1.2. Variabili, insiemi, funzioni e operazioni

Cominciare lo studio della matematica è una questione di introdurre alcuni semplici concetti dal ciclo dei fondamenti, i quali possono sembrare tanto autosufficenti quanto possibile (mentre non lo sono assolutamente). Una soluzione tipica e naturale è partire con una teoria degli insiemi non del tutto formalizzata come teoria assiomatica. Questo verrà fatto brevemente in 1.2, spiegando intuitivamente i concetti di insieme e funzione. Poi, in 1.3 inizieriemo a introdurre la teoria dei modelli, con il quale si può formalizzare qualsiasi teoria, inclusa la teoria degli insiemi, e nelle sezioni seguenti spiegheranno le principali sottigliezze (paradossi) risultanti nel quadro delle fondazioni matematiche.

Constanti

Un simbolo costante è un simbolo visto come denotante un oggetto unico, chiamato il suo valore. Esempi: 3, ⌀, ℕ. Analogamente nella lingua inglese prendono tipicamente la forma di nomi propri e nomi con il «the» (singolare senza complemento).

Variabili Free e Bound

Un simbolo variabile (o una variabile), è un simbolo che, invece di avere un valore definito a priori, è dato assieme al cocetto stesso dei suoi possibili valori, o possibili interpretazioni, ognuno dei quali dà un valore particolare. Ogni possibilità gli dà il ruolo di costante. Ci potrebbero essere un numero qualsiasi di questi possibili valori, tra cui infinitamente tanti, solo uno o anche nessuno.
Può essere inteso come limitato da una scatola, il cui interno ha molteplici versioni in parallelo, che articolano differenti punti di vista su se stesso: Più precisamente al riguardo di certe teorie, fissare una variabile significa prendere una variabile libera in una teoria e ignorarne la sua variabilità per esteso, quindi simulando (interpretando come vero) l'uso dell'altra teoria ottenuta mantenendo il simbolo come una costante.
I diversi «punti di vista interni», corrispondenti a ogni valore possibile visto come fissato, possono essere pensati come «locazioni» astratte nell'universo matematico, mentre le successioni di punti di vista rispetto a un simbolo (che lo qualificano come una costante, una variabile libera o una variabile legata), possono essere visti come una prima espressione del flusso del tempo in matematica: una variabile è legata (bound) quando tutte le diverse "locazioni parallele interne alla scatola" (valori possibili) sono passati. Tutti questi posti e tempi sono loro stesse puramente astratte, entità matematiche.

Ranges e insiemi

Il range (campo di variazione) di una variabile, è il segnificato che prende quando vista come bound: è la «conoscenza» della considerata totalità dei suoi valori autorizzati o possibili (visti in massa: non ordinati, che ignorano il loro contesto), i quali sono chiamati elementi di questo range. Questa «conoscenza» è un'entità astratta che, a seconda del contesto, può essere capace di processare (ricoprire) infinità di oggetti (a differenza del pensiero umano). Ogni range di una variabile è chiamato un insieme.
Una variabile ha un range quando può essere legata (bound), i.e. quando un punto di vista che ricopre tutti i suoi possibili valori è dato sopra essi. Non tutte le variabili della teoria degli insiemi avranno un range. Una variabile senza range può sempre essere libera, ciò non è più uno stato intermedio tra fissata e legata, ma significa che può prendere alcuni valori o alcun'altri valori senza rivendicarne l'esaustività.

Cantor ha definito un insieme come un «raggruppamento M di definiti e separati oggetti del nostro intuito o pensiero (i quali sono chiamati gli "elementi" di M) in un totale». Speigava a Dedenkind:«Se la totalità di elementi di una molteplicità può essere pensata come... se "esistente assieme", così che possono essere raggruppati in una "sola cosa", Io chiamo quella cosa una molteplicità consistente o un "insieme".» (Esprimiamo questa "molteplicità" come quella di valori di una variabile).
Ha descritto il caso contrario come una «molteplicità inconsistente» dove «ammettendo una coesistenza di tutti i suoi elementi ci guida a una contraddizione». Ma non-contraddione non può essere sufficiente a definire generalmente insiemi: la consistenza di una dichiarazione non implica necessariamente il fatto che sia vero(i.e. la sua negazione potrebbe essere vera ma indimostrabile); fatti di non-contraddizione sono spesso anche loro indimostrabili (teorema dell'incompletezza); e due separate coesistenze consistenti potrebbero contraddirsi l'una con l'altra(paradosso forza irresistibile / Paradosso dell'onnipotenza ).

Una variabile è detta ranging over (sul variare di) un insieme, quando è legata a questo insieme come suo range. Qualsiasi numero di variabili può essere introdotto come ranging over un determinato insieme, indipendemente dall'insieme, dalla variabile o da altre variabili.
Sistematicamente rinominare una variabile bound in tutta la sua scatola, in un altro simbolo non usato nello stesso contesto (stessa scatola), con lo stesso range, non cambia il significato del totale. In pratica, la stessa lettera può rappresentare tante separate variabili bound (con scatole separate), che possono prendere valori differenti senza conflitto, perché non una delle due sono in nessun luogo libere assieme di comparare i loro valori. I linguaggi naturali lo fanno continuamente, usando pochi simboli variali («lui», «lei», «esso»...)

Funzioni

Una funzione è un oggetto f fatto dei seguenti dati: In altre parole, è un'entità che si comporta come una variabile il cui valore è determinato da quello di un'latra variabile chiamata argomento con range Dom f : quandunque il suo argumento è fisso (prende il nome di, qui "x", e un valore nel Dom f), f diventa anch'essa fissata, scritta f(x). Questo equivale a immaginare una variabile f dove i "possibili punti di vista" su sé sono fissati, sono trattati come oggetti x concettualmente distinti dai risultanti valori di f. Come vedremo più tardi, tale entità (variabile dipendente) f non sarebbe (osservabile come ) un definito oggetto di teoria degli insiemi se il suo argomento non avesse range, i.e. non potesse essere bound (sarebbe solo un meta-oggetto, o un oggetto di teoria dei modelli, che noi chiameremo un functor in 1.4)

Operazioni

La nozione di operazione generalizza quella di funzione, ammettendo una finita lista di argumenti (variabili con dati rispettivi range) invece di uno solo. Quindi, un'operazione da un risultato (un valore) quando i suoi argumenti sono fissati. Il numero n di argumenti di un'oprezione è chiamato la sua arità ; l'operazione è chiamata n-aria. E' chiamata unaria se n=1 (cioè una funzione), binaria se n=2, ternaria se n=3...
Il concetto di operazione nullaria (n=0) è superfluo, dato che il suo ruolo è già giocato dal suo unico valore; 2.3 mostrerà come costruire operazioni con arità > 1 attraverso uso di funzioni.

Come per le funzioni, l'argomementi delle operazioni sono fondamentalmente denotati non da simboli ma da posti attorno al simbolo di operazione, per essere riempito da molte espressioni che gli danno i valori desiderati. Diverse convenzioni visive potrebbero essere usate (1.5). Per esempio, usando gli spazi a sinistra e destra nelle parentesi dopo il simbolo f, denotiamo f(x,y) il valore di un'operazione binaria f nei suoi fissati argomenti chiamati x e y (i.e. i suoi valori quando ai suoi argomenti sono assegnati i valori fissati di x e y).

Un urelement (elemento puro) è un oggetto che non gioca nessun ruolo se non quello di elemento: non è né un insieme né una funzione né un'operazione.

Set theory and Foundations of mathematics
1. First foundations of mathematics
1.1. Introduzione ai fondamenti della matematica
1.2. Variabili, insiemi, funzioni e operazioni
1.3. Form of theories
1.4. Structures of mathematical systems
1.5. Expressions and definable structures
1.6. Logical connectives
1.7. Classes in set theory
1.8. Binders in set theory
1.9. Axioms and proofs
1.10. Quantifiers
1.11. Second-order quantifiers
Time in model theory
Truth undefinability
Introduction to incompleteness
Set theory as unified framework
2. Set theory - 3. Algebra - 4. Arithmetic - 5. Second-order foundations
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FR : 1.2. Variables, ensembles, fonctions et opérations