Inversement, pour tout œuf (M,e) d'une catégorie concrète, voyant M
comme un ensemble de symboles de fonction, il existe une unique structure de M-algèbre
sur chaque objet X satisfaisant les 2 axiomes d'action et
MorM(M,X) ⊂ Mor(M,X).
Cette structure • sur M fait de (M,e,•) un monoïde agissant sur tous les
objets et
Dans une catégorie concrète avec des produits, la définition de ⋅ peut s'écrire
⋅⃗ ∈ Mor(M,XX) ∧ ⋅⃗(e) = IdX.
De toute façon ⋅⃗ ∈ MorM(M,XX).Ce monoïde (M,e,•) est essentiellement l'opposé du monoïde End(M). En effet
∀x,y∈M, •⃖x ∈ End(M) ∧ •⃖y ∈ End(M) ∧ •⃖x ⚬ •⃖y (e) = •⃖x(y) = y•x.
Pour tout objet M d'une catégorie C, l'action de l'œuf M(M) de C(M) sur chaque objet E(M) coïncide avec la co-action de End(M) sur Mor(M,E) par composition.∀CE, ∀u∈E(V), ∃!f∈Mor(K,E), f⚬b = u
Considérant V comme ensemble de variables et K comme ensemble de symboles d'opération V-aires, chaque objet E de C, étant un b-module, reçoit une structure de K-algèbre partielle φE de domaine K×E(V) défini pour chaque s∈K comme trajectoire de (b,s):∀CE, ∀u∈E(V),
φ⃖E(u) = ℩{f∈Mor(K,E) |
f⚬b = u} = b(E)-1(u)
∴ Mor(K,E) = {φ⃖E(u) |
u∈E(V)}
∀CE,F, Mor(E,F) ⊂
MorK(E,F)
Ayant exprimé Mor(K,E) à partir de φE, il coïncidera plus
précisément avec MorK(K,E), une fois donné à K
une K-structure appropriée. Un candidat naturel minimal est la trajectoire de (b,s),
qui dépend de End(K); mais le choix de End(K) (satisfaisant les axiomes de
catégorie avec Mor(K,E) fixe) n'aura pas d'importance.
En effet, le plus petit End(K) =
{IdK} donne à K sa plus petite K-structure définie par
trajectoires {((s,b),s) | s∈K}. Cela donne le plus grand
candidat MorK(K,E), égal à Mor(K,E); mais
l'inclusion inverse Mor(K,E) ⊂ MorK(K,E) est une
autre exigence naturelle (préservation de la K-structure). L'égalité est donc nécessaire.
Pour que φE soit algébrique, on supposera que V est sans structure, ce qui signifie ∀E, E(V) = EV. Pour qu'il en soit ainsi avec les K-morphismes (MorK(V,E) = EV),
Pour tout objet K dans C avec une base choisie b, et tout symbole possible s d'opération V-aire (préservée) dans les objets de C, l'élément s' = sK(b) ∈ K est l'unique élément de K dont le rôle d'opération dans tous les objets de C (trajectoire de (b,s')) coïncide avec s. En particulier pour tout (X,a) dans B et tout s∈X, ce s' est l'image de s par l'unique morphisme de (X,a) vers (K,b).
Toute opération s d'arité inférieure a également une copie s' = sK(x) pour toute substitution injective de variables x : Vns ↪ V. Un tel s' joue le même rôle que s avec des variables supplémentaires inutilisées (∀CE, ∀u∈EV, s'E(u) = sE(u⚬x)), sauf pour l'incapacité des langages sans constantes à remplacer le rôle d'un symbole de constante pour exclure ∅ (l'algèbre vide) de la catégorie considérée.
(K, j) : C∐i∈I Ei
est un œuf (K, j) du produit des actions C(Ei), donc un objet K avec j ∈ ∏i∈I Mor(Ei, K) rendant tout∀CF, ⊓i∈I ji (F) : K(F) ↔ ∏i∈I Ei (F)
Les coproduits dans C de la famille vide sont les objets initiaux de C.Alors que les définitions générales du produit et du coproduit ne déterminent que leurs classes d'isomorphisme, nous parlerons généralement du produit et du coproduit (au singulier) d'une famille d'objets dans une catégorie explicitement décrite, en référence à la construction explicite la plus naturelle d'un représentant spécifique de chacune de ces classes, exprimable dans la catégorie donnée.
La catégorie des ensembles a des coproduits donnés par
l'union disjointe avec ses
injections naturelles
(
Dans les catégories de tous les systèmes relationnels de langage L fixe, le coproduit
est donné par l'union disjointe, de structure
Dans d'autres catégories concrètes, les ensembles sous-jacents des coproduits peuvent différer des unions disjointes, plus souvent que ceux des produits diffèrent des produits d'ensembles. L'injectivité de chaque ji demeure souvent, mais faillit déjà dans les catégories d'algèbres partielles (4.2).
Pour tous objets M, K de toute catégorie C, et tout b ∈ Mor(M,K)V,
(b est une base de K(M) dans C(M)) ⇔ (K, b) : C∐x∈V M.
De même dans une catégorie concrète avec un œuf (M, e) : un coproduit V-aire constant (K,j) : C∐x∈V M est un objet K de base b = ⊓j(e). De manière équivalente, j = (⋅⃖b(x))x∈V où ⋅ est l'action de (M, e).Les produits et coproduits ont des propriétés d'associativité comme
vu d'abord avec le produit d'ensembles
: tout produit de produits d'objets, est naturellement isomorphe à un produit simple indexé
par l'union disjointe des ensembles d'indexation ; et de même pour les coproduits.
En particulier, un coproduit (K, j) : C∐i∈I
Ei d'objets Ei de bases respectives bi
: Vi → Ei, est un objet ayant une base indexée par l'union
disjointe ∐i∈I Vi de ces bases.
Ainsi, les systèmes équationnels peuvent servir à distinguer parmi les algèbres (ou algèbres partielles) E, celles pour lesquelles l'injection b(E) est également surjective. Souvent, L n'a pas de symbole de projection, obligeant la L-structure choisie de V à être vide.
Exemples