3.10. Produits de systèmes

Produits d'actions

Étant donné une famille d'actions (αi)iI d'une catégorie C, leur produit est une action β de C définie par

CX, Xβ = ∏iI Xαi
CX,Y, ∀f∈ Mor(X,Y), f β = ⨉iI f αi = ⊓iI f αi ⚬ πi
xXβ, ∀yYβ, f β(x) = y ⇔ ∀iI, f αi(xi) = yi

Les produits des familles de co-actions se définissent de la même manière.
L'action CM mentionnée en 3.6 était le produit M-aire constant de l'action primitive de C.

Produits dans les catégories

Un produit d'une famille (Ei)iI d'objets dans une catégorie C, noté CiI Ei, est un co-oeuf (P, π) du produit de co-actions C(Ei), donc fait d'un objet P avec π ∈ ∏iI Mor(P,Ei), tels que tous les f ↦ (πif)iI sont bijectifs :

CF, ⊓iI πi(F) : P(F) ↔ ∏iI Ei(F)

Les produits dans C de la famille vide (I = ∅) sont les objets finaux de C.

Le produit dans la catégorie des ensembles, coïncide avec le produit des ensembles (⊓ : ∏iI EiFPF).

Produits dans les catégories concrètes

Dans nombre de catégorie concrètes, toute famille d'objets a un produit (P, π) dont le rôle peut généralement être joué par le produit d'ensembles P = ∏iI Ei avec sa famille naturelle de projections π = ⊓ IdP.
Alors en particulier, les objets finaux sont des singletons (même si d'autres singletons non isomorphes peuvent être des objets).
A savoir, étant donné un produit (P, π), cette convention préférable est possible lorsque ⊓π : P ↔ ∏iI Ei, transférant le rôle de P à ∏iI Ei par cette bijection. (Son injectivité implique déjà pour tout F, Inj ⊓iI πi(F)).
Nos principales exceptions seront les catégories de systèmes typés: avec un ensemble τ de types, un produit d'objets ayant pour ensembles de base Ei = ∐t∈τ Et,i aura pour ensemble de base

t∈τiI Et,i.

Il est identifiable à un sous-ensemble de ∏iI Ei si I ≠ ∅ mais une copie de τ si I = ∅.

A l'inverse, si le produit en tant qu'ensembles P = ∏iI Ei d'objets dans une catégorie concrète C reçoit par ailleurs un rôle d'objet, alors la condition pour qu'il serve de produit dans C est que

F, ⊓[Mor(F,P)] = ∏iI Mor(F,Ei).

Le côté d'inclusion de cette égalité équivaut à ∀iI, πi ∈ Mor(P,Ei). En effet, Par l'unicité essentielle des produits, cela détermine aussi tous les Mor(P,F) par la catégorie.

Si C est une catégorie concrète avec des produits, l'énoncé que (M,e) est un œuf est ré-exprimable par

CE, ∃!f∈Mor(M,EE), f(e) = IdE.

Produits de modules

Pour tout morphisme b∈Mor(X,Y) dans une categorie C, tout produit de b-modules est aussi un b-module.
Preuve. Soit (P, π) un produit d'une famille (Ei)iI de b-modules. Alors ∀f∈Mor(X,P), Si C a des produits, la condition qu'un objet M soit un b-module est ré-exprimable comme

∃!h∈Mor(Y, CMor(X,M) M), ∀u∈Mor(X,M), πuhb = u.

Si de plus C est concrète, cette formule (∀u∈Mor(X,M), ∀xX, πu(h(b(x))) = u(x)) peut aussi s'écrire

xX, h(b(x)) = πx|Mor(X,M)

Produits de systèmes relationnels

Dans une catégorie de tous les L-systèmes relationnels (avec L fixe), toute famille de systèmes (Ei, Ei) a un produit P donné par le produit d'ensembles, de structure

P = iI Lπi*(Ei) = ∐sL ⊓[ ∏iI si]

Pour un produit binaire de L-systèmes G = E×F ces structures sont

sG = {xy | xsEysF} = {zGns | π0z sE ∧ π1zsF}

Pour vérifier qu'il forme un produit dans cette catégorie, pour tout L-système F et tout f = ⊓iI fiPF, à savoir ∀iI, fi = πifEiF,

f ∈ MorL(F,P) ⇔ Lf[F] ⊂ P ⇔ ∀iI, Lf[F] ⊂ Lπi*(Ei)
⇔ ∀iI, fi ∈ MorL(F,Ei) ⇔ ⊓f ∈ ∏iI MorL(F,Ei)

Pour un symbole s de trajectoire d'un uplet dans une catégorie concrète, sP ⊂ ⊓[ ∏iI si] avec égalité si ACI.

Produits d'algèbres

Avec un langage algébrique L, le produit P = ∏iI Ei d'une famille de L-algèbres (Ei, φi) a la structure de L-algèbre φP définie par

(∀iI, πi ∈ MorL(P,Ei)) ⇔ (∀iI, φiLπi = πi⚬φP) ⇔ φP = ⊓iI φiLπi

En effet, pour tout L-système F et tout f = ⊓iI fiPF,

f ∈ MorL(F,P) ⇔ φPLf = f⚬φF ⇔ ∀iI, φiLfi = φiLπiLf = fi⚬φF
⇔ ∀iI, fi ∈ MorL(F,Ei) ⇔ ⊓f ∈ ∏iI MorL(F,Ei)

Cela vient comme cas particulier de produit de systèmes relationnels :

∀(x,y)∈LP×Py = φP(x) ⇔ ∀iI, yi = φi(Lπi(x))

La structure φP d'un produit constant P = EI d'une L-algèbre E peut s'écrire

LP∋(s,x) ↦ sE ⚬ ⊓x

Le produit d'une famille d'actions d'un monoïde donné, cas particulier de produit d'actions d'une catégorie, est aussi un cas particulier de produit d'algèbres.

Parmi les systèmes, à part le cas des algèbres, tout produit d'algèbres partielles est une algèbre partielle; tout produit de systèmes injectifs est un système injectif; si ACI vaut alors tout produit sur I de systèmes sériels est sériel. Mais la surjectivité d'un système produit ne peut être assurée que si elle est réalisée par un seul symbole dans L.


Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry

Other languages:
EN : 3.10. Products of systems