3.7. Catégories

Les monoïdes furent introduits comme abstraction des monoïdes de transformations, qui sont les catégories concrètes à un objet. Généralisant cela aux pluralités d'objets, une catégorie (aussi appelée catégorie abstraite pour insister) diffère d'une catégorie concrète, en ôtant aux objets le rôle d'ensembles et aux morphismes celui de fonctions. Elle est faite de: tels que Généralisant à la fois les isomorphismes des catégories concrètes, et les éléments inversibles des monoïdes, un isomorphisme f entre objets E et F dans une catégorie abstraite, est un f∈Mor(E,F) tel que ∃g∈Mor(F,E), gf=1Efg=1F. Ce g est unique, appelé l'inverse de f.

Représentation des petites catégories. Toute petite catégorie est interprétable comme une famille d'algèbres typées avec tous les morphismes entre elles.

Preuve. Prenons comme ensemble de types une copie de l'ensemble des objets : de chaque objet X on fait un type X' (sans donner de statut à cette bijection).
Regardons chaque objet M comme système interprétant chaque type X' comme l'ensemble Mor(X',M).
Prenons le langage de symboles de fonctions où l'ensemble de ceux du type X' vers le type Y' est Mor(Y',X').
La preuve continue comme avec les monoïdes.∎

Fonctions définies par composition

Dans toute catégorie, tout f ∈ Mor(E,F) définit des fonctions en curryfiant la composition par d'autres morphismes avec un autre objet X: notons (en suivant presque wikipedia mais adapté à notre concept def catégorie concrète)
Le premier respecte la composition, alors que le second la renverse : pour tous 4 objets E,F,G,X , ∀f ∈Mor(E,F), ∀g∈Mor(F,G),

Hom(X, g) ০ Hom(X, f) = Hom(X, gf)
HomF(f, X) ০ HomG(g, X) = HomG(gf, X)

Les concepts de simplifiabilité et d'inversibilité se généralisent vers les catégories comme suit.

Monomorphisme. Dans une catégorie, un morphisme f∈Mor(E,F) est dit monique, ou un monomorphisme, si Hom(X,f) est injectif pour tous objets X:

g,h∈Mor(X,E), fg = fhg = h.

Epimorphisme. Dans une catégorie abstraite, un morphisme f∈Mor(E,F) est un épimorphisme, si Hom(f,X) est injectif pour tous objets X:

g,h∈Mor(F,X), gf = hfg = h.

Dans notre concept de catégorie concrète, on doit spécifier F, disant que f∈Mor(E,F) est un F-épimorphisme, si tous les HomF(f,X) sont injectifs.

Dans toute catégorie concrète, tous les morphismes injectifs sont des monomorphismes, et tout morphisme d'image F est un F-épimorphisme. Mais les réciproques peuvent être fausses, et les exceptions peuvent être difficiles à classifier, surtout que la condition dépend de toute la catégorie.

Sections, retractions. Si gf = 1E on dit que f est une section de g, et que g est une rétraction de f.

Preuve: if gf=1E alors pour tous objets X, HomF(f,X) ০ HomE(g,X) = HomE(1E,X) = IdMor(E,X), donc De même, Hom(X,g) ০ Hom(X,f) = Hom(X,1E) = IdMor(X,E) donc f est un monomorphisme et Im(Hom(X,g)) = Mor(X,F).∎

Si f est un isomorphisme alors Hom(X,f) et Hom(X,g) sont des bijections, inverses l'une de l'autre, entre Mor(X,E) et Mor(X,F).

Les dépendances entre qualités de morphismes, s'écrivent ainsi:

Isomorphisme ⇔ (Rétraction ∧ Monomorphisme) ⇔ (Section ∧ Epimorphisme)
Rétraction ⇒ Quotient ⇒ morphisme surjectif ⇒ Epimorphisme
Section ⇒ morphisme injectif ⇒ Monomorphisme
Set theory and foundations of mathematics
1. First foundations of mathematics
2. Set theory (continued)
3. Algebra 1
3.1. Morphisms of relational systems and concrete categories
3.2. Algebras
3.3. Special morphisms
3.4. Monoids
3.5. Actions of monoids
3.6. Invertibility and groups
3.7. Categories
3.8. Algebraic terms and term algebras
3.9. Integers and recursion
3.10. Arithmetic with addition
4. Model Theory