie à partir de Q, tandis que (3) est assuré
par l'absence d'occurrence "négative" de A
dans Q (dans une négation, une équivalence, ou à gauche d'un ⇒).
Cela laisse (2) comme condition restante facile à vérifier.
La première
colonne rappelle les abréviations génériques ci-dessus; les autres sont les exemples.
La ligne K donne les notations des symboles ensemblistes ainsi introduits.
| K | {y∈E | B(y)} | ⋃E | Im f | ∅ | {y} | {y,z} |
| C(x) | x∈E ∧ B(x) | ∃y∈E, x∈ y | ∃y∈Dom f, f(y)=x | 0 |
x=y | x=y ∨ x=z |
| dK | ∀x∈E, dB(x) | Set(E)∧∀y∈E, Set(y) |
Fnc(f) | 1 |
1 |
1 |
| Qx, A(x) | ∀x∈E, B(x)⇒A(x) | ∀y∈E, ∀x∈y, A(x) | ∀x∈Dom f, A(f(x)) | 1 | A(y) | A(y) ∧ A(z) |
| Q*x,A(x) | ∃x∈E, B(x) ∧ A(x) | ∃y∈E, ∃x∈y, A(x) | ∃x∈Dom f, A(f(x)) | 0 |
A(y) | A(y) ∨ A(z) |
La valeur du symbole de compréhension K={x ∈ E|B(x)},
d'abord définie en 1.8 comme classe, donc avec un quantificateur ouvert
(∀x, x∈K ⇔
Set(K) ∧ (∀x∈K, x∈E ∧ B(x)) ∧ (∀x∈E,
B(x) ⇒ x ∈ K)
Le foncteur ⋃ est le symbole d'union, et ses axiomes constituent l'axiome de la réunion.
L'ensemble Im f des valeurs de f(x) lorsque x parcourt Dom f, est appelé l'image de f.(f : E → F) ⇔ (Fnc(f) ∧ Dom f = E ∧ Im f ⊂ F)
Un ensemble F tel que Im f ⊂ F (autrement dit ∀x ∈ Dom f, f(x) ∈ F) est un ensemble d'arrivée de f.L'ensemble vide ∅ est le seul ensemble sans élément, et est
inclus dans tout ensemble (∀SetE, ∅ ⊂ E).
Donc (E=∅ ⇔ E ⊂ ∅ ⇔ ∀x∈E,
0), et donc (E ≠ ∅ ⇔ ∃x ∈ E,1).
La présence du symbole de constante ∅ garantit l'existence d'un
ensemble; il s'obtient aussi de tout ensemble E par ∅ = {x∈E | 0}. On a ⋃∅ =∅.
Comme (Dom f = ∅ ⇔ Im f = ∅) et (Dom f = Dom g = ∅
⇒ f = g), l'unique fonction de domaine ∅
est appellée la fonction vide ∅↦.
Le fait qu'une variable puisse être de domaine vide n'empêche pas de la fixer. En particulier,
développer une théorie incohérente signifie étudier un système fixe dont le domaine des
possibilités est vide. On peut avoir besoin de le faire pour y découvrir une contradiction,
autrement dit prouver qu'aucun tel système n'existe.
(∃x∈E, A(x)) ⇔ {x∈E | A(x)} ≠ ∅ ⇔ (1 ∈ Im(E∋x ↦ A(x))).
Pour tout x, {x,x}={x}. Un tel ensemble, à un seul élément, est appelé un singleton.Pour tous x et y on a {x, y}={y, x}. Si x ≠ y, l'ensemble {x, y} à deux éléments x et y est appelé une paire.
Pour tout ensemble E, la fonction identité sur E se définit parIdE = (E ∋ x ↦ x).
Ainsi,Dom IdE = E = Im IdE
∀x∈E, IdE(x) = x.
| Théorie des ensembles et fondements des mathématiques | |
| 1. Premiers fondements des mathématiques | |
| 2. Théorie des ensembles | |
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2.1. Premiers axiomes de théorie des ensembles ⇦ 2.2. Principe de génération des ensembles ⇨ 2.3. Curryfication et uplets 2.4. Quantificateurs d'unicité 2.5. Familles, opérateurs booléens sur les ensembles 2.6. Graphes 2.7. Produits et ensembles des parties |
2.8. Injections, bijections
2.9. Propriétés des relations binaires 2.10. Axiome du choix |
| Temps
en théorie des ensembles Interprétation des classes Concepts de vérité en mathématiques |
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| 3. Algebra - 4. Arithmetic - 5. Second-order foundations | |