3.9. Objets initiaux et finaux

Dans toute catégorie, un objet X est appelé un objet initial si tous les Mor(X,Y) sont des singletons. Les objets isomorphes ayant toutes les mêmes propriétés, voici une petite réciproque : 2 objets initiaux sont toujours isomorphes, par un unique isomorphisme (les objets initiaux forment donc une seule classe d'isomorphisme ou aucune): Par cet unique isomorphisme, X et Y peuvent être traités comme identiques l'un à l'autre. On dit qu'un objet initial est essentiellement unique.
De même par dualité, un objet X est appelé un objet final si tous les Mor(Y,X)) sont des singletons.
Par exemple, dans toute catégorie de systèmes relationnels de langage donné où toute classe d'isomorphisme de systèmes possibles est répresentée : Exercice. Pour deux ensembles fixés K et B, considérons la catégorie où A-t-il un objet initial ? un objet final ?

Oeufs

(Malgré son utilité, ce concept semble rester sans nom dans la littérature; ce nom va bien avec celui de clone.)

Généralisant le concept d'élément régulier, appelons oeuf d'une catégorie agissante Cα, tout (M,e) où M est un objet et eMα, tels que

CE, (Mor(M,E) ∋ ffα(e)) : E(M)Eα.

ce qui implique facilement que De manière équivalente, un œuf est un objet initial de la catégorie des points de Cα Pour tout objet M d'une catégorie C, (M, 1M) est un œuf de C(M).
De même, un co-œuf d'une catégorie co-agissante Cβ est un œuf de la catégorie agissante opposée, c'est-à-dire un objet final de sa catégorie de co-points (E,x) où xEβ et Mor((E,x),(F,y)) = {f∈Mor(E,F) | fβ(y) = x}.

Exercice. Considérer la catégorie des ensembles et leurs fonctions agissant par images directes sur les ensembles des parties de ses objets (Set). A-t-elle un oeuf ?
De même, considérer sa co-action sur ces ensembles des parties par préimages (Set). A-t-elle un co-oeuf ?
Indication : utiliser les nombres d'éléments des ensembles finis en jeu.

Plongements dans les catégories concrètes

Généralisons les concepts de plongement et pré-plongement, des catégories de systèmes relationnels à toute catégorie concrète C.
Un morphisme f ∈ Mor(E,F) sera appelé un pré-plongement si

CX, Mor(X,E) = {gEX | fg ∈ Mor(X,F)}

(Cette formule implique en fait f∈Mor(E,F)).
De façon équivalente, le co-oeuf (E, IdE) de CE est aussi co-oeuf de sa sous-co-action C(f) définie par

CX, X(f) = {gEX | fg ∈ Mor(X,F)}.

Alors, un plongement est un pré-plongement injectif, à savoir un f : EF tel que, de façon équivalente

CX, Mor(X,E) = {f -1h | h ∈ Mor(X,F) ∧ Im h ⊂ Im f}
CX, {h ∈ Mor(X,F) | Im h ⊂ Im f} = {fg | g∈Mor(X,E)}

Introduisons un concept proche. Toute partie fixe AF définit une sous-co-action C(A) de C(F) par

CX, X(A) = {gX(F) | Im gA}

Appelons alors quasi-plongement tout f∈Mor(E,F) tel que (E,f) est un co-œuf de C(Im f) :

CX, ∀g∈Mor(X,F), Im g ⊂ Im f ⇒ ∃!ϕ∈Mor(X,E), f ⚬ ϕ = g

(L'injectivité de f implique un côté de cette condition: ∀g∈Mor(X,F), !ϕ∈Mor(X,E), f ⚬ ϕ = g)
Dans les catégories concrètes les plus utiles, tous les quasi-plongements seront des plongements; des exceptions sont faciles à trouver dans d'autres catégories conçues pour cela.

Les diverses propriétés d'un morphisme f∈Mor(E,F) sont liées comme suit.

  1. Si Im fAF alors
    ((E,f) est un co-œuf de C(A)) ⇔ (f est un quasi-plongement et ∀g∈Mor(E,F), Im gA ⇒ Im g ⊂ Im f)
  2. Injection ⇒ (pré-plongement ⇔ quasi-plongement)
  3. Quasi-plongement ⇒ Monomorphisme
  4. (Monomorphisme ∧ pré-plongement) ⇒ injection
  5. Section ⇒ Plongement
Preuves.
  1. xE, ϕ = (Ey ↦ (f(y) = f(x) ? x : y)) ⇒ f ⚬ ϕ = f ⇒ (ϕ ∈ End E ∴ ϕ = IdE).
  2. h∈Mor(F,E), hf = 1E ∴ ∀gEX, fg ∈ Mor(X,F) ⇒ g = hfg ∈ Mor(X,E).∎
Soit f∈Mor(E,F) un quasi-plongement. S'il existe un pré-plongement g∈Mor(X,F) de même image Im g = Im f = AF et ACA est vrai alors f est un plongement.

Preuve.

Un sous-objet (X,u) de E sera qualifié de plongé (resp. quasi-plongé) si u est un plongement (resp. un quasi-plongement) de X vers E.

Si une partie A d'un objet F est l'image d'un plongement f∈Mor(E,F), cela donne à A le statut de sous-objet plongé (A, IdA) ≡ (E,f). (Pour un quasi-plongement on peut faire de même avec une copie de E attachée à A et conçue comme independante de E).
Alors pour tout objet X, on peut définir Mor(X,A) à partir de Mor(X,F) directement comme X(A), tandis que Mor(A,X) n'est défini directement à partir de Mor(F,X) que si f est une section, comme {g|A | g∈Mor(F,X)}.

Sous-modules

Soient X,Y,F objets d'une catégorie concrète et b∈Mor(X,Y). Une partie AF sera dite b-stable si

g∈Mor(Y,F), Im gbA ⇒ Im gA.

En particulier si b est surjective alors toutes les parties des objets sont b-stables.
Appelons b-sous-module d'un objet F, tout sous-objet (E,f) de F tel que E est un b-module.
Pour tout b-module F et f∈ Mor(E,F),
  1. Si f est un pré-plongement et b est bijective alors E est un b-module;
  2. Si f est un quasi-plongement et Im f est b-stable alors (E,f) est un b-sous-module.
Preuves:
  1. u∈Mor(X,E), fub-1 ∈ Mor(Y,F) ∴ ub-1∈Mor(Y,E).
  2. u∈Mor(X,E), (∃!g∈Mor(Y,F), gb = fu ∴ Im g ⊂ Im f)
    ∴ (∃!h∈Mor(Y,E), fhb = fu) ∴ (∃!h∈Mor(Y,E), hb = u).∎

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry

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EN : 3.9. Initial and final objects