3.7. Catégories

Les monoïdes furent introduits comme abstraction des monoïdes de transformations, qui sont les catégories concrètes à un objet. Généralisant cela aux pluralités d'objets, une catégorie (aussi appelée catégorie abstraite pour insister) diffère d'une catégorie concrète, en ôtant aux objets le rôle d'ensembles et aux morphismes celui de fonctions. Elle est faite de: tels que Généralisant à la fois les isomorphismes des catégories concrètes, et les éléments inversibles des monoïdes, un isomorphisme f entre objets E et F dans une catégorie abstraite, est un f∈Mor(E,F) tel que ∃g∈Mor(F,E), gf=1Efg=1F. Ce g est unique, appelé l'inverse de f.

Représentation des petites catégories. Toute petite catégorie est interprétable comme une famille d'algèbres typées avec tous les morphismes entre elles.

Preuve. Prenons comme ensemble de types une copie de l'ensemble des objets : de chaque objet X on fait un type X' (sans donner de statut à cette bijection).
Regardons chaque objet M comme système interprétant chaque type X' comme l'ensemble Mor(X',M).
Prenons le langage de symboles de fonctions où l'ensemble de ceux du type X' vers le type Y' est Mor(Y',X').
La preuve continue comme avec les monoïdes.∎

Fonctions définies par composition

Dans toute catégorie, tout f ∈ Mor(E,F) définit des fonctions en curryfiant la composition par d'autres morphismes avec un autre objet X: notons (en suivant presque wikipedia mais adapté à notre concept def catégorie concrète)
Le premier respecte la composition, alors que le second la renverse : pour tous 4 objets E,F,G,X , ∀f ∈Mor(E,F), ∀g∈Mor(F,G),

Hom(X, g) ০ Hom(X, f) = Hom(X, gf)
HomF(f, X) ০ HomG(g, X) = HomG(gf, X)

Les concepts de simplifiabilité et d'inversibilité se généralisent vers les catégories comme suit.

Monomorphisme. Dans une catégorie, un morphisme f∈Mor(E,F) est dit un monomorphisme, si Hom(X,f) est injectif pour tous objets X:

g,h∈Mor(X,E), fg = fhg = h.

Epimorphisme. Dans une catégorie abstraite, un morphisme f∈Mor(E,F) est un épimorphisme, si Hom(f,X) est injectif pour tous objets X:

g,h∈Mor(F,X), gf = hfg = h.

Dans notre concept de catégorie concrète, on doit spécifier F, disant que f∈Mor(E,F) est un F-épimorphisme, si tous les HomF(f,X) sont injectifs.

Dans toute catégorie concrète, tous les morphismes injectifs sont des monomorphismes, et tout morphisme d'image F est un F-épimorphisme. Mais les réciproques peuvent être fausses, et les exceptions peuvent être difficiles à classifier, surtout que la condition dépend de toute la catégorie.

Sections, retractions. Si gf = 1E on dit que f est une section de g, et que g est une rétraction de f.

Preuve: if gf=1E alors pour tous objets X, HomF(f,X) ০ HomE(g,X) = HomE(1E,X) = IdMor(E,X), donc De même, Hom(X,g) ০ Hom(X,f) = Hom(X,1E) = IdMor(X,E) donc f est un monomorphisme et Im(Hom(X,g)) = Mor(X,F).∎

Si f est un isomorphisme alors Hom(X,f) et Hom(X,g) sont des bijections, inverses l'une de l'autre, entre Mor(X,E) et Mor(X,F).

Les dépendances entre qualités de morphismes, s'écrivent ainsi:

Isomorphisme ⇔ (Rétraction ∧ Monomorphisme) ⇔ (Section ∧ Epimorphisme)
Rétraction ⇒ Quotient ⇒ morphisme surjectif ⇒ Epimorphisme
Section ⇒ Plongement ⇒ morphisme injectif ⇒ Monomorphisme

Objets initiaux et finaux

Dans toute catégorie, un objet X est appelé un objet initial si tous les ensembles Mor(X,Y) sont des singletons. Bien sûr tout objet isomorphe à un objet initial est aussi un objet initial, comme tous les objets isomorphes ont les mêmes propriétés. Mais réciproquement tous les objets initiaux (s'ils existent) sont isomorphes, par un unique isomorphisme entre deux quelconques d'entre eux:
Pour tous objets initiaux X, Y, ∃f∈Mor(X,Y), ∃g∈Mor(Y,X), gf ∈ Mor(X,X) ∧ 1X ∈ Mor(X,X) ∴ gf = 1X.
De même, fg = 1Y. Donc f est un isomorphisme, unique car Mor(X,Y) est un singleton.∎
Par cet unique isomorphisme, X et Y peuvent être traités comme identiques l'un à l'autre. Un objet initial est dit essentiellement unique.
De même un objet X est appelé un objet final si tous les ensembles Mor(Y,X)) sont des singletons.
De tels objets existent dans diverses catégories, mais ne sont pas toujours intéressants. Par exemple, dans toute catégorie de systèmes relationnels contenant des répresentants (copies) de tous ceux possible avec un langage donné: Exercice. Pour deux ensembles fixés K et B, considérons la catégorie où A-t-il un objet initial ? un objet final ?

Catégories d'actions

Partant d'une catégorie concrète C, soit C' la catégorie où Alors on a
  1. Si C est la catégorie des M-ensembles pour un monoïde (M,e, •) alors, voyant M comme M-ensemble interprétant • comme action à gauche, (M, e) est un objet initial de C' ; les objets initiaux sont les (X,x) où x est un élément libre et génerateur de X.
  2. Réciproquement, pour tout objet initial (M,e) de C' (s'il en existe), on a une unique structure de monoïde (M,e,•) avec une action sur chaque autre objet X de C (au-delà de • sur M lui-même), telles que pour tous objets X, Y de C on a Mor(X,Y) ⊂ MorM(X,Y) et Mor(M,X) = MorM(M,X).
Preuve. 1. par les propriétés des actions comme structures algébriques et des inverses, comme x est libre et générateur dans X si et seulement si (X,x) est isomorphe à (M, e).
2. Definissant ∀xX, hx ∈ Mor(M,X) ∧ hx(e) = x, donne une M-structure sur chaque X interprétant chaque aM dans X comme défini par l'uplet (e,a). Elles sont donc préservées: Mor(X,Y) ⊂ MorM(X,Y), ce qui implique les axiomes de M-actions.
La composition dans M venant comme cette M-structure pour M = X, satisfait les mêmes axiomes.
Le dernier axiome de monoïde, he = IdM vient de l'unicité de he satisfaisant sa définition, et assure l'inclusion inverse:
g∈MorM(M,X), g = hg(e)g ∈ Mor(M,X). ∎
Ce monoïde (M,e,•) est essentiellement l'opposé du monoïde End(M). En effet pour tous a, bM on a ha ∈ End(M), hb ∈ End(M) et hahb(e) = ha(b) = ba.

Set theory and foundations of mathematics
1. First foundations of mathematics
2. Set theory (continued)
3. Algebra 1
3.1. Morphisms of relational systems and concrete categories
3.2. Algebras
3.3. Special morphisms
3.4. Monoids
3.5. Actions of monoids
3.6. Invertibility and groups
3.7. Categories
3.8. Algebraic terms and term algebras
3.9. Integers and recursion
3.10. Arithmetic with addition
4. Model Theory