3.3. Algèbres

Algèbres et leurs morphismes

Étant donné un langage algébrique L, une L-algèbre est la donnée (E,φ) d'un ensemble E et d'une L-structure algébrique φ : LE → E, somme d'une famille d'interprétations de chaque symbole s∈L comme opération ⃗φ(s)∈OpE(ns).
Là encore, on considèrera habituellement une classe de L-algèbres avec un seul choix de structure algébrique φE sur chaque ensemble E, de sorte qu'une algèbre (E,φE) pourra être désignée en bref par son ensemble sous-jacent E :

sE : Ens → E
φE = ∐s∈L sE : LE → E

(mais ces sE ne peuvent pas être les restrictions d'un même opérateur ns-aire à chaque E, si on veut permettre des symboles de constantes r et s interprétées dans des algèbres E et F avec rE = sE mais rF ≠ sF).
Les algèbres forment une catégorie concrète avec les ensembles de morphismes suivants. Pour toutes L-algèbres E, F,

MorL(E,F) = {f∈FE | ∀(s,x)∈LE, sF(f⚬x) = f(sE(x))} = {f∈FE| φF⚬fL = f⚬φE}.

Quand c∈L est une constante (nc = 0), cette condition sur f dit que f(cE) = cF.

Algèbres comme systèmes relationnels

Toute catégorie d'algèbres est identifiable à une catégorie de systèmes relationnels de structure fonctionnelle, comme suit.

Soit L' la copie de L comme langage relationnel, où la copie s'∈L' de chaque s∈L est d'arité augmentée ns' = ns+1, de sorte que

L'E ⇌ ∐s∈L Ens×E ⇌ LE × E = {((s,x),y) | s∈L ∧ x∈Ens ∧ y∈E}.
∐s∈L Gr sE ⇌ Gr φE ⊂ LE × E

Appelons L-système tout ensemble E avec une structure formalisée comme E ⊂ LE × E.
Tous les concepts définis pour les systèmes relationnels sont également applicables à travers cette bijection canonique.

Qualités des systèmes avec langages algébriques

D'autres propriétés des L-systèmes (E, E) seront nommées d'après les qualités de la relation E: qualifions (E, E) deLe concept de morphisme entre algèbres (E, φE), (F, φF) est le cas particulier de celui entre systèmes lorsqu'ils sont algébriques :

∀f∈FE, (∀(x,y)∈Gr φE, (Lf(x),f(y)) ∈ Gr φF) ⇔ (∀x∈LE, φF(Lf(x)) = f(φE(x))).

De même, entre une algèbre partielle (E, Gr φE) et un système injectif (F, tGr ψF), les ensembles de morphismes sont définis par

MorL(E,F) = {f∈FE | Im f⚬φE ⊂ Dom ψF ∧ Lf|Dom φE = ψF⚬f⚬φE}
MorL(F,E) = {f∈EF | Im Lf⚬ψF ⊂ Dom φE ∧ φE⚬Lf⚬ψF = f|Dom ψF}

S'il existe un morphisme injectif de E vers F alors S'il existe un morphisme surjectif de E vers F alors

Parties stables et sous-algèbres

Toute partie A⊂E d'un L-système (E, E), forme un système de structure A = E ∩ (LA × A). Si E est fonctionel ou injectif alors A a la même propriété.
A sera dite stable par L ou L-stable, si E⋆(LA) ⊂ A. L'ensembles des parties stables de E s'écrit SubL E :

SubL E = {A⊂E | E⋆(LA) ⊂ A} = {A⊂E | ∀((s,x),y)∈E, Im x⊂A ⇒ y∈A}.

On a E ∈ SubL E.
Si E est sériel et A est L-stable, alors A est sériel.
Si E est algébrique et A est L-stable alors A est algébrique, ainsi appelée L-sous-algèbre de E. En tant que L-algèbre, sa structure est φA = φE|LA.
Réciproquement, toute partie algébrique d'une algèbre partielle est stable.
Si une formule de la forme (∀(variables), formule sans symbole liant) est vraie dans une L-algèbre, alors elle est vraie dans chacune de ses L-sous-algèbres. Une formulation très abstraite et générale de cela viendra en 3.9.

Diverses propriétés de la stabilité

Intersections de parties stables. ∀X ⊂ SubLE, ⋂X ∈ SubL E où ⋂X ≝ {x∈E | ∀B∈X, x∈B}.

Preuve: ∀(x,y)∈E, x∈L⋂X ⇒ (∀B∈X, x∈LB ∴ y∈B) ⇒ y∈⋂X. ∎

Autre méthode: E⋆(L⋂X) = E⋆(⋂B∈X LB) ⊂ ⋂B∈X E⋆(LB) ⊂ ⋂X.

Partie stable engendrée par une partie. ∀A⊂E, on note 〈A〉L,E or simply 〈A〉L, la plus petite partie L-stable de E incluant A (appelée L-sous-algèbre de E engendrée par A si E est une algèbre):

〈A〉L= ⋂{B∈SubLE | A⊂B} = {x∈E | ∀B∈SubLE, A⊂B ⇒ x∈B} ∈ SubLE.

Pour E et L fixés, cette fonction A↦〈A〉L est la clôture d'image SubLE, de la relation ∈ entre E et SubLE:

∀X⊂E, ∀Y⊂SubLE, X ⊂ ⋂Y ⇔ (∀B∈Y, X⊂B) ⇔ Y ⊂ {B∈ SubLE | X⊂B}.

On dit que A engendre E ou est une partie génératrice de E si 〈A〉L=E.

Stabilité des égaliseurs. L'égaliseur Eq(f, g) = {x∈E | f(x) = g(x)} de deux L-morphismes quelconques f,g∈ MorL(E,F) d'un L-système E vers une L-algèbre partielle F est L-stable.

Preuve : LEq(f, g) = {(s,x)∈LE | f⚬x = g⚬x} = {x∈LE | Lf(x) = Lg(x)}
∀(x,y)∈E, (Lf(x) = Lg(x) ∧ (Lf(x), f(y)) ∈ F ∧ (Lg(x), g(y)) ∈ F) ⇒ f(y) = g(y). ∎
Preuve quand F est une algèbre : ∀(x,y)∈E, Lf(x) = Lg(x) ⇒ f(y) = φF(Lf(x)) = g(y).

Systèmes minimaux

Pour tout L-système E, sa partie stable minimale se définit par

MinLE = 〈∅〉L,E = ⋂ SubLE ∈ SubL E.

On l'appelle sous-algèbre minimale si E est une L-algèbre.

Un L-système E est minimal is E = MinL E, ou de façon équivalente SubLE = {E}.

Pour tout L-système minimal E et toute L-algèbre partielle F, !: MorL(E,F).

Pour tout L-système E et tout A⊂E,

Pour la dernière propriété, on sait déjà MinL A ⊂ A ∩ MinL E; pour la réciproque, utilisant MinL A ∈ SubL A,
E⋆A ⊂ LA ⇒ MinL A ∪ (E\A) ∈ SubL E ⇒ MinL E ⊂ MinL A ∪ (E\A) ⇒ A ∩ MinL E ⊂ MinL A.∎

Théorème de Cantor-Bernstein

S'il existe des injections f: E ↪ F et g: F ↪ E alors il existe une bijection entre E et F.

Preuve. 〈∁E Im g〉{g⚬f} = A = (∁E Im g) ∪ g[f[A]] ⇒ ∁E A = g[∁F f[A]] ⇒ (E ∋ x ↦ x∈A ? f(x) : g-1(x)) : E ↔ F ∎

Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
3.1. Correspondance de Galois
3.2. Systèmes relationnels et catégories concrètes
3.3. Algèbres
3.4. Morphismes particuliers
3.5. Monoïdes et catégories
3.6. Actions de monoides et de catégories
3.7. Inversibilité et groupes
3.8. Propriétés dans les catégories
3.9. Objets initiaux et finaux
3.10. Produits de systèmes
3.11. Bases
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry

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