1.11. Principe de génération des ensembles

Les quantificateurs bornés donnent aux ensembles leur rôle fondamental de domaines des variables liées, inconnu du prédicat ∈ qui ne leur donne qu'un rôle de classes. Techniquement, le quantificateur borné (∃ ∈ , ) suffit à définir le prédicat ∈ par
xE ⇔ (∃yE, x=y)
mais n'est pas définissable en retour par ∈ dans le formalisme ensembliste car la définition inverse utilise un quantificateur ouvert. Philosophiquement, la perception d'un ensemble comme classe (le fait de savoir classer chaque objet comme lui appartenant ou non) ne suffit pas à le percevoir effectivement comme ensemble (à fournir la perspective sur tous ses éléments comme coexistants).

Principe de génération des ensembles. Pour toute classe C (définie par une formule bornée avec paramètres), si l'énoncé (∀x,C(x) ⇒ A(x)) exprimant le quantificateur C sur un prédicat unaire A non défini (un symbole de prédicat supplémentaire utilisé sans égard à la possibilité de le remplacer par une formule, voir 1.5), est démontré équivalent à une formule ensembliste (ici abrégée Qx, A(x) comme un quantificateur), alors C est un ensemble désignable par un nouveau symbole d'opérateur K à ajouter au langage de la théorie des ensembles, d'arguments les paramètres (communs) de C et Q, avec l'axiome:
(Pour toutes valeurs admises des paramètres,) Set(K) ∧ (∀xK, C(x)) ∧ (Qx, xK).

L'équivalence de Q et ∀C est traduisible en la liste des 3 énoncés suivants où le quantificateur Q* défini par (Q*x, A(x)) ⇎ (QxA(x)) sera équivalent à ∃C:

(1) ∀x, (C(x) ⇔ Q*y, x=y) (il suffit en fait que ∀x, C(x) ⇒ Q*y, x=y)
(2) Qx, C(x)
(3) Pour tous prédicats unaires (symboles non définis) A et B, (∀x, A(x) ⇒ B(x)) ⇒ ((Qx, A(x)) ⇒ (Qx, B(x)))

En effet nous savons déjà que ces 3 propriétés résultent de «Q=∀C ». Réciproquement,
((2) ∧ (3)) ⇒ ((∀C x, A(x)) ⇒ Qx,A(x))
((1) ∧ ∃C x, A(x)) ⇒ ∃y, (Q*x, x=y) ∧ (∀x, x=yA(x)) ∴ ((3) ⇒ Q*x,A(x)) ∎

(3) sera souvent immédiat faute d'occurence gênante de A dans Q (dans une négation, une équivalence, ou à gauche d'un ⇒ ), laissant à vérifier (1) et (2).

Voici des exemples de tels symboles d'opérateurs (la première colonne est l'abréviation générique, les autres sont les exemples, et D = Dom f):

K {yE|B(y)} E Im f {y} {y,z}
dK xE, dB(x) Set(E) ∧ ∀xE, Set(x)
Fnc(f) 1
1
1
C(x) xEB(x) yE, xy yD, f(y)=x 0
x=y x=yx=z
Qx, A(x) xE, B(x) ⇒ A(x) yE, ∀xy, A(x) xD, A(f(x)) 1
A(y) A(y) ∧ A(z)
Q*x, A(x) xE, B(x) ∧ A(x) yE, ∃xy, A(x) xD, A(f(x)) 0
A(y) A(y) ∨ A(z)

La définition de K={xE|B(x)}, qu'on n'avait exprimée que comme classe, peut également s'écrire comme cas particulier de l'axiome mentionné ci-dessus:
Set(K) ∧ (∀xK, xEB(x)) ∧ (∀xE, B(x) ⇒ xK)
ou plus simplement
Set(K) ∧ KE ∧ (∀xE, xKB(x))
par quoi la preuve du paradoxe de Russell s'écrirait
F={xE | Set(x) ∧ xx} ⇒ ((∀xE, xF ⇔ (Set(x) ∧ xx)) ∧ (FF ⇎ (Set(F) ∧ FF))) ⇒ FE

Le foncteur ⋃ est le symbole d'union, et ses axiomes constituent l'axiome de la réunion.

L'ensemble Imf des valeurs de f(x) lorsque x parcourt Dom f, est appelé l'image de f.
On définit le prédicat f:EF par
(f:EF) ⇔ (Fnc(f) ∧ Set(F) ∧ Domf = E ∧ ImfF)
qui se lit «f est une fonction de E dans F ». Un ensemble F tel que ImfF (autrement dit ∀xDom f, f(x) ∈ F) est un ensemble d'arrivée de f.
Le cas plus précis (Fnc(f) ∧ Dom f=EImf = F) se notera f:EF (f est une surjection ou fonction surjective de E sur F).

L'ensemble vide ∅ est le seul ensemble sans élément, et est inclus dans tout ensemble E (∅ ⊂ E).
Donc (E=∅ ⇔ E ⊂ ∅ ⇔ ∀xE, 0), et donc (E ≠ ∅ ⇔ ∃xE,1).
Ce premier symbole de constante ∅ garantit l'existence d'un ensemble; il s'obtient aussi de tout ensemble E par ∅ = {xE | 0}.
Comme (Dom f=∅ ⇔ Imf=∅) et (Dom f=Dom g=∅ ⇒ f=g), l'unique fonction de domaine ∅ est appellée la fonction vide.

On pourrait redéfinir ∃ de deux manières: (∃xE, A(x)) ⇔ {xE | A(x)} ≠ ∅ ⇔ (1 ∈ Im(ExA(x))).

Pour tout x, {x,x}={x}. Un tel ensemble, à un seul élément, est appelé un singleton.
Pour tous x et y on a {x, y}={y, x}. Si xy, l'ensemble {x, y} à deux éléments x et y est appelé une paire.

Notre théorie des ensembles s'enrichira ultérieurement d'autres symboles et axiomes, nécessaires (comme ici) ou optionnels (ouvrant à une diversité de théories envisageables).

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques Aspects philosophiques
1.1. Introduction au fondement des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
Représentation intuitive et abstraction
Platonisme vs Formalisme
1.3. Forme des théories: notions, objets, méta-objets
Théories réalistes, théories axiomatiques
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
Temps en théorie des modèles
Temps de l'interprétation
La métaphore du temps usuel
Le temps fini entre les expressions
1.6. Connecteurs
1.7. Classes en théorie des ensembles
Le temps infini entre les théories
Le paradoxe de Zénon
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles Temps en théorie des ensembles
Expansion de l'univers des ensembles
Un ensemble peut-il appartenir à lui-même?
1.9. Quantificateurs
Sens relatif des quantificateurs ouverts
Interprétation des classes
Classes dans un univers en expansion
Exemples concrets
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
⇨ Justification du principe de génération des
ensembles
Concepts de vérité en mathématiques
Cadres logiques alternatifs
⇨ 2. Théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles

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