3.11. Bases

Oeufs comme monoïdes agissant

Pour tout monoïde (M,e, •), les œufs de la catégorie des M-ensembles sont (M, e) et les autres éléments réguliers.

Inversement, pour tout œuf (M,e) d'une catégorie concrète, voyant M comme un ensemble de symboles de fonction, il existe une unique structure de M-algèbre sur chaque objet X satisfaisant les 2 axiomes d'action et MorM(M,X) ⊂ Mor(M,X). Cette structure • sur M fait de (M,e,•) un monoïde agissant sur tous les objets et ∀CX,Y, Mor(X,Y) ⊂ MorM(X,Y), avec égalité pour X = M.

Cela peut se voir comme une conséquence du lemme de Yoneda, mais voyons une preuve séparée. Preuve. Les hypothèses impliquent ∀x∈X, ⋅⃖x ∈ Mor(M,X) ∧ ⋅⃖x(e) = x.
Comme (M,e) est un œuf, cela définit la structure ⋅ sur X interprétant chaque a∈M comme la trajectoire de (e,a). Ainsi ∀X,Y, Mor(X,Y) ⊂ MorM(X,Y). Donc il satisfait bien les deux axiomes d'action.
Le dernier axiome de monoïde vient de IdM satisfaisant la définition de •⃖e.
On conclut MorM(M,X) ⊂ Mor(M,X) par ∀g∈ MorM(M,X), g = ⋅⃖g(e) ∈ Mor(M,X).∎

Dans une catégorie concrète avec des produits, la définition de ⋅ peut s'écrire

⋅⃗ ∈ Mor(M,XX) ∧ ⋅⃗(e) = IdX.

De toute façon ⋅⃗ ∈ MorM(M,XX).

Ce monoïde (M,e,•) est essentiellement l'opposé du monoïde End(M). En effet

∀x,y∈M, •⃖x ∈ End(M) ∧ •⃖y ∈ End(M) ∧ •⃖x ⚬ •⃖y (e) = •⃖x(y) = y•x.

Pour tout objet M d'une catégorie C, l'action de l'œuf M(M) de C(M) sur chaque objet E(M) coïncide avec la co-action de End(M) sur Mor(M,E) par composition.

Structures algébriques sur les modules

Le rôle d'un œuf comme ensemble de symboles de fonction dans une catégorie concrète, a diverses généralisations donnant des ensembles de symboles d'opération interprétés comme structures algébriques sur des objets.
Pour le cas le plus général, considérons une catégorie concrète U, un morphisme b∈ Mor(V,K), et une classe C de b-modules, formant une catégorie concrète avec les mêmes ensembles de morphismes entre des objets donnés:

∀CE, ∀u∈E(V), ∃!f∈Mor(K,E), f⚬b = u

Considérant V comme ensemble de variables et K comme ensemble de symboles d'opération V-aires, chaque objet E de C, étant un b-module, reçoit une structure de K-algèbre partielle φE de domaine K×E(V) défini pour chaque s∈K comme trajectoire de (b,s):

∀CE, ∀u∈E(V), φ⃖E(u) = ℩{f∈Mor(K,E) | f⚬b = u} = b(E)-1(u)
∴ Mor(K,E) = {φ⃖E(u) | u∈E(V)}
∀CE,F, Mor(E,F) ⊂ MorK(E,F)

Sur un produit de b-modules, cette K-structure est le produit de ceux sur les composants, indépendamment de l'axiome du choix.
Les éléments de Im b jouent le rôle de symboles de projection (∀x∈V, πx = b(x)), se comportant comme tels dans C.

Ayant exprimé Mor(K,E) à partir de φE, il coïncidera plus précisément avec MorK(K,E), une fois donné à K une K-structure appropriée. Un candidat naturel minimal est la trajectoire de (b,s), qui dépend de End(K); mais le choix de End(K) (satisfaisant les axiomes de catégorie avec Mor(K,E) fixe) n'aura pas d'importance.
En effet, le plus petit End(K) = {IdK} donne à K sa plus petite K-structure définie par trajectoires {((s,b),s) | s∈K}. Cela donne le plus grand candidat MorK(K,E), égal à Mor(K,E); mais l'inclusion inverse Mor(K,E) ⊂ MorK(K,E) est une autre exigence naturelle (préservation de la K-structure). L'égalité est donc nécessaire.

Pour que φE soit algébrique, on supposera que V est sans structure, ce qui signifie ∀E, E(V) = EV. Pour qu'il en soit ainsi avec les K-morphismes (MorK(V,E) = EV),

Avec un V sans structure, un b non-injectif ne laisserait que des singletons et ∅ comme objets possibles dans C. Excluant ce cas, on prend généralement b = IdV : V↪K, de sorte que f⚬b = f|V.

Bases

De ce qui précède avec des choix fixes de U, C et un V sans structure, faisons varier b et K : soit B la classe des (K,b) où K est dans U et b∈KV, tels que tous les objets de C sont des b-modules; de manière équivalente, ce sont les éléments dans UV ayant un morphisme unique vers n'importe quel élément dans CV.
Si de plus K est dans C alors b est appelé une base de K dans C. De manière équivalente, (K,b) est un œuf de CV. Alors c'est un objet final de B.

Pour tout objet K dans C avec une base choisie b, et tout symbole possible s d'opération V-aire (préservée) dans les objets de C, l'élément s' = sK(b) ∈ K est l'unique élément de K dont le rôle d'opération dans tous les objets de C (trajectoire de (b,s')) coïncide avec s. En particulier pour tout (X,a) dans B et tout s∈X, ce s' est l'image de s par l'unique morphisme de (X,a) vers (K,b).

Toute opération s d'arité inférieure a également une copie s' = sK(x) pour toute substitution injective de variables x : Vns ↪ V. Un tel s' joue le même rôle que s avec des variables supplémentaires inutilisées (∀CE, ∀u∈EV, s'E(u) = sE(u⚬x)), sauf pour l'incapacité des langages sans constantes à remplacer le rôle d'un symbole de constante pour exclure ∅ (l'algèbre vide) de la catégorie considérée.

Coproduits

Comme pour les produits en inversant les côtés, un coproduit dans C d'une famille (Ei)i∈I d'objets de C, notée

(K, j) : C∐i∈I Ei

est un œuf (K, j) du produit des actions C(Ei), donc un objet K avec j ∈ ∏i∈I Mor(Ei, K) rendant tout f ↦ (f∘ji)i∈I bijectif :

∀CF, ⊓i∈I ji (F) : K(F) ↔ ∏i∈I Ei (F)

Les coproduits dans C de la famille vide sont les objets initiaux de C.

Alors que les définitions générales du produit et du coproduit ne déterminent que leurs classes d'isomorphisme, nous parlerons généralement du produit et du coproduit (au singulier) d'une famille d'objets dans une catégorie explicitement décrite, en référence à la construction explicite la plus naturelle d'un représentant spécifique de chacune de ces classes, exprimable dans la catégorie donnée.

La catégorie des ensembles a des coproduits donnés par l'union disjointe avec ses injections naturelles (∏i∈I FEi ⥬ F∐i∈I Ei).
Dans les catégories de tous les systèmes relationnels de langage L fixe, le coproduit est donné par l'union disjointe, de structure ⋃i∈I Lji[Ei].

Dans d'autres catégories concrètes, les ensembles sous-jacents des coproduits peuvent différer des unions disjointes, plus souvent que ceux des produits diffèrent des produits d'ensembles. L'injectivité de chaque ji demeure souvent, mais faillit déjà dans les catégories d'algèbres partielles (4.2).

Bases et coproduits

Pour tous objets M, K de toute catégorie C, et tout b ∈ Mor(M,K)V,

(b est une base de K(M) dans C(M)) ⇔ (K, b) : C∐x∈V M.

De même dans une catégorie concrète avec un œuf (M, e) : un coproduit V-aire constant (K,j) : C∐x∈V M est un objet K de base b = ⊓j(e). De manière équivalente, j = (⋅⃖b(x))x∈V où ⋅ est l'action de (M, e).
Ces jx sont des sections, l'ensemble des inverses à gauche de jx ayant une bijection naturelle avec {u∈MV | u(x) = e} (alors que les composantes de j dans les coproduits non constants ne sont pas toujours des sections).

Les produits et coproduits ont des propriétés d'associativité comme vu d'abord avec le produit d'ensembles : tout produit de produits d'objets, est naturellement isomorphe à un produit simple indexé par l'union disjointe des ensembles d'indexation ; et de même pour les coproduits.
En particulier, un coproduit (K, j) : C∐i∈I Ei d'objets Ei de bases respectives bi : Vi → Ei, est un objet ayant une base indexée par l'union disjointe ∐i∈I Vi de ces bases.

Systèmes équationnels

Précisons ce qui précède en prenant un langage algébrique L et une catégorie U de L-systèmes avec Mor = MorL.
Appelons L-système équationnel tout L-système K avec un b ∈ KV, tels que 〈Im b〉L = K. Cela implique
    1. Tout sous-ensemble L-stable d'un L-système est b-stable
    2. Donc, tout sous-ensemble L-stable d'un b-module est un b-module.
    3. Pour toute L-algèbre partielle E, Inj b(E) à savoir ∀u∈EV, !g∈MorL(K,E), g⚬b = u.
    Preuve de 3. Par stabilité des égaliseurs, ∀u∈EV, ∀g,h∈MorL(K,E),
    g⚬b = u = h⚬b ⇒ Im b ⊂ {x∈K | g(x) = h(x)} ∈ SubLK ⇒ g = h.∎

    Ainsi, les systèmes équationnels visent généralement à distinguer parmi les algèbres (ou algèbres partielles) E, celles pour lesquelles l'injection b(E) est également surjective. Souvent, L n'a pas de symbole de projection, obligeant la L-structure choisie de V à être vide.

    Exemples Au-delà des systèmes équationnels, le concept de module par certains b ∈ MorL(X,Y) où 〈Im b〉L = Y mais X a une structure non vide, est une expression d'axiomes utilisant ⇒, comme la simplifiabilité à gauche (d'une constante, ou de tous les éléments). La compréhension systématique de ces faits repose sur la formalisation des L-termes comme L-systèmes, qui sera présentée en 4.1 et 4.3.
    Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
    1. Premiers fondements des mathématiques
    2. Théorie des ensembles
    3. Algèbre
    4. Arithmetic and first-order foundations
    5. Second-order foundations
    6. Foundations of Geometry

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