3.8. Propriétés dans les catégories

Monomorphismes, épimorphismes

Les concepts de simplifiabilité se généralisent à toute catégorie C comme suit.

Un morphisme f∈Mor(E,F) est dit monique, ou un monomorphisme, si tous les f(X) sont injectifs:

∀CX, ∀g,h∈Mor(X,E), f∘g = f∘h ⇒ g = h.

Dans la catégorie des ensembles, les monomorphismes sont les injections.

De façon duale, un morphisme f∈Mor(E,F) est un épimorphisme, si tous les f(X) sont injectifs :

∀CX, ∀g,h∈Mor(F,X), f;g = f;h ⇒ g = h
∀CX, f(X) : X(F) ↪ X(E)
f(C) : C(F) ↪ C(E).

Comme les actions par composition sur des côtés opposés commutent, un épimorphisme f définit un méta-plongement entre les catégories agissantes C(F) et C(E)), vues comme Mor-algèbres C-typées. En particulier, f est un élément libre du End(F)-ensemble F(E).
Dans la catégorie des ensembles, les épimorphismes sont les surjections.

Sections, rétractions

Les concepts d'inversibilité se généralisent à toute catégorie C comme suit. Pour tout f∈Mor(E,F) et g∈Mor(F,E), la condition f;g = 1E se lit: "f est une section de g", ou "g est une rétraction de f".
Ainsi un g∈Mor(F,E) est appelé une rétraction (ou rétraction sur E si la catégorie est concrète), si, de façon équivalente
  1. ∃f∈Mor(E,F), f;g = 1E.
  2. Pour toute action α de C, gα est surjective (Im gα = Eα).
  3. g(E) est surjective, à savoir Im g(E) = End(E).
Preuve.
1. ⇒ 2. : ∀x∈Eα, x = gα(fα(x)), à savoir les fonctions inversibles à droite sont surjectives.
2. ⇒ 3. évident;
3. ⇒ 1. comme 1E ∈ Im g(E).∎

De même par dualité, f∈Mor(E,F) est une section (ou section dans F si la catégorie est concrète) si, de façon équivalente

  1. ∃g∈Mor(F,E), f;g = 1E.
  2. Pour toute co-action β de C, fβ est surjective (Im fβ = Eβ).
  3. f(E) est surjective, à savoir Im f(E) = End(E).

Comme les fonctions inversibles à gauche sont injectives,

Finalement, les qualités des morphismes dans les catégories concrètes sont ordonnées par

Section ⇒ Morphisme injectif ⇒ Monomorphisme
Rétraction ⇒ Morphisme surjectif ⇒ Epimorphisme

Modules

Pour tout b∈Mor(X,Y), un objet M sera appelé un b-module si b(M) : Y(M) ↔ X(M).

Si b est un isomorphisme alors tous les objets sont des b-modules, i.e. b est une section épique, et

∀CX, (b(M)-1 = b-1(M)) ∧ (b(M) -1 = b-1 (M)).

Réciproquement, si b est une section et b(Y) est injective alors b est un isomorphisme.
Preuve : ∃g∈Mor(Y,X), b;g = 1X ∴ b;g;b = 1X;b = b;1Y ∴ g;b = 1Y.∎

Donc:

Dire que Y est un b-module, signifie que b est un élément régulier du End(Y)-ensemble X(Y). Or que b(Y) soit un End(Y)-isomorphisme de Y(Y) vers X(Y), n'assure pas que son inverse vienne comme g(Y) pour un g∈Mor(Y,X), notamment un inverse de b si c'était un isomorphisme dans C.

Exemples de modules

Le concept de b-module sera souvent utilisé lorsque b est épique, distinguant donc les M tels que l'injection b(M) est aussi surjective (alors que les objets ne sont pas tous des b-modules, b n'étant pas une section, donc notamment X n'est pas un b-module). En particulier pour tout langage algébrique L, si 〈Im b〉L = Y alors b est épique dans toute catégorie inclue dans celle des L-algèbres partielles.

Une sorte importante d'exemples est lorsque b est bijective (et donc épique), dans la catégorie des systèmes relationnels pour un langage donné L. Pour simplifier, posons b comme l'identité IdX vers Y avec une structure plus grande Y = X ∪ Z.

Par exemple, étant donné un symbole binaire r∈L, les propriétés de réflexivité, de symétrie et de transitivité de l'interprétation de r dans un système M, sont respectivement exprimables comme M étant un Re-module, un Sy-module et un Tr-module, où les morphismes Re, Sy et Tr sont respectivement définis par

De même, l'antisymétrie est exprimable comme étant un module par un certain morphisme non injectif.

Ainsi formalisé, ce cas général d'un b bijectif peut être vu comme donnant à Z le rôle d'un ensemble de symboles algébriques X-aires L-typés, qui pour tout ensemble M donne à LM la Z-structure {((s,Lu|X),Lu(s)) | (s,u) ∈ Z×MX}, de sorte que

(M, M) est un b-module ⇔ M ∈ SubZ LM.

D'autres exemples seront donnés en 3.11.

Sous-objets

Dans notre concept de catégorie concrète admettant des inclusions entre objets, on doit écrire HomY(f, X) comme f peut ne pas suffire à déterminer Y. De là, d'autres concepts ont aussi besoin de ce paramètre: Dans toute catégorie concrète, tout morphisme injectif est monique, et tout morphisme d'image F est F-épique. Les réciproques sont souvent valables dans les catégories utiles, mais des exceptions existent.

Examinons le concept d'objet S inclus dans un objet E d'une catégorie concrète, pour le rendre ré-exprimable en tant qu'objet séparé X avec un isomorphisme à S (par lequel des références à des ensembles cibles de morphismes pourraient être omises). Ce concept a 2 variantes.

La version "faible" est le concept de sous-objet (selon la terminologie standard), applicable à toute catégorie abstraite. Elle revient à n'exiger du morphisme d'inclusion du sous-objet S dans E (habituellement IdS : S ↪ E dans les catégories concrètes) qu'elle soit monique (et même pas nécessairement injective).

A savoir, un sous-objet de E est formalisé par une présentation sous la forme (X,u) où u ∈ Mor(X,E) est monique (description indirecte de Im u vu comme isomorphe à X, définissant donc les morphismes vers et depuis Im u comme copiés de ceux de X, mais ce sens direct est perdu dans les catégories abstraites).
La classe des présentations (X,u) des sous-objets d'un objet E, est méta-pré-ordonnée par

(X, u) ⊆ (Y, v) ⇔ ∃ϕ∈Mor(X,Y), u = v∘ϕ

tandis que (!ϕ∈Mor(X,Y), u = v∘ϕ) car v est monique.
Alors, ϕ est aussi monique car u l'est :

∀g,h∈Mor(Z,X), ϕ∘g = ϕ∘h ⇒ u∘g = v∘ϕ∘g = v∘ϕ∘h = u∘h ⇒ g = h.

On dira que (X, u) et (Y, v) présentent le même sous-objet s'ils sont équivalents pour ce méta-pré-ordre :

(X, u) ≡ (Y, v) ⇔ ((X, u) ⊆ (Y, v) ∧ (Y, v) ⊆ (X, u)) ⇔ (∃ϕ∈Iso(X,Y) | u = v∘ϕ).

Entre sous-objets d'un objet donné, l'ordre ⊆/≡ est appelé inclusion.

La version "forte" nécessite que u soit un plongement. Ce concept de plongement, introduit intialement pour les systèmes relationnels en 3.4, sera généralisé à toute catégorie concrète en 3.9 (alors que les classes exprimables de monomorphismes dans des catégories abstraites qui peuvent jouer un rôle similaire ne sont pas équivalentes).

Théorème de representation

Théorème. Toute petite catégorie est isomorphe à celle formée d'une certaine famille d'algèbres typées avec tous les morphismes entre elles.

Sa construction précise forme la version petites catégories du plongement de Yoneda (qui l'exprime au niveau méta : toute catégorie est isomorphe à une catégorie de méta-algèbres typées).

La preuve répète en substance les formules des actions comme structures algébriques, transposées. Partant de la petite catégorie donnée, une famille d'algèbres typées est formée comme suit.

Chaque u ∈ Mor(E,F) agit par ψ(u) = ∐t∈T jt ⚬ u(t) : ∐t∈T E(t) → ∐t∈TF(t).
Montrons que ψ : Mor(E,F) ↔ MorL(E,F).
Im ψ ⊂ MorL(E,F) par associativité (ψ commute avec l'action de L).
L'existence d'un isomorphisme k ∈ E(t) assure que ψ est injective (comme k est épique) et MorL(E,F) ⊂ Im ψ:
∀g∈MorL(E,F), (∀x∈E, g(x) = g(k∘k-1∘x) = g(k)∘k-1∘x) ∴ g = ψ(g(k)∘k-1).∎

En particulier,

Cependant, les catégories ne sont pas toutes concrètes.

Notons la symétrie des rôles (appelée dualité) entre les côtés, qui non seulement change l'orientation des morphismes entre deux objets, mais peut également mener à reformuler en quelque sorte une catégorie en une forme particulière de théorie mathématique (considérant donc la théorie des catégories comme une version faible de la théorie de la théorie, malgré les différences contextuelles) : La faiblesse de cette sorte de « théorie » est contrebalancée par le développement de concepts à un niveau méta au-dessus. Cette symétrie mène à divers éclairages:
Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry

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EN : 3.8. Properties in categories