3.9. Objets initiaux et finaux
Dans toute catégorie, un objet X est appelé un objet initial si tous les
Mor(X,Y) sont des singletons. Les objets isomorphes ayant toutes les mêmes
propriétés, voici une petite réciproque : 2 objets initiaux sont toujours isomorphes, par un
unique isomorphisme (les objets initiaux forment donc une seule classe d'isomorphisme ou aucune):
Pour tous objets initiaux X, Y, ∃f∈Mor(X,Y),
∃g∈Mor(Y,X), {g∘f, 1X} ⊂
Mor(X,X) ∴ g∘f = 1X.
De même, f∘g = 1Y.
Donc f est un isomorphisme, unique car ∃!:Mor(X,Y). ∎
Par cet unique isomorphisme, X et Y peuvent être traités comme identiques
l'un à l'autre. On dit qu'un objet initial est essentiellement unique.
De même par dualité, un objet X est appelé un objet final si tous les
Mor(Y,X)) sont des singletons.
Par
exemple, dans toute catégorie de systèmes relationnels de langage donné où toute
classe d'isomorphisme de systèmes possibles est répresentée :
- L'ensemble vide où les constantes Booléennes sont fausses est l'objet initial.
- Les systèmes finaux à un seul type sont les singletons où les relations sont constamment vraies;
- Les systèmes finaux multi-types sont faits d'un singleton par type.
Exercice. Pour deux ensembles fixés K et B, considérons la catégorie où
- Les objets sont tous les (X,φ) où X est un ensemble et φ:
X×K→B ;
- Mor((X,φ),(Y,φ') = {f∈YX |
∀a∈X,∀k∈K, φ(a,k) = φ'(f(a),k)}.
A-t-il un objet initial ? un objet final ?
Oeufs
(Ce concept est nommé élément
universel dans la littérature; le nom d'oeuf va bien avec celui de clone.)
Généralisant le concept d'élément régulier,
appelons oeuf d'une catégorie agissante Cα, tout (M,e)
où M est un objet et e ∈ Mα, tels que
∀CE, (Mor(M,E) ∋ f ↦
fα(e)) : E(M) ↔ Eα.
De manière équivalente, un œuf est un objet initial de la catégorie des éléments
de Cα où
- Les objets sont tous les données (E,x) d'un objet E de C et
x ∈ Eα
- Mor((E,x),(F,y)) =
{f∈Mor(E,F) | fα(x) = y}
De même, un co-œuf d'une catégorie co-agissante Cβ est un œuf de
la catégorie agissante opposée, donc un objet final de sa catégorie de co-éléments
(E,x) où x ∈ Eβ et Mor((E,x),(F,y))
= {f∈Mor(E,F) | fβ(y) = x}.
Encore une fois, une action (resp. co-action) sera dite régulière si elle comporte un œuf
(resp. un co-œuf) ; on l'appelle représentable
ailleurs dans la littérature.
Si (M,e) est un oeuf de Cα alors (Mα,e)
est un oeuf de |Cα|.
Pour tout objet M d'une catégorie C, (M,
1M) est un œuf de C(M).
et un co-oeuf de C(M).
Dans la littérature (wikipedia), la catégorie
des éléments d'un C(M) est notée M/C, tandis que la catégorie
des co-éléments d'un C(M) est notée C/M.
Le lemme de Yoneda
s'exprime suivant nos conventions comme suit : si (M,x) est un (co-)oeuf d'une
(co-)action α d'une categorie C, alors (α,x) est un oeuf de l'action sur M
de la méta-catégorie de toutes les (co-)actions de C.
Précisément, pour tout objet M, toute action β de C et tout
x∈Mβ, l'unique méta-morphisme ϕ de
C(M) vers Cβ tel que
ϕM(1M) = x se définit par
∀CE,
∀y∈E(M),
ϕE(y) = yβ(x)
Preuve de (méta-morphisme ⇒ formule de définition):
ϕE(y) = ϕE(y∘1M)
= yβ(ϕM(1M))
= yβ(x).
La preuve de la réciproque est aussi facile et laissée au lecteur.
Si (M,x) est un oeuf, cela donne un méta-isomorphisme
(comme tout morphisme bijectif entre algèbres est un isomorphisme).∎
Evidemment, l'image de ϕ est la trajectoire de x dans Cβ.
Exercice. Considérer la catégorie des ensembles et leurs fonctions agissant par images
directes sur les ensembles des parties de ses objets (Set⋆). A-t-elle un oeuf ?
De même, considérer sa co-action sur ces ensembles des parties par préimages (Set⋆).
A-t-elle un co-oeuf ?
Indication : utiliser les nombres d'éléments des ensembles finis en jeu.
Plongements dans les catégories concrètes
Généralisons les concepts de plongement
et pré-plongement, des catégories de systèmes relationnels à toute catégorie concrète C.
Un morphisme f ∈ Mor(E,F) sera appelé un pré-plongement
si
∀CX, Mor(X,E) =
{g∈EX | f⚬g ∈ Mor(X,F)}
(Cette formule implique en fait f∈Mor(E,F)).
De façon équivalente, le co-oeuf (E, IdE) de CE
est aussi co-oeuf de sa sous-co-action C(f) définie par
∀CX, X(f) =
{g∈EX | f⚬g ∈ Mor(X,F)}.
Alors, un plongement est un pré-plongement injectif, à savoir un
f : E ↪ F tel que, de façon équivalente
∀CX, Mor(X,E) =
{f -1⚬h | h ∈ Mor(X,F) ∧
Im h ⊂ Im f}
∀CX, {h ∈ Mor(X,F) |
Im h ⊂ Im f} = {f⚬g | g∈Mor(X,E)}
Introduisons un concept proche. Toute partie fixe A ⊂ F définit une sous-co-action
C(A) de C(F) par
∀CX, X(A) =
{g∈X(F) | Im g ⊂ A}
Appelons alors quasi-plongement tout f∈Mor(E,F) tel que
(E,f) est un co-œuf de C(Im f) :
∀CX, ∀g∈Mor(X,F),
Im g ⊂ Im f ⇒ ∃!ϕ∈Mor(X,E), f ⚬ ϕ = g
(L'injectivité de f implique un côté de cette condition: ∀g∈Mor(X,F),
!ϕ∈Mor(X,E), f ⚬ ϕ = g)
Dans les catégories concrètes les plus utiles, tous les quasi-plongements seront des plongements;
des exceptions sont faciles à trouver dans d'autres catégories conçues pour cela.
Les diverses propriétés d'un morphisme f∈Mor(E,F) sont liées comme suit.
- Si Im f ⊂ A ⊂ F alors
((E,f) est un co-œuf de C(A)) ⇔ (f
est un quasi-plongement et
∀g∈Mor(E,F), Im g ⊂ A ⇒ Im g ⊂ Im f)
- Injection ⇒ (pré-plongement ⇔ quasi-plongement)
- Quasi-plongement ⇒ Monomorphisme
- (Monomorphisme ∧ pré-plongement) ⇒ injection
- Section ⇒ Plongement
Preuves.
- ∀x∈E, ϕ = (E∋y ↦ (f(y) = f(x) ?
x : y)) ⇒ f ⚬ ϕ = f ⇒ (ϕ ∈ End E ∴ ϕ = IdE).
-
∃h∈Mor(F,E), h ⚬ f = 1E ∴
∀g∈EX, f ⚬ g ∈ Mor(X,F) ⇒
g = h ⚬ f ⚬ g ∈ Mor(X,E).∎
Soit f∈Mor(E,F) un quasi-plongement. S'il existe un pré-plongement
g∈Mor(X,F) de même image Im g = Im f = A ⊂
F et ACA est vrai alors f est un plongement.
Preuve.
∃h∈XA, g⚬h = IdA ∴
g⚬h⚬f = f ∈ Mor(E,F) ∴ h⚬f
∈ Mor(E,X)
∃ϕ∈Mor(X,E), f⚬ϕ = g ∴ f⚬ϕ⚬h⚬f
= g⚬h⚬f = f ∴ ϕ⚬h⚬f = IdE.∎
Un sous-objet (X,u) de E sera qualifié de plongé
(resp. quasi-plongé) si u est un plongement (resp. un quasi-plongement)
de X vers E.
Si une partie A d'un objet F est l'image d'un plongement
f∈Mor(E,F), cela donne à A le statut de sous-objet plongé
(A, IdA)
≡ (E,f). (Pour un quasi-plongement on peut faire de même avec une copie de
E attachée à A et conçue comme independante de E).
Alors pour tout objet X, on peut définir
Mor(X,A) à partir de Mor(X,F) directement comme
X(A), tandis que Mor(A,X) n'est défini directement à
partir de Mor(F,X) que si f est une section, comme
{g|A | g∈Mor(F,X)}.
Sous-modules
Soient X,Y,F objets d'une catégorie concrète et
b∈Mor(X,Y). Une partie A ⊂ F
sera dite b-stable si
∀g∈Mor(Y,F), Im g⚬b ⊂ A ⇒
Im g ⊂ A.
En particulier si b est surjective alors toutes les parties des objets sont b-stables.
Appelons b-sous-module d'un objet F, tout sous-objet
(E,f) de F tel que E est un b-module.
Pour tout b-module F et f∈ Mor(E,F),
- Si f est un pré-plongement et b est bijective alors E est un b-module;
- Si f est un quasi-plongement et Im f est b-stable alors (E,f)
est un b-sous-module.
Preuves:
- ∀u∈Mor(X,E), f⚬u⚬b-1 ∈
Mor(Y,F) ∴ u⚬b-1∈Mor(Y,E).
- ∀u∈Mor(X,E), (∃!g∈Mor(Y,F),
g⚬b = f⚬u ∴ Im g ⊂ Im f)
∴ (∃!h∈Mor(Y,E), f⚬h⚬b = f⚬u)
∴ (∃!h∈Mor(Y,E), h⚬b = u).∎
Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry
Other languages:
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3.9. Initial and final objects