3.3. Morphismes particuliers

Introduisons diverses qualifications possibles pour les morphismes entre systèmes relationnels.

Systèmes quotient

Pour tout langage relationnel L, tout L-système (E,E) et toute relation d'équivalence R sur E, l'ensemble quotient E/R a une L-structure naturelle E/R définie par RL[E].
C'est la plus petite L-structure sur E/R telle que R∈Mor(E,E/R). En effet pour tout L-système (F,F) et tout f : EF on a f∈Mor(E,F) ⇔ fL[E]⊂F.

Etant donné un langage algébrique L, une relation d'équivalence R sur E est dite compatible avec une L'-structure E si la structure quotient est un graphe fonctionnel. Si E est une structure d'algèbre alors Dom(E/R) = L⋆(E/R) de sorte que la condition de compatibilité signifie que le quotient est aussi une algèbre.
Pour tous L'-systèmes (E,E) et (F,F), tous f : EF, BF et A= f*(B) on a
(f∈Mor(E,F) ∧ B∈SubLF) ⇒ A∈SubLE
(FfL[E] ∧ A∈SubLE) ⇒ B∈SubLF
fL[E]=F ⇒ (B∈SubLFA∈SubLE)

Plongements et isomorphismes

Forte préservation. Un symbole de relation r interprété comme rE dans E et rF dans F est fortement préservé par une fonction fFE, si r et ¬r sont tous deux préservés :

xEnr, xrEfxrF.

Plongements. Un f ∈MorL(E,F) est appelé un L-plongement s'il préserve fortement toutes les structures : E = fL*(F).
L'injectivité est habituellement ajoutée à la définition du concept de plongement, signifiant la forte préservation de l'égalité. On peut se ramener à ce cas en remplaçant l'égalité dans le concept d'injectivité, par une relation d'équivalence adéquate, ou en remplaçant les systèmes par leur quotient par cette relation, où les surjections canoniques seraient des plongements non-injectifs.

Isomorphismes. Entre objets E and F d'une catégorie concrète, un isomorphisme est un morphisme bijectif (f ∈Mor(E,F) ∧ f : EF) dont l'inverse est un morphisme (f -1∈Mor(F,E)). Dans le cas de systèmes relationnels, les isomophismes sont les plongements bijectifs; les plongements injectifs sont des isomorphismes vers leurs images.

Deux objets E, F d'une categorie sont dits isomorphes (l'un à l'autre) s'il existe un isomorphisme entre eux. C'est un prédicat d'équivalence, se comportant comme une relation d'équivalence sur la classe des objets de cette categorie.
La classe d'isomorphisme d'un objet dans une catégorie, est la classe de tous les objets qui lui sont isomorphes. Alors une classe d'isomorphisme d'objets dans une catégorie, est une classe d'objets qui est la classe d'isomorphisme d'un objet qui s'y trouve (indépendamment du choix).

Plongements d'algèbres

Tout morphisme injectif f entre algèbres est un plongement:

∀(s,x,y)∈L'E, f(y) = sF(fx) = f(sE(x)) ⇒ y=sE(x).

Tout plongement entre algèbres f ∈ MorL(E,F), est injectif dès que Im φE = E ou un sE est injectif pour un de ses arguments.
Les morphismes bijectifs d'algèbres sont des isomorphismes. Cela se déduit du fait que ce sont des plongements, ou par

fL-1 = (f -1)L ∴ φEfL-1 = f -1f০φEfL-1 = f -1০φFfLfL-1 = f -1০φF.

Plongements élémentaires

Les L-plongements préservent encore fortement les structures définies par des symboles de L et les symboles logiques ∧,∨,0,1,¬, et aussi = dans le cas de plongements injectifs.
Donc, ils préservent aussi les structures invariantes dont la formule peut utiliser les symboles de L et ∧,∨,¬,0,1,∃ mais toutes les occurences de ∃ précèdent celles de ¬.

Puis le plein usage de la logique du premier ordre vient en retirant cette restriction sur l'ordre d'utilisation des symboles logiques: un L-plongement élémentaire est un morphisme qui préserve (fortement) toutes les structures invariantes (définies par des formules du premier ordre de langage L).
Un sous-système élémentaire d'un système E est un FE interprétant L par restriction, tel que IdF est un plongement élémentaire de F dans E, i.e. toute formula à paramètres dans F a la même valeur Booléenne, que toutes ses variables liées parcourent F ou toutes parcourent E.

Isomorphisme ⇒ Plongement élémentaire ⇒ Plongement ⇒ Morphisme injectif

Equivalence élémentaire. Différents systèmes sont dits élémentairement équivalents, s'ils satisfont toutes les mêmes formules closes (du premier ordre).

L'existence d'un plongement élémentaire entre systèmes implique qu'ils sont élémentairement équivalents.

La pratique la plus courante des mathématiques ignore la diversité des systèmes élémentairement équivalents mais non-isomorphes, ainsi que les plongements élémentaires non-surjectifs. Cependant, ils existent et jouent un rôle spécial dans les fondements des mathématiques, comme on verra avec le paradoxe de Skolem et les modèles non-standard de l'arithmétique.

Endomorphismes, automorphismes.

Un endomorphisme d'un objet E dans une catégorie, est un élément de Mor(E,E) = End(E).

Pour tout ensemble E, on a une correspondance de Galois (Sub, End) entre les ensembles des parties de EE et ℘(E):

GEE, ∀F⊂℘(E), G ⊂ EndFE ⇔ (∀fG, ∀AF, f[A] ⊂ A) ⇔ F ⊂ SubGE.

Un automorphisme d'un objet E est un isomorphisme de E vers lui-même:

Automorphisme ⇔ (Endomorphisme ∧ Isomorphisme)

Un endomorphisme f∈ End(E) peut être un plongement mais pas un automorphisme : seulement un isomorphisme vers une partie stricte de E. Mais tout endomorphisme qui est un plongement élémentaire invariant est un automorphisme:
Im f est aussi invariant (défini par ∃yE, f(y)=x)
xE, x∈Im ff(x)∈ Im f
Im f = E. ∎

Set theory and foundations of mathematics
1.First foundations of mathematics
2. Set theory (continued)
3. Algebra 1
3.1. Relational systems and concrete categories
3.2. Algebras
3.3. Special morphisms
3.4. Monoids
3.5. Actions of monoids
3.6. Invertibility and groups
3.7. Categories
3.8. Algebraic terms and term algebras
3.9. Integers and recursion
3.10. Arithmetic with addition
4. Model Theory