3.6. Actions de monoïdes et de catégories

Actions de monoïdes

Les monoïdes ayant perdu leur rôle d'ensembles de transformations, on peur leur en rendre un comme suit.
Une action (ou action à gauche) d'un monoïde (M,e, •) sur un ensemble X, est une opération ⋅ : M×XX telle que ∈ Mor{e,•}(M, XX) : Exemples:

Actions comme structures algébriques

Pour tous ensembles M, X avec des structures de M-algèbre • : M×MM et ⋅ : M×XX (voyant M comme ensemble de symboles de fonctions), ∀xX,

x(e) = xex = x
x ∈ MorM(M,X) ⇔ ∀a,bM, (ab)⋅x = a⋅(bx)
e = IdM ⇔ (∀aM, ae = a) ⇒ ∀g∈ MorM(M,X), ⋅g(e) = g

où le dernier ⇒ vient par ∀aM, ag(e) = g(ae) = g(a). Donc dans la formule d'équivalence

xX, ∀gXM, g = ⋅x ⇔ (g ∈ MorM(M,X) ∧ g(e) = x)

⇒ exprime les axiomes d'action de M sur X; une telle M-algèbre (X, ⋅) est appelée un M-ensemble.
⇐ est impliqué par le dernier axiome de monoïde (•e = IdM); réciproquement, la variante de ⇐ replaçant (X, ⋅) par (M, •) implique cet axiome :

(IdM ∈ MorM(M,M) ∧ IdM(e) = e) ∴ •e = IdM

Effectivité et éléments libres

Une action de M sur X est dite effective si ⋅ : MXX :

a,bM, (∀xX, a·x = b·x) ⇒ a = b

Une action effective est une manière de voir un monoïde comme un monoïde de transformations (Im ⋅ ∈ Sub{Id,⚬}XX), en utilisant cette action en guise d'évaluateur de fonction. En effet, la condition d'effectivité est similaire à l'axiome (=Fnc), rendant unique la fonction de domaine E donné répondant à toute définition de la forme (∀xE, f(x) =...).
Ainsi, les axiomes d'action reviennent à définir e et • comme jouant avec cette action, les mêmes rôles que ceux de Id et ⚬ avec l'évaluateur de fonction.

Un élément xX d'un M-ensemble (X, ·), est libre si ⋅x : MX. L'existence d'un élément libre implique que l'action est effective:

(∃xX, ∀abM, a·xb·x) ⇒ (∀abM, ∃xX, a·xb·x)
Inj(πx ⚬ ⋅ ) ⇒ Inj ⋅

Pour l'action naturelle d'un monoïde sur lui-même, l'élément neutre est libre. Donc, cette action est effective.

Trajectoires

La trajectoire d'un élément xE par l'action d'un monoïde M sur E, se définit de façon équivalente:

〈{x}〉M = {ax | aM} = Im ⋅xE

En effet, 〈{x}〉M ⊂ Im ⋅x car x = ⋅x(e) ∈ Im ⋅x ∈ SubM E.
La réciproque est évidente.

Soit un monoïde M agissant sur un ensemble X, et soit xX. La trajectoire Y de x par M est stable par M, donc définit un morphisme de monoïde de M vers YY d'image un monoïde de transformations N de Y.
Oubliant M et X, on a un monoïde N avec une action effective sur Y engendrée par x.
Puis si N est commutative (ce qui est le cas si M est commutative) alors x est libre pour l'action de N (donc Y peut se voir comme copie de N). La preuve est facile et laissée en exercice.

Actions à droite

Le concept d'action à droite d'un monoïde M sur un ensemble X, diffère de l'action à gauche par l'échange des côtés: c'est une opération ⋅ : X × MX telle que
Il équivaut à une action à gauche du monoïde opposé, et définit un anti-morphisme de M vers XX.

La commutation de 2 sous-monoïdes de XX ressemble à une formule d'associativité quand on les voit comme agissant par les côtés opposés sur X: aM agissant sur X commute avec bN co-agissant sur X si

xX, (ax)⋅b = a⋅(xb)

Actions de catégories

Generalisant le cas des monoïdes, une action α d'une catégorie C donne pour chaque objet X de C un ensemble Xα, et pour chaque f ∈ Mor(X,Y) une fonction fα : XαYα, préservant éléments neutres et compositions:

CX, (1X)α = IdXα
CX,Y,Z, ∀f∈ Mor(X,Y), ∀g∈ Mor(Y,Z), (gf)α = gαfα

La catégorie C avec l'action α sera dite une catégorie agissante et notée Cα.
Une catégorie agissante Cα est effective si ∀CX,Y, Inj(Mor(X,Y)∋ ffα).
Une catégorie agissante effective est synonyme d'une catégorie concrète. Même si non effective, une catégorie agissante Cα définit une catégorie concrète |Cα| d'objets les ensembles Xα, et d'ensembles de morphismes

Mor(Xα, Yα) = {fα | f∈Mor(X,Y)}

De même, une co-action β d'une categorie C (formant une categorie co-agissante Cβ) donne à chaque objet X de C un ensemble Xβ, et à chaque morphisme f ∈ Mor(X,Y) une fonction fβ : YβXβ, préservant les éléments neutres, et anti-préservant les compositions:

CX, (1X)β = IdXβ
CX,Y,Z, ∀f∈ Mor(X,Y), ∀g∈ Mor(Y,Z), (gf)β = fβgβ

Quelques constructions d'actions

Etant donné une action α de C, une sous-action de α est une action β de C définie par restriction de α à un prédicat unaire préservé :

CX, XβXα
CX,Y, ∀f∈ Mor(X,Y), fα[Xβ] ⊂ Yβfβ = fα|Xβ.

Généralisant l'action naturelle des monoïdes sur eux-mêmes, chaque choix d'un objet M définit une catégorie agissante C(M)

CX, X(M) = Mor(M,X);
f∈Mor(X,Y), f(M) = Hom(M, f) = ∘(f)|Mor(M,X) : X(M)Y(M)

et une catégorie co-agissante C(M)

CX, X(M) = Mor(X,M)
f∈Mor(X,Y), f(M) = Hom(f,M) = ∘(f)|Mor(Y,M) : Y(M)X(M)

Si C est une catégorie concrète alors C(M) est une sous-action de CM (qui à tout X donne XM), et C(M) est une sous-co-action de CM (qui à tout X donne MX).

Les axiomes de monoïde M et de M-ensembles X peuvent se lire comme contenus dans les axiomes de catégories. A savoir, choisissant un objet K d'une catégorie C, soit M = End(K). Alors tout objet E définit un M-ensemble X = K(E) = E(K). Comme les actions par composition de côtés opposés commutent par associativité, les morphismes dans la catégorie co-agissante C(K) préservent cette M-structure :

f ∈Mor(E,F), f(K) ∈ MorM(F(K), E(K))
xX=Mor(E,K), x(K) = ⋅x ∈ MorM(K(K), E(K)).

Trajectoires des uplets dans les catégories concrètes

Pour toute categorie concrète C, les trajectoires dans Cn sont des relations préservées : pour tout uplet fixé t d'éléments d'un objet K, la trajectoire s de t par C, interprétée par CE, sE = {ft | f ∈ Mor(K,E)}, est préservée.

Preuve : ∀g∈Mor(E,F), ∀xsE, ∃f∈Mor(K,E), (x = ftgf ∈ Mor(K,F)) ∴ gx = gftsF.∎

Dans le cas d'une inclusion entre objets EF le sE ainsi défini pourrait différer de la restriction de sF à E mais cela ne survient habituellement pas dans les cas utiles.
Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
3.1. Correspondance de Galois
3.2. Systèmes relationnels et catégories concrètes
3.3. Algèbres
3.4. Morphismes particuliers
3.5. Monoïdes et catégories
3.6. Actions de monoïdes et de catégories
3.7. Inversibilité et groupes
3.8. Propriétés dans les catégories
3.9. Objets initiaux et finaux
3.10. Produits de systèmes
3.11. Eggs and basis
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry

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