Théorie des ensembles

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
2.1. Premiers axiomes de théorie des ensembles	Le prédicat d'inclusion Formules et énoncés Le rôle des axiomes Conversion des symboles liants Classification des axiomes Axiomes des notions Axiome d'extensionnalité Axiomes des fonctions
2.2. Principe de génération des ensembles	Formaliser diverses notions en théorie des ensembles Ensembles comme domaines de quantificateurs bornés Enoncé du principe Principaux exemples (compréhension, union, image, Ø, paires)
2.3. Curryfication et Uplets	Formalisation des opérations et relations Curryfication Uplets Axiome des uplets Uplets en théorie des ensembles
2.4. Quantificateurs d'unicité et opérateur conditionnel	Quantificateurs d'unicité Axiome de l'élément singulier Connecteur conditionnel Opérateur conditionnel Les relations comme opérations Définition des définisseurs d'uplets
2.5. Familles, opérateurs booléens sur les ensembles	Familles Structures et symboles liants Ecriture d'ensembles en extension Union d'une famille d'ensembles Autres operateurs booléens sur les ensembles Intersection
2.6. Produits, graphes et composition	Notations de curryfication Graphes fonctionnels Partitions indexées Somme ou union disjointe Images directe et inverse par un graphe Image directe et préimage par une fonction
2.7. L'ensemble des parties	Produit cartésien de deux ensembles Produits finis, opérations et relations Traduction des opérateurs en prédicats De nouveaux symboles primitifs (Ensemble des parties, Puissance, Produit) Leur équivalence Théorème de Cantor L'approche ZF
2.8. Injectivité et inversion	Composition, restriction Injections, bijections, inverse Diverses propriétés Fonctions canoniques Sommes de fonctions Produit de fonctions ou recurryfication
2.9. Relations binaires sur un ensemble	Préimages et produits Propriétés de base Préordre et ordre Ordre strict, ordre total Relations d'équivalence Fonctions quotient Partitions
2.10. Axiome du choix	Propriétés de la composition curryfiée Axiome du choix sur un ensemble (AC_X) Dépendences entre divers AC_X Autres énoncés simplement équivalents à AC
2.A. Temps en théorie des ensembles	Expansion de l'univers des ensembles Les univers idéalement standard L'approche réaliste de la théorie des ensembles Multivers standard Un ensemble peut-il appartenir à lui-même?
2.B. Interprétation des classes	Le sens relatif des quantificateurs ouverts L'indéfinition des classes Classes dans un univers en expansion Justification du principe de génération des ensembles Exemples concrets
2.C. Concepts de vérité en mathématiques	Vérité relative, démontrabilité Vérités arithmétiques Autres concepts de force La théorie des ensembles du réalisme à l'axiomatisation Condition de compatibilité des axiomes Cadres logiques alternatifs
3. Algèbre 4. Arithmétique 5. Second-order foundations

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