3.8. Objets initiaux et finaux

Dans toute catégorie, un objet X est appelé un objet initial si tous les ensembles Mor(X,Y) sont des singletons. Bien sûr tout objet isomorphe à un objet initial est aussi un objet initial, comme tous les objets isomorphes ont les mêmes propriétés. Mais réciproquement tous les objets initiaux (s'ils existent) sont isomorphes, par un unique isomorphisme entre deux quelconques d'entre eux:
Pour tous objets initiaux X, Y, ∃f∈Mor(X,Y), ∃g∈Mor(Y,X), gf ∈ Mor(X,X) ∧ 1X ∈ Mor(X,X) ∴ gf = 1X.
De même, fg = 1Y. Donc f est un isomorphisme, unique car Mor(X,Y) est un singleton.∎
Par cet unique isomorphisme, X et Y peuvent être traités comme identiques l'un à l'autre. Un objet initial est dit essentiellement unique.
De même un objet X est appelé un objet final si tous les ensembles Mor(Y,X)) sont des singletons.
De tels objets existent dans diverses catégories, mais ne sont pas toujours intéressants. Par exemple, dans toute catégorie de systèmes relationnels contenant des répresentants (copies) de tous ceux possible avec un langage donné: Exercice. Pour deux ensembles fixés K et B, considérons la catégorie où A-t-il un objet initial ? un objet final ?

Plongements dans les catégories concrètes

Dans les catégories de systemes relationnels, toute section est un plongement, mais sans réciproque en général.
Pour toute partie A d'un objet d'une telle categorie,

(Il existe une section d'image A) ⇔ (pour tout objet N, Mor(A,N) = {g|A | g∈Mor(E,N)}) ⇒ (tout plongement d'image A est une section).

Pour les images A de plongements qui ne sont pas des sections, cette formule pour Mor(A,N) ne correspondrait généralement pas au concept de morphismes pour une structure relationnelle sur A. Aussi dans certaines catégories de systèmes, les parties A de systèmes E ne sont pas toutes des images de plongements, faute de convenir comme objets, notamment si la structure restreinte à A ne satisfait pas un axiome requis. Par exemple les catégories d'algèbres n'acceptent pas toutes les parties comme sous-algèbres.

Généralisons le concept de plongement à toute catégorie concrète C, lui gardant le même fonctionnement que dans les catégories de systèmes relationnels au-delà du cas des sections (mais contrairement aux sections, il nécessitera de vérifier toute la catégorie). Pour toute partie A d'un objet E de C, soit To-A la categorie où

L'injectivité de f implique l'unicité de tout To-A-morphisme vers f.

Alors un morphisme f de C est un plongement si c'est un objet final de tout To-A. C'est alors aussi un objet final de To-(Im f). C'est un plongement sur A si de plus A = Im f.
Tous ces plongements, mêmes ceux non-injectifs, sont moniques : Section ⇒ Plongement ⇒ Monomorphisme.

Les objets de C ayant pu être donnés comme deux à deux disjoints ("oubliant" les injections canoniques entre eux), toute image A = Im f d'un plongement injectif f peut recevoir un rôle d'objet ajouté à C (on peut l'appeler un sous-objet), comme représentant supplémentaire d'une classe d'isomorphisme existante dans C, en copiant vers A par f (vu comme isomorphisme) les ensembles de morphismes concernant Dom f (indépendamment du choix de f de par son unicité essentielle comme objet final de To-A). Mais pour une image A d'un plongement non-injectif, le nouvelle objet doit rester un autre ensemble avec une surjection vers A.

Produits dans les catégories concrètes

Pour toute famille d'objets (Ei)iI d'une catégorie concrète, leur produit s'il existe, se définit comme objet P=∏iI Ei vers lequel les ensembles de morphismes se définissent (à travers le produit de fonctions) par:

Pour tout objet F, Mor(F,P) ≅ ∏iI Mor(F,Ei)

Ici, l'inclusion essentielle de Mor(F,P) dans ∏iI Mor(F,Ei) pour tout F, est équivalente à ∀iI, πi∈Mor(P,Ei). Avec cela, l'inclusion réciproque non seulement définit Mor(F,P), mais aussi indirectement détermine tout Mor(P,F) par la catégorie s'il y est autorisé, en rendant essentiellement unique tous produits coexistants d'une famille d'objets d'une categorie donnée. Cette unicité essentielle se vérifie dans le cas plus général suivant.

Produits dans les catégories

Un produit d'une famille d'objets (Ei)iI dans une catégorie, est une donnée finale (donc essentiellement unique) (P, φ) d'un objet P avec φ∈∏iI Mor(P,Ei), à savoir rendant bijectives les f ↦ (φif)iI :

Pour tout objet F, ∏iI Hom (Fi) : Mor(F,P) ↔ ∏iI Mor(F,Ei)

Les produits vides (I=∅) sont les objets finaux. Le concept de plongement est une variante du cas unaire (lui-même trivial).

Dans les catégories concrète, pour tout (P, φ) et tout F, (∏φ : P ↪ ∏iI Ei) ⇒ Inj ∏iI Hom (Fi) mais les produits ainsi définis peuvent exister sans admettre parmi eux le produit ensembliste (P, π) où P = ∏iI Ei and ∏π = IdP.

Catégories d'actions

Partant d'une catégorie concrète C, soit C' la catégorie où Alors on a
  1. Si C est la catégorie des M-ensembles pour un monoïde (M,e, •) alors, voyant M comme M-ensemble interprétant • comme action à gauche, (M, e) est un objet initial de C' ; les objets initiaux sont les (X,x) où x est un élément libre et génerateur de X.
  2. Réciproquement, pour tout objet initial (M,e) de C' (s'il en existe), on a une unique structure de monoïde (M,e,•) avec une action sur chaque autre objet X de C (au-delà de • sur M lui-même), telles que pour tous objets X, Y de C on a Mor(X,Y) ⊂ MorM(X,Y) et Mor(M,X) = MorM(M,X).
Preuve. 1. par les propriétés des actions comme structures algébriques et des inverses, comme x est libre et générateur dans X si et seulement si (X,x) est isomorphe à (M, e).
2. Definissant ∀xX, hx ∈ Mor(M,X) ∧ hx(e) = x, donne une M-structure sur chaque X interprétant chaque aM dans X comme défini par l'uplet (e,a). Elles sont donc préservées: Mor(X,Y) ⊂ MorM(X,Y), ce qui implique les axiomes de M-actions.
La composition dans M venant comme cette M-structure pour M = X, satisfait les mêmes axiomes.
Le dernier axiome de monoïde, he = IdM vient de l'unicité de he satisfaisant sa définition, et assure l'inclusion inverse:
g∈MorM(M,X), g = hg(e)g ∈ Mor(M,X). ∎
Ce monoïde (M,e,•) est essentiellement l'opposé du monoïde End(M). En effet pour tous a, bM on a ha ∈ End(M), hb ∈ End(M) et hahb(e) = ha(b) = ba.

Set theory and foundations of mathematics
1. First foundations of mathematics
2. Set theory (continued)
3. Algebra 1
3.1. Morphisms of relational systems and concrete categories
3.2. Algebras
3.3. Special morphisms
3.4. Monoids
3.5. Actions of monoids
3.6. Invertibility and groups
3.7. Categories
3.8. Initial and final objects
3.9. Algebraic terms
3.10. Term algebras
3.11. Integers and recursion
3.12. Presburger Arithmetic
4. Model Theory