Actions de monoïdes

3.6. Actions de monoïdes et de catégories

Actions de monoïdes

Les monoïdes ayant perdu leur rôle d'ensembles de transformations, on peur leur en rendre un comme suit.
Une action (ou action à gauche) d'un monoïde (M,e, •) sur un ensemble X, est une opération ⋅ : M×X → X telle que ⋅⃗ ∈ Mor_{e,•}(M, X^X) :

∀x∈X, e⋅x = x
∀a,b∈M, ∀x∈X, (a•b)⋅x = a⋅(b⋅x)

Exemples:

Tout monoïde agit naturellement sur lui-même par son opération de composition.
Tout monoïde de transformations (ou autre monoïde agissant) M sur un ensemble E, agit aussi par restriction sur toute partie M-stable A ⊂ E (prédicat unaire préservé dans la catégorie concrète M d'objet E).
En particulier, le monoïde des endomorphismes de tout système typé E = ∐_i∈I E_i, agit sur tout type E_i qu'il contient.

Actions comme structures algébriques

Pour tous ensembles M, X avec des structures de M-algèbre • : M×M → M et ⋅ : M×X → X (voyant M comme ensemble de symboles de fonctions), ∀x∈X,

⋅⃖_x(e) = x ⇔ e⋅x = x
⋅⃖_x ∈ Mor_M(M,X) ⇔ ∀a,b∈M, (a•b)⋅x = a⋅(b⋅x)
•⃖_e = Id_M ⇔ (∀a∈M, a•e = a) ⇒ ∀g∈ Mor_M(M,X), ⋅⃖_g(e) = g

où le dernier ⇒ vient par ∀a∈M, a⋅g(e) = g(a•e) = g(a). Donc dans la formule d'équivalence

∀x∈X, ∀g∈X^M, g = ⋅⃖_x ⇔ (g ∈ Mor_M(M,X) ∧ g(e) = x)

⇒ exprime les axiomes d'action de M sur X ; une telle M-algèbre (X, ⋅) est appelée un M-ensemble.
⇐ est impliqué par le dernier axiome de monoïde (•⃖_e = Id_M); réciproquement, la variante de ⇐ replaçant (X, ⋅) par (M, •) implique cet axiome :

(Id_M ∈ Mor_M(M,M) ∧ Id_M(e) = e) ∴ •⃖_e = Id_M

Effectivité et éléments libres

Une action de M sur X est dite effective si ⋅⃗ : M ↪ X^X :

∀a,b∈M, (∀x∈X, a·x = b·x) ⇒ a = b

Une action effective est une manière de voir un monoïde comme un monoïde de transformations (Im ⋅⃗ ∈ Sub_{Id,⚬}X^X), en utilisant cette action en guise d'évaluateur de fonction. En effet, la condition d'effectivité est similaire à l'axiome (=_Fnc), rendant unique la fonction de domaine E donné répondant à toute définition de la forme (∀x∈E, f(x) =...).
Ainsi, les axiomes d'action reviennent à définir e et • comme jouant avec cette action, les mêmes rôles que ceux de Id et ⚬ avec l'évaluateur de fonction.

Un élément x∈X d'un M-ensemble (X, ·), est libre si ⋅⃖_x : M ↪ X. L'existence d'un élément libre implique que l'action est effective:

(∃x∈X, ∀a≠b∈M, a·x ≠ b·x) ⇒ (∀a≠b∈M, ∃x∈X, a·x ≠ b·x)
Inj(π_x ⚬ ⋅⃗ ) ⇒ Inj ⋅⃗

Pour l'action naturelle d'un monoïde sur lui-même, l'élément neutre est libre. Donc, cette action est effective.

Trajectoires

La trajectoire d'un élément x∈E par l'action d'un monoïde M sur E, se définit de façon équivalente:

〈{x}〉_M = {a⋅x | a∈M} = Im ⋅⃖_x ⊂ E

En effet, 〈{x}〉_M ⊂ Im ⋅⃖_x car x = ⋅⃖_x(e) ∈ Im ⋅⃖_x ∈ Sub_M E.
La réciproque est évidente.

Actions à droite

Le concept d'action à droite d'un monoïde M sur un ensemble X, diffère de l'action à gauche par l'échange des côtés: c'est une opération ⋅ : X × M → X telle que

∀x∈X, x⋅e = x;
∀a,b∈M, ∀x∈X, (x⋅a)⋅b = x ⋅(a•b)

Il équivaut à une action à gauche du monoïde opposé, et définit un anti-morphisme de M vers X^X.

La commutation de 2 sous-monoïdes de X^X ressemble à une formule d'associativité quand on les voit comme agissant par les côtés opposés sur X: a∈M agissant sur X commute avec b∈N co-agissant sur X si

∀x∈X, (a⋅x)⋅b = a⋅(x⋅b)

Actions de catégories

Generalisant le cas des monoïdes, une action α d'une catégorie C donne pour chaque objet X de C un ensemble X^α, et pour chaque f ∈ Mor(X,Y) une fonction f^α : X^α → Y^α, préservant éléments neutres et compositions:

∀_CX, (1_X)^α = Id_X^α
∀_CX,Y,Z, ∀f∈ Mor(X,Y), ∀g∈ Mor(Y,Z), (g∘f)^α = g^α⚬f^α

La catégorie C avec l'action α sera dite une catégorie agissante et notée C^α.
Une catégorie agissante C^α est effective si ∀_CX,Y, Inj(Mor(X,Y)∋ f ↦ f^α).
Une catégorie agissante effective est synonyme d'une catégorie concrète. Même si non effective, une catégorie agissante C^α définit une catégorie concrète |C^α| d'objets les ensembles X^α, et d'ensembles de morphismes

Mor(X^α, Y^α) = {f^α | f∈Mor(X,Y)}

De même par dualité, une co-action β d'une categorie C (formant une categorie co-agissante C_β) donne à chaque objet X de C un ensemble X_β, et à chaque morphisme f ∈ Mor(X,Y) une fonction f_β : Y_β → X_β, préservant les éléments neutres, et anti-préservant les compositions:

∀_CX, (1_X)_β = Id_{X_β}
∀_CX,Y,Z, ∀f∈ Mor(X,Y), ∀g∈ Mor(Y,Z), (g∘f)_β = f_β⚬g_β

Dans la littérature, les co-actions de catégories sont appelées des préfaisceaux.
Les actions et co-actions d'une catégorie peuvent être considérées comme des méta-algèbres typées avec des types donnés par ses objets et des symboles de fonction donnés par ses morphismes.

Quelques constructions d'actions

Etant donné une action α de C, une sous-action de α est une action β de C définie par restriction de α à un prédicat unaire préservé :

∀_CX, X^β ⊂ X^α
∀_CX,Y, ∀f∈ Mor(X,Y), f^α[X^β] ⊂ Y^β ∧ f^β = f^α_|X^β.

Généralisant l'action naturelle des monoïdes sur eux-mêmes, chaque choix d'un objet M définit une catégorie agissante C^(M) où

∀_CX, X^(M) = Mor(M,X)
∀f∈Mor(X,Y), f^(M) = Hom(M, f) = ∘⃗(f)_|Mor(M,X) : X^(M) → Y^(M)

et une catégorie co-agissante C_(M) où

∀_CX, X_(M) = Mor(X,M)
∀f∈Mor(X,Y), f_(M) = Hom(f,M) = ∘⃖(f)_|Mor(Y,M) : Y_(M) → X_(M)

Si C est une catégorie concrète alors C^(M) est une sous-action de C^M (qui à tout X donne X^M), et C_(M) est une sous-co-action de C_M (qui à tout X donne M^X).

Les axiomes de monoïde M et de M-ensembles X peuvent se lire comme contenus dans les axiomes de catégories. A savoir, choisissant un objet K d'une catégorie C, soit M = End(K). Alors tout objet E définit un M-ensemble X = K^(E) = E_(K). Comme les actions par composition de côtés opposés commutent par associativité, les morphismes dans la catégorie co-agissante C_(K) préservent cette M-structure :

∀f ∈Mor(E,F), f_(K) ∈ Mor_M(F_(K), E_(K))
∀x∈X=Mor(E,K), x_(K) = ⋅⃖_x ∈ Mor_M(K_(K), E_(K)).

Trajectoires des uplets dans les catégories concrètes

Pour toute categorie concrète C et tout n∈ℕ, les trajectoires de l'action Cⁿ de C sont des relations préservées : pour tout uplet fixé t d'éléments d'un objet K, la trajectoire s de t par C, interprétée par ∀_CE, s_E = {f⚬t | f ∈ Mor(K,E)}, est préservée.

Preuve : ∀g∈Mor(E,F), ∀x∈s_E, ∃f∈Mor(K,E), (x = f⚬t ∧ g⚬f ∈ Mor(K,F)) ∴ g⚬x = g⚬f⚬t ∈ s_F.∎

Dans le cas d'une inclusion entre objets E ⊂ F le s_E ainsi défini pourrait différer de la restriction de s_F à E mais cela ne survient habituellement pas dans les cas utiles.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre

3.1. Correspondance de Galois
3.2. Systèmes relationnels et catégories concrètes
3.3. Algèbres
3.4. Morphismes particuliers
3.5. Monoïdes et catégories
3.6. Actions de monoïdes et de catégories
3.7. Inversibilité et groupes
3.8. Propriétés dans les catégories
3.9. Objets initiaux et finaux
3.10. Produits de systèmes
3.11. Bases
3.12. Composition des relations

4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry

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