3.10. Produits de systèmes

Products of actions

Given a family of actions (αi)iI of a category C, their product is an action β of C defined by

CX, Xβ = ∏iI Xαi
CX,Y, ∀f∈ Mor(X,Y), f β = ⨉iI f αi = ⊓iI f αi ⚬ πi
xXβ, ∀yYβ, f β(x) = y ⇔ ∀iI, f αi(xi) = yi

Products of families of co-actions are defined in the same way.
The constant product of an action, i.e. on functions from I to each given set, was already mentioned in 3.6 as the action CI.

Produits dans les catégories

Un produit d'une famille d'objets (Ei)iI dans une catégorie, est une donnée finale (donc essentiellement unique) (P, φ) d'un objet P avec φ∈∏iI Mor(P,Ei), à savoir rendant bijectives les f ↦ (φif)iI :

Pour tout objet F, ∏iI Hom (Fi) : Mor(F,P) ↔ ∏iI Mor(F,Ei)

Les produits vides (I=∅) sont les objets finaux. Le concept de plongement est une variante du cas unaire (lui-même trivial).

Dans les catégories concrète, pour tout (P, φ) et tout F, (∏φ : P ↪ ∏iI Ei) ⇒ Inj ∏iI Hom (Fi) mais les produits ainsi définis peuvent exister sans admettre parmi eux le produit ensembliste (P, π) où P = ∏iI Ei and ∏π = IdP.

A product of a family (Ei)iI of objects in a category C, written CiI Ei, is a co-egg (P, π) of the product of co-actions C(Ei), thus made of an object P with π ∈ ∏iI Mor(P,Ei) such that all f ↦ (πif)iI are bijective :

CF, ⊓iI πi(F) : P(F) ↔ ∏iI Ei(F)

The products in C of the empty family (I = ∅) are the final objects of C.

The product in the category of sets, coincides with the product of sets (⊓ : ∏iI EiFPF).

Produits dans les catégories concrètes

Pour toute famille d'objets (Ei)iI d'une catégorie concrète, leur produit s'il existe, se définit comme objet P=∏iI Ei vers lequel les ensembles de morphismes se définissent (à travers le produit de fonctions) par:

Pour tout objet F, Mor(F,P) ≅ ∏iI Mor(F,Ei)

Ici, l'inclusion essentielle de Mor(F,P) dans ∏iI Mor(F,Ei) pour tout F, est équivalente à ∀iI, πi∈Mor(P,Ei). Avec cela, l'inclusion réciproque non seulement définit Mor(F,P), mais aussi indirectement détermine tout Mor(P,F) par la catégorie s'il y est autorisé, en rendant essentiellement unique tous produits coexistants d'une famille d'objets d'une categorie donnée. Cette unicité essentielle se vérifie dans le cas plus général suivant.

In many concrete categories, any family of objects has a product (P, π) whose role can usually be played by the product of sets P = ∏iI Ei with its natural family of projections π = ⊓ IdP.
Then in particular, final objets are singletons (even if other, non-isomorphic singletons may be objects).
Namely, given any product (P, π), this preferable convention is possible when ⊓π : P ↔ ∏iI Ei, transferring the role of P to ∏iI Ei by this bijection. (Its injectivity already implies for any F, Inj ⊓iI πi(F)).
Our main exceptions will be categories of typed systems: with a set τ of types, a product of objects with base sets Ei = ∐t∈τ Et,i will have base set

t∈τiI Et,i.

This is identifiable to a subset of ∏iI Ei if I ≠ ∅ but a copy of τ if I = ∅.

On the other hand, if the product as sets P = ∏iI Ei of objects in a concrete category C is otherwise given a role of object, then the condition for it to serve as the product in C is that

F, ⊓[Mor(F,P)] = ∏iI Mor(F,Ei).

The inclusion side of this equality is equivalent to (∀iI, πi ∈ Mor(P,Ei)). Indeed, By essential uniqueness of products, this also determines all Mor(P,F) from the category.

If C is a concrete category with products, (M,e) being an egg can be re-expressed as

CE, ∃!f∈Mor(M,EE), f(e) = IdE.

Products of relational systems

In a category of all relational L-systems (with fixed L), any family of systems (Ei, Ei) has a product P given by the product of sets, with structure

P = iI Lπi*(Ei) = ∐sL ⊓[ ∏iI si]

For a binary product of L-systems G = E×F these structures are

sG = {xy | xsEysF} = {zGns | π0z sE ∧ π1zsF}

To check that it forms a product in this category, for any L-system F and any f = ⊓iI fiPF, i.e. ∀iI, fi = πifEiF,

f ∈ MorL(F,P) ⇔ Lf[F] ⊂ P ⇔ ∀iI, Lf[F] ⊂ Lπi*(Ei)
⇔ ∀iI, fi ∈ MorL(F,Ei) ⇔ ⊓f ∈ ∏iI MorL(F,Ei)

For a symbol s of trajectory of a tuple in a concrete category, sP ⊂ ⊓[ ∏iI si] with equality if ACI holds.

Products of modules

For any morphism b∈Mor(X,Y) in any category, any product of b-modules is also a b-module.
Proof. Let (P, π) a product of a family (Ei)iI of b-modules. Then ∀f∈Mor(X,P), In any category with products, the condition for an object M to be a b-module can be re-expressed as

∃!h∈Mor(Y, ∏Mor(X,M) M), ∀u∈Mor(X,M), πuhb = u.

If moreover the category is concrete, this condition on h is equivalently written

u∈Mor(X,M), ∀xX, πu(h(b(x))) = u(x)
⇔ ∀xX, h(b(x)) = πx|Mor(X,M)

Products of algebras

With an algebraic language L, the product P = ∏iI Ei of a family of L-algebras (Ei, φi) has L-algebra structure φP defined by

(∀iI, πi ∈ MorL(P,Ei)) ⇔ (∀iI, φiLπi = πi⚬φP) ⇔ φP = ⊓iI φiLπi

Indeed, for any L-system F and any f = ⊓iI fiPF,

f ∈ MorL(F,P) ⇔ φPLf = f⚬φF ⇔ ∀iI, φiLfi = φiLπiLf = fi⚬φF
⇔ ∀iI, fi ∈ MorL(F,Ei) ⇔ ⊓f ∈ ∏iI MorL(F,Ei)

This comes as a particular case of product of relational systems (as algebras can be seen as modules):

∀(x,y)∈LP×Py = φP(x) ⇔ ∀iI, yi = φi(Lπi(x))

The structure φP of a constant product P = EI of an L-algebra E can be written

LP∋(s,x) ↦ sE ⚬ ⊓x

The product of a family of actions of a given monoid, particular case of product of actions of a category, is also a particular case of product of algebras.

Among systems, aside the case of algebras, any product of partial algebras is a partial algebra ; any product of injective systems is an injective system ; if ACI holds then any product over I of serial systems is serial. But the surjectivity of a product system cannot be ensured unless it is achieved by a single symbol in L.

Catégories d'actions

Alors on a
  1. Si C est la catégorie des M-ensembles pour un monoïde (M,e, •) alors, voyant M comme M-ensemble interprétant • comme action à gauche, (M, e) est un objet initial de C' ; les objets initiaux sont les (X,x) où x est un élément libre et génerateur de X.
  2. Réciproquement, pour tout objet initial (M,e) de C' (s'il en existe), on a une unique structure de monoïde (M,e,•) avec une action sur chaque autre objet X de C (au-delà de • sur M lui-même), telles que pour tous objets X, Y de C on a Mor(X,Y) ⊂ MorM(X,Y) et Mor(M,X) = MorM(M,X).
Preuve. 1. par les propriétés des actions comme structures algébriques et des inverses, comme x est libre et générateur dans X si et seulement si (X,x) est isomorphe à (M, e).
2. Definissant ∀xX, hx ∈ Mor(M,X) ∧ hx(e) = x, donne une M-structure sur chaque X interprétant chaque aM dans X comme défini par l'uplet (e,a). Elles sont donc préservées: Mor(X,Y) ⊂ MorM(X,Y), ce qui implique les axiomes de M-actions.
La composition dans M venant comme cette M-structure pour M = X, satisfait les mêmes axiomes.
Le dernier axiome de monoïde, he = IdM vient de l'unicité de he satisfaisant sa définition, et assure l'inclusion inverse:
g∈MorM(M,X), g = hg(e)g ∈ Mor(M,X). ∎
Ce monoïde (M,e,•) est essentiellement l'opposé du monoïde End(M). En effet pour tous a, bM on a ha ∈ End(M), hb ∈ End(M) et hahb(e) = ha(b) = ba.

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry

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