3.8. Propriétés dans les catégories
Monomorphismes, épimorphismes
Les concepts de simplifiabilité se généralisent à toute catégorie C comme suit.
Un morphisme f∈Mor(E,F) est dit monique, ou un
monomorphisme, si tous les f(X) sont injectifs:
∀CX, ∀g,h∈Mor(X,E),
f∘g = f∘h ⇒ g = h.
Dans la catégorie des ensembles, les
monomorphismes sont les injections.
De façon duale, un morphisme f∈Mor(E,F) est dit épique,
ou un épimorphisme, si tous les f(X) sont injectifs :
∀CX, ∀g,h∈Mor(F,X),
g∘f = h∘f ⇒ g = h
∀CX, f(X) :
F(X) ↪ E(X)
f(C) : C(F) ↪ C(E).
Comme les actions par composition sur des côtés opposés commutent, un épimorphisme
f définit un méta-plongement entre les catégories agissantes C(F)
et C(E)), vues comme Mor-algèbres C-typées.
En particulier, f est un élément libre du End(F)-ensemble F(E).
Dans la catégorie des ensembles, les épimorphismes sont les surjections.
Sections, rétractions
Les concepts d'inversibilité se généralisent à toute catégorie C comme suit. Pour tout
f∈Mor(E,F) et g∈Mor(F,E), la condition
f;g = 1E se lit: "f est une section de g", ou
"g est une rétraction de f".
Ainsi un g∈Mor(F,E) est appelé une rétraction (ou rétraction sur E
si la catégorie est concrète), si, de façon équivalente
- ∃f∈Mor(E,F), f;g = 1E.
- Pour toute action α de C, gα est surjective
(Im gα = Eα).
- g(E) est surjective, à savoir
Im g(E) = End(E).
Preuve.
1. ⇒ 2. : ∀x∈Eα,
x = gα(fα(x)), à savoir
les fonctions inversibles à
droite sont surjectives.
2. ⇒ 3. évident;
3. ⇒ 1. comme 1E ∈ Im g(E).∎
De même par dualité, f∈Mor(E,F) est une section
(ou section dans F si la catégorie est concrète) si, de façon équivalente
- ∃g∈Mor(F,E), f;g = 1E.
- Pour toute co-action β de C, fβ est surjective
(Im fβ = Eβ).
- f(E) est surjective, à savoir
Im f(E) = End(E).
Comme les fonctions inversibles
à gauche sont injectives,
- Toutes les actions des sections sont injectives; donc, toutes les sections sont moniques;
- Toutes les co-actions de rétractions sont injectives; donc, toutes les rétractations sont épiques.
Finalement, les qualités des morphismes dans les catégories concrètes sont
ordonnées par
Section ⇒ Morphisme injectif ⇒ Monomorphisme
Rétraction ⇒ Morphisme surjectif ⇒ Epimorphisme
Modules
Pour tout b∈Mor(X,Y), un objet M sera appelé un b-module
si b(M) : Y(M) ↔ X(M).
Si b est un isomorphisme alors tous les objets sont des b-modules, i.e. b
est une section épique, et
∀CX, (b(M)-1
= b-1(M)) ∧ (b(M) -1 =
b-1 (M)).
Réciproquement, si b est une section et b(Y) est injective alors
b est un isomorphisme.
Preuve : ∃g∈Mor(Y,X), b;g = 1X ∴
b;g;b = 1X;b = b;1Y
∴ g;b = 1Y.∎
Donc:
- Si X,Y sont des b-modules alors tous les objets sont aussi des
b-modules;
- Section épique ⇔ Isomorphisme ⇔ Rétraction monique ;
- Si un élément d'un monoïde est inversible à gauche et simplifiable à droite alors il est inversible.
Dire que Y est un b-module, signifie que b est un élément régulier du
End(Y)-ensemble X(Y).
Or que b(Y) soit un End(Y)-isomorphisme de
Y(Y) vers X(Y), n'assure pas que son inverse
vienne comme g(Y) pour un g∈Mor(Y,X), notamment
un inverse de b si c'était un isomorphisme dans C.
Exemples de modules
Le concept de b-module sera souvent utilisé lorsque b est épique, distinguant donc
les M tels que l'injection b(M) est aussi surjective
(alors que les objets ne sont pas tous des b-modules, b n'étant pas une section,
donc notamment X n'est pas un b-module). En particulier pour tout langage
algébrique L, si 〈Im b〉L = Y alors b est épique
dans toute catégorie inclue dans celle des L-algèbres partielles.
Une sorte importante d'exemples est lorsque b est bijective (et donc épique),
dans la catégorie des systèmes relationnels pour un langage donné L.
Pour simplifier, posons b comme l'identité IdX vers Y
avec une structure plus grande Y = X ∪ Z.
Par exemple, étant donné un symbole binaire r∈L, les propriétés de
réflexivité, de symétrie et de transitivité de l'interprétation de r dans un système
M, sont respectivement exprimables comme M étant un Re-module, un
Sy-module et un Tr-module, où les morphismes Re, Sy et Tr sont respectivement définis par
- (Re) : X = {0}, X = ∅, Z = {(r,(0,0))}
- (Sy) : X = {0,1}, X = {(r,(0,1))}, Z = {(r,(1,0))}
- (Tr) : X = {0,1,2}, X = {(r,(0,1)), (r,(1,2))}, Z = {(r,(0,2))}
De même, l'antisymétrie est exprimable comme étant un module par un certain
morphisme non injectif.
Ainsi formalisé, ce cas général d'un b bijectif peut être vu comme donnant à Z le
rôle d'un ensemble de symboles algébriques X-aires L-typés, qui pour tout
ensemble M donne à LM la Z-structure
{((s,Lu|X),Lu(s))
| (s,u) ∈ Z×MX},
de sorte que
(M, M) est un b-module
⇔ M ∈ SubZ LM.
D'autres exemples seront donnés en 3.11.
Sous-objets
Dans notre concept de catégorie concrète admettant des inclusions entre objets, on
doit écrire HomY(f, X) comme f peut ne pas
suffire à déterminer Y. De là, d'autres concepts ont aussi besoin de ce paramètre:
- L'anti-préservation de ⚬ par C(X)
s'écrit HomF(f, X) ⚬ HomG(g,
X) = HomG(g∘f, X).
- f∈Mor(E,F) est F-epique, ou un F-épimorphisme,
si tous les HomF(f,X) sont injectifs.
Dans toute catégorie concrète, tout morphisme injectif est monique, et
tout morphisme d'image F est F-épique. Les réciproques sont souvent
valables dans les catégories utiles, mais des exceptions existent.
Examinons le concept d'objet S inclus dans un objet E d'une
catégorie concrète, pour le rendre ré-exprimable en tant qu'objet séparé X
avec un isomorphisme à S (par lequel des références à des ensembles cibles
de morphismes pourraient être omises). Ce concept a 2 variantes.
La version "faible" est le concept de sous-objet
(selon la terminologie standard), applicable à toute catégorie abstraite. Elle revient à n'exiger
du morphisme d'inclusion du sous-objet S dans E (habituellement
IdS : S ↪ E dans les catégories concrètes)
qu'elle soit monique (et même pas nécessairement injective).
A savoir, un sous-objet de E est formalisé par une présentation sous la forme
(X,u) où u ∈ Mor(X,E) est monique (description indirecte
de Im u vu comme isomorphe à X, définissant donc les morphismes vers et
depuis Im u comme copiés de ceux de X, mais ce sens direct
est perdu dans les catégories abstraites).
La classe des présentations
(X,u) des sous-objets d'un objet E, est méta-pré-ordonnée par
(X, u) ⊆ (Y, v) ⇔ ∃ϕ∈Mor(X,Y),
u = v∘ϕ
tandis que (!ϕ∈Mor(X,Y), u = v∘ϕ) car v
est monique.
Alors, ϕ est aussi monique car u l'est :
∀g,h∈Mor(Z,X),
ϕ∘g = ϕ∘h ⇒ u∘g = v∘ϕ∘g = v∘ϕ∘h = u∘h
⇒ g = h.
On dira que (X, u) et (Y, v) présentent le même sous-objet
s'ils sont équivalents pour ce
méta-pré-ordre : (X, u) ≡ (Y, v) ⇔ ((X, u) ⊆
(Y, v) ∧ (Y, v) ⊆ (X, u)) ⇔ (∃ϕ∈Iso(X,Y) | u = v∘ϕ).
Entre sous-objets d'un objet donné, l'ordre ⊆/≡ est appelé inclusion.
La version "forte" nécessite que u soit un plongement. Ce concept de plongement,
introduit intialement pour les systèmes relationnels en 3.4, sera généralisé à toute catégorie
concrète en 3.9 (alors que les classes exprimables de monomorphismes dans des catégories
abstraites qui peuvent jouer un rôle similaire ne sont pas équivalentes).
Théorème de representation
Théorème. Toute petite catégorie est isomorphe à celle formée d'une certaine
famille d'algèbres typées avec tous les morphismes entre elles.
Sa construction précise forme la version petites catégories du plongement
de Yoneda (qui l'exprime au niveau méta : toute catégorie est isomorphe à une catégorie
de méta-algèbres typées).
La preuve répète en substance les formules des actions comme structures algébriques,
transposées. Partant de la petite catégorie donnée, une famille d'algèbres typées est formée
comme suit.
- Comme ensemble T de types, prenons une copie de l'ensemble des objets,
mais un type par classe d'isomorphisme suffit.
- Chaque objet E est interprété comme un ensemble typé ∐t∈T
E(t).
- L = ∐t,t'∈T Mor(t',t) voyant
Mor(t',t) comme un ensemble de symboles de fonctions de
t à t', co-agissant sur chaque E.
Chaque u ∈ Mor(E,F) agit par ψ(u) = ∐t∈T
jt ⚬ u(t) :
∐t∈T E(t) →
∐t∈TF(t).
Montrons que ψ : Mor(E,F) ↔ MorL(E,F).
Im ψ ⊂ MorL(E,F) par associativité
(ψ commute avec l'action de L).
L'existence d'un isomorphisme k ∈ E(t) assure que
ψ est injective (comme k est épique) et
MorL(E,F) ⊂ Im ψ:
∀g∈MorL(E,F),
(∀x∈E, g(x) = g(k∘k-1∘x) =
g(k)∘k-1∘x)
∴ g = ψ(g(k)∘k-1).∎
En particulier,
- tout monoïde est isomorphe à EndL X
pour une algèbre X sur un langage L de symboles de fonctions;
-
tout groupe est isomorphe à un groupe d'automorphismes d'une telle algèbre.
Cependant,
les catégories ne sont pas toutes concrètes.
Notons la symétrie des rôles (appelée dualité)
entre les côtés, qui non seulement change l'orientation des morphismes entre deux objets, mais
peut également mener à reformuler en quelque sorte une catégorie en une forme particulière de
théorie mathématique (considérant donc la théorie des catégories comme une version faible de
la théorie de la théorie,
malgré les différences contextuelles) :
- Les "objets" dans les catégories deviennent des "types",
- Les "morphismes" deviennent des "fonctions invariantes", implicitement engendrées par un langage de symboles de fonctions uniquement.
La faiblesse de cette sorte de « théorie » est contrebalancée par le développement de concepts à un niveau méta au-dessus. Cette symétrie mène à divers éclairages:
- Un épimorphisme b ∈ Mor(X,Y) donne à Y un rôle de
sous-type de X, de sorte qu'un b-module est un objet dont le composant de
type X est rempli par Y.
- Relier deux concepts d'invariance : pour tout monoïde M (resp. petite categorie)
engendré par un ensemble vu comme un langage de symboles de fonction (typés)
(donc M est constitué de fonctions exprimables comme termes dans ce langage),
il existe un (ensemble I d') interprétation(s) algébrique(s), c'est-à-dire des actions,
où M coïncide avec la catégorie M' de toutes les fonctions (resp. symboles
de fonctions interprétés) qui sont invariantes par tous les endomorphismes (resp. par tous
les morphismes entre interprétations dans I). Quoi qu'il en soit, dans toute
interprétation, l'image concrète de M est incluse dans le M' correspondant,
car l'ensemble M' de fonctions invariantes par tout ensemble de fonctions donné
est (Id, ⚬)-stable (cela peut être dualement reformulé en qualifiant M' comme
l'ensemble de ses morphismes).
Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry
Other languages:
EN :
3.8. Properties in categories