1. Premiers fondements des mathématiques

1.1. Introduction aux fondements des mathématiques

Mathématiques et théories

Les mathématiques sont l'étude des systèmes d'objets élémentaires, dont la seule nature considérée est d'être exacts, sans ambiguïté (deux objets sont égaux ou différents, reliés ou non, une opération donne un résultat exactement, etc.). Ces systèmes sont conçus indépendamment de notre monde habituel, même si nombre d'entre eux peuvent ressembler à (et permettent donc de décrire) diverses parties de celui-ci. Les mathématiques dans leur ensemble peuvent être vus comme «science de tous les mondes possibles» de cette espèce (faits d'objets exacts).
Les mathématiques se divisent en diverses branches, cadres implicites ou explicites de tout travail mathématique, pouvant se formaliser comme théories (axiomatiques). Chaque théorie est l'étude d'un système (monde) d'objets, supposé fixé et appelé son modèle. Mais chaque modèle d'une théorie peut n'être qu'une de ses interprétations possibles, parmi d'autres modèles également légitimes. Par exemple, en gros, toutes les feuilles de papier sont des systèmes de points matériels, modèles de la même théorie de la géométrie Euclidienne plane, mais indépendants les uns des autres.

Fondements et développements

Chaque théorie démarre par un fondement, qui est la donnée d'une liste d'éléments de description spécifiant ce qu'elle connait ou suppose de son ou ses modèle(s) (son type, sa forme). Ceci inclut une liste de formules (énoncés) appelés axiomes, exprimant les propriétés requises des modèles, sélectionnant ainsi ses modèles comme étant les systèmes où les axiomes sont vrais, parmi tous les systèmes possibles où ils peuvent être interprétés.
Puis, l'étude d'une théorie progresse en choisissant certains de ses développements possibles : de nouvelles notions et connaissances sur ses modèles, qui résultent de son fondement donné, et qu'on peut ajouter à celui-ci pour former son fondement suivant.
En particulier, un théorème d'une théorie, est une formule déduite de ses axiomes, et donc connue comme vraie pour tous ses modèles. Les théorèmes peuvent être ajoutés à la liste d'axiomes d'une théorie sans modifier sa signification.

Les autres développements possibles (non encore choisis) pourront toujours être effectués plus tard, car la partie du fondement qui pouvait les engendrer subsiste. Dès lors la totalité des développements possibles d'une théorie, indépendante de l'ordre choisi pour les effectuer, forme déjà une sorte de «réalité» que ces développements explorent (en attendant le théorème de complétude, qui montrera finalement comment l'ensemble des théorèmes possibles reflète précisément la réalité plus intéressante de la diversité des modèles possibles).

Il y a des hiérarchies possibles entre théories, certaines pouvant jouer un rôle fondateur pour d'autres. Notamment, les fondements de plusieurs théories peuvent avoir une partie commune formant une théorie plus simple, dont les développements sont applicables à toutes.
Un travail fondamental est de développer, à partir d'une base initiale simple, un fondement plus complet muni d'outils efficaces ouvrant des voies plus directes vers d'autres développements intéressants.

Le cycle des fondements

Malgré la simplicité de nature des objets mathématiques, le fondement général de toutes les mathématiques s'avère assez complexe (quoique moins qu'une théorie du tout de la physique). En effet, c'est également une étude mathématique, donc une branche des mathématiques appelée la logique mathématique. Comme toute autre branche, elle est formée de définitions et théorèmes sur des systèmes d'objets. Mais comme son objet est la forme générale des théories et des systèmes décrits par celles-ci, elle fournit le cadre général de toutes les branches des mathématiques... elle-même incluse.

Et pour fournir ainsi le cadre ou fondement de chaque fondement considéré (à l'inverse des travaux mathématiques ordinaires avançant à partir d'un fondement admis), elle ne ressemble pas à un point de départ précis, mais à une sorte de vaste cycle composé d'étapes plus ou moins difficiles. Néanmoins, ce cycle des fondements joue bien un rôle fondateur pour les mathématiques, fournissant un cadre rigoureux et de nombreuses notions utiles à diverses branches des mathématiques (outils, inspirations et réponses à diverses questions philosophiques).

(Cette situation ressemble à celle des dictionnaires définissant chaque mot par d'autres mots, ou d'une autre science des systèmes finis: l'informatique. On peut en effet simplement utiliser les ordinateurs, sachant ce qu'on fait mais non pourquoi cela fonctionne; leur fonctionnement se base sur des logiciels qui furent rédigés dans un certain langage puis compilés par d'autres logiciels, et sur le matériel et le processeur dont la conception et la fabrication furent assistées par ordinateur. Et c'est nettement mieux ainsi qu'à la naissance de cette discipline.)
Il est dominé par deux théories: Chacune est le cadre naturel pour formaliser l'autre: toute théorie des ensembles se formalise comme théorie décrite par la théorie des modèles; celle-ci s'obtient bien mieux comme développement de la théorie des ensembles (définissant théories et systèmes comme objets complexes), que directement comme théorie. Ces deux liens doivent être considérés séparément : les deux rôles de la théorie des ensembles, comme cadre et comme objet d'étude pour la théorie des modèles, doivent être distingués. Mais ces formalisations nécessiteront un long travail pour être complétées, particulièrement pour la dernière partie: La théorie des modèles et la théorie de la démonstration sont essentiellement uniques, donnant une signification claire et naturelle aux concepts de théorie, de théorème et de cohérence pour chaque théorie.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
1.1. Introduction aux fondements des mathématiques
1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations
1.3. Forme des théories: notions, objets, méta-objets
1.4. Structures mathématiques
1.5. Expressions et structures définissables
1.6. Connecteurs logiques
1.7. Classes en théorie des ensembles
1.8. Symboles liants en théorie des ensembles
1.9. Quantificateurs
1.10. Formalisation de la théorie des ensembles
1.11. Principe de génération des ensembles
 ⇨ Aspects philosophiques
Temps en théorie des modèles
Temps en théorie des ensembles
Interprétation des classes
Concepts de vérité en mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
3. Théorie des modèles
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EN : 1. First foundations of mathematics : 1.1. Introduction to the foundation of mathematics