2.8. Bijections canoniques

Pour tous objets x,y on dira que x détermine y s'il existe un foncteur invariant T tel que T(x) = y.
Alors le rôle de y comme variable libre peut être joué par le terme T(x), donc en utilisant x. C'est un méta-préordre sur l'univers mais pas un prédicat de la théorie des ensembles car il utilise un méta-concept. Il vise plutôt à abréger l'utilisation de T.

On appelle bijection canonique entre deux ensembles E et F une bijection définie par un foncteur invariant. Elle sera dite bicanonique si son inverse est canonique. On notera EF (resp. EF) s'il existe une bijection canonique (resp. bicanonique) de E sur F, pour sous-entendre le terme qui la définit. C'est un méta-préordre entre ensembles, préservé par constructions: par exemple si EE′ et FF′ alors E×FE′×F′ et FEFE. Il aura souvent une allure d'identité remarquable car l'existence d'une bijection entre ensembles finis implique l'égalité de leurs nombres d'éléments.

De même, une fonction f : EF sera dite canonique si elle se définit comme Ex → T(x) pour un foncteur invariant T. Une bijection f sera dite bicanonique si f et f−1 sont canoniques. Quand une bijection f : E ↔  F est canonique (resp. bicanonique), on écrit f : EF (resp. f : EF); ou, avec son foncteur de définition, T : EF qui signifie que (ExT(x)) est injective d'image F. On écrira EF (resp. EF) pour signifier l'existence d'une bijection canonique (resp. canonique), qui reste implicite.
Les bijections canoniques peuvent n'être pas bicanonique surtout lorsque leur foncteur de définition n'est pas injectif:
V
2E ≅ ℘(E), {x}E ≅ {x} et E×{x} ≅ E, tandis que {xEE{x} et E ≡ {0}×E.
C'est un méta-préordre sur la classe des ensembles, préservé par constructions: par exemple si EE′ et FF′ alors E×FE′×F′ et FEFE en utilisant l'image directe du graphe (alors qu'on peut ne pas avoir FEFE lorsque E′ ne détermine pas E). Cela ressemblera souvent à une propriété des nombres comme l'existence d'une bijection entre les ensembles finis implique l'égalité de leurs nombres d'éléments.
La transposition des paires orientées (E×FF×E) s'étend aux graphes (℘(E×F) ≡ ℘(F×E)) et aux opérations: GE×FGF×EfGE×F se transpose par tf(x,y)=f(y,x).

Sommes d'ensembles, sommes de fonctions

Si S=∐iI Ei alors ∐: ∏iI ℘(Ei) ≅ ℘(S), dont l'inverse SRRI = (IiR(i)) dépend de I. Notamment pour deux ensembles E et F, on a (℘(F))E ≅ ℘(E×F).
La somme sur I des fonctions fi où ∀iI, Ei = Dom fi se définit par
iI fi = (S ∋ (i,x) ↦ fi(x))
f=∐iI fi⇔ (Dom f=S∧∀iI, fi= f(i)=fji) où ji=(Eix ↦ (i,x))
d'où les bijections canoniques (bicanoniques si I=Dom S, donc si E ≠ ∅ dans le cas I×E)


iI
FiEFS
(FE)IFI×E

iI
 
xEi
F(i,x)
cS
Fc
  (E×FGE×F×G
(fi)iI ∈ (FE)I⇒ 
iI
Gr fi ⊂ ℘(I×(E×F)) ≡ ℘((I×EF) ⊃ Gr
iI
fi

Produit de fonctions ou recurryfication

Transposer une relation R échange ses formes curryfiées R etR , par une bijection (℘(F))E  ↔  (℘(E))F de paramètre F. De même, on a une bijection (FE)I ↔ (FI)E, canonique si  I ≠ ∅ (pour que (FE)I détermine E), défini par un symbole liant Π appelé le produit des fonctions fiFE pour iI:

(fi)iI
iI
FiE ≅ (
iI
Fi)E
iI
fi = (Ex ↦ (fi(x))iI)
  ∀g, g =
iI
fi  ⇔ (g : E →
iI
Im fi ∧∀iI, fi = πig)
Dom f = Dom g = Ef×g = (Ex ↦ (f(x),g(x)))
 IE×FE ≡ (I×F)E

ϕ∈IE
 
xE
Fϕ(x) (
iI
Fi)E.


Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles (suite)
2.1. Uplets, familles
2.2. Opérateurs booléens sur les ensembles
2.3. Produits, graphes et composition
2.4. Quantificateurs d'unicité, graphes fonctionnels
2.5. L'ensemble des parties
2.6. Injectivité et inversion
2.7. Relations binaires, ensembles ordonnés
2.8. Bijections canoniques
2.9. Relations d'équivalence et partitions
2.10. Axiome du choix
2.11. Correspondance de Galois
3. Théorie des modèles