3.2. Systèmes relationnels et catégories concrètes

Formalisons le concept de système, précisément ceux à un seul type par mesure de simplicité. Pour tout entier naturel n∈ℕ et tout ensemble E, notons On note alors l'ensemble de toutes les operations OpE = ⋃n∈ℕ OpE(n), et celui de toutes les relations RelE = ∐n∈ℕ ℘(En).

Langages

Un langage L est un ensemble de symboles, avec la donnée de l'arité voulue ns∈ℕ pour chaque sL. Pour tout ensemble E, soit

LE = ∐sL Ens

Alors ∀AE, ∀(s,x)∈LE, (s,x) ∈ LA ⇔ Im xA.

Un langage relationnel est un langage L de symboles de relation, où chaque sL vise à être interprété dans tout L-système E comme une relation ns-aire. Ils forment une famille appelée une L-structure sur E, élément de

sL ℘(Ens) ⥬ ℘(LE).

Pour toute fonction f : EF, soit Lf : LELF défini par (s,x) ↦ (s,fx). Alors

LIdE = IdLE
fncf,g, Im f ⊂ Dom gL(gf) = LgLf
Inj f ⇒ Inj Lf
Im Lf = LIm f

La dernière formule vient par choix fini appliqué à (AC1)⇒(AC7), les arités des symboles étant finies (sinon cela vaut encore pour les f injectives, ou avec AC).
On omettra les parenthèses dans les notations des images directes et inverses suivant Lf* = (Lf)*. Ainsi,

AE, Lf[LA] = L(f[A])
BF, Lf*(LB) = L(f*(B))

Systèmes relationnels

Un système relationnel de langage L, ou L-système, est la donnée (E,E) d'un ensemble E et d'une L-structure ELE.

Le cas d'un langage algébrique, dont les symboles visent à représenter des opérations, sera étudié en 3.3.

Le plus souvent, on n'utilisera qu'une L-structure sur chaque ensemble, de sorte que E peut être vu comme implicite, déterminé par E. Précisément, imaginons donnée une classe de L-systèmes où chaque E est l'intersection de LE avec une classe fixe de (s,x), notée comme prédicat s(x) pour sa currification naturelle: chaque symbole sL s'interprète dans chaque système E comme la relation ns-aire sE en quelque sorte indépendante de E,

sE = {xEns | s(x)} = E(s)
E = {(s,x)∈LE | s(x)} = ∐sL sE.

Morphismes

Entre deux L-systèmes E,F, on définit l'ensemble MorL(E,F) ⊂ FE des L-morphismes de E vers F par ∀fFE,

f ∈ MorL(E,F) ⇔ ∀(s,x)∈E, (s,fx)∈F
⇔ (∀sL,∀xEns, s(x) ⇒ s(fx))
Lf[E] ⊂ FE ⊂ (Lf)*F.

Catégories concrètes

Le concept de catégorie concrète est ce qui reste d'une classe de systèmes et leurs morphismes, oubliant quelles sont les structures que les morphismes préservent (cette liste de structures pouvant s'étendre sans affecter les ensembles de morphismes). Formalisons les catégories concrètes comme constituées des données suivantes (les rendant légèrement "plus concrètes" que le concept officiel de catégorie concrète d'autres auteurs)
satisfaisant les axiomes suivants:
La dernière condition se vérifie facilement pour les L-morphismes : ∀(s,x)∈E, (s,fx)∈F ∴ (s,gfx)∈G.
L'exemple le plus simple est la catégorie des ensembles, où tous les ensembles sont des objets, et Mor(E,F) = FE.

Une catégorie est petite si sa classe d'objets est un ensemble.

Le concept officiel de catégorie concrète diffère principalement de cela en permettant à différents objets d'avoir le même ensemble de base: dans le cas des systèmes relationnels, ces objets sont des systèmes constitués de différents choix de structures sur le même ensemble. La version ci-dessus du concept peut simuler cela en prenant des copies disjointes d'un ensemble donné pour toutes les structures utilisées dessus; mais cette construction ne correspond pas à l'utilisation de sous-ensembles comme objets à part entière. Il reste inutile spécifier une formalisation cohérente fixe tant qu'on jouera pas sur l'ambiguïté qui pourrait conduire à de fausses conclusions. Généralement, lorsqu'un système est défini et déclaré objet d'une catégorie, on a seulement besoin qu'une copie de ce système soit un objet.
Par exemple, on parlera de la catégorie de tous les L-systèmes, qui restitue la catégorie des ensembles lorsque L est vide.

Préservation de structures définissables

Un symbole relationnel s avec la donnée d'une interprétation sEEns dans chaque objet E d'une catégorie concrète donnée, est dit préservé si tous les morphismes de la catégorie sont aussi des morphismes pour ce symbole : ∀f∈Mor(E,F), ∀xsE, fxsF. Par définition, chaque symbole d'un langage L est préservé dans toute catégorie de L-systèmes.
Dans toute catégorie de L-systèmes, ou toute catégorie concrète avec une liste L de symboles interprétés préservés, toute autre structure invariante définie par une formule n'utilise que les symboles de L et les symboles logiques ∧,∨,0,1,=,∃ est préservée.
En effet, pour tout L-morphisme f ∈ MorL(E,F), En particulier: Cependant les morphismes peuvent ne plus préserver les structures définies à l'aide d'autres symboles (¬,⇒,∀).

Les cas de 0, 1, ∨ et ∧ ne sont que des cas particuliers (nullaires et binaires) de ceci:

Catégories de systèmes typés

Ayant introduit la notion de morphisme dans le cas de systèmes avec un seul type, on peut l'étendre à des systèmes de plusieurs types. Entre les systèmes E,F avec une liste commune τ de types (et des interprétations d'une liste commune de symboles de structure), les morphismes peuvent se concevoir des 2 manière équivalentes suivantes, en plus d'avoir à conserver toutes les structures:
Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
3.1. Correspondance de Galois
3.2. Systèmes relationnels et catégories concrètes
3.3. Algèbres
3.4. Morphismes particuliers
3.5. Monoïdes et catégories
3.6. Actions de monoides et de catégories
3.7. Invertibility and groups
3.8. Properties in categories
3.9. Initial and final objects
3.10. Products of systems
3.11. Eggs and basis
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry

Other languages:
EN : 3.2. Relational systems and concrete categories