3.3. Algèbres

Algèbres et leurs morphismes

Étant donné un langage algébrique L, une L-algèbre est la donnée (E,φ) d'un ensemble E et d'une L-structure algébrique φ : LEE, somme d'une famille d'interprétations de chaque symbole sL comme opération ⃗φ(s)∈OpE(ns).
Là encore, on considèrera habituellement une classe de L-algèbres avec un seul choix de structure algébrique φE sur chaque ensemble E, de sorte qu'une algèbre (EE) pourra être désignée en bref par son ensemble sous-jacent E :

sE : EnsE
φE = ∐sL sE : LEE

(mais ces sE ne peuvent pas être les restrictions d'un même opérateur ns-aire à chaque E, si on veut permettre des symboles de constantes r et s interprétées dans des algèbres E et F avec rE = sE mais rFsF).
Les algèbres forment une catégorie concrète avec les ensembles de morphismes suivants. Pour toutes L-algèbres E, F,

MorL(E,F) = {fFE | ∀(s,x)∈LE, sF(fx) = f(sE(x))} = {fFE| φFfL = f⚬φE}.

Quand cL est une constante (nc = 0), cette condition sur f dit que f(cE) = cF.

Algèbres comme systèmes relationnels

Toute catégorie d'algèbres est identifiable à une catégorie de systèmes relationnels de structure fonctionnelle, comme suit.

Soit L' la copie de L comme langage relationnel, où la copie s'L' de chaque sL est d'arité augmentée ns' = ns+1, de sorte que

L'E ⇌ ∐sL Ens×ELE × E = {((s,x),y) | sLxEnsyE}.
sL Gr sE ⇌ Gr φELE × E

Appelons L-système tout ensemble E avec une structure formalisée comme ELE × E.
Tous les concepts définis pour les systèmes relationnels sont également applicables à travers cette bijection canonique.

Qualités des systèmes avec langages algébriques

D'autres propriétés des L-systèmes (E, E) seront nommées d'après les qualités de la relation E: qualifions (E, E) deLe concept de morphisme entre algèbres (E, φE), (F, φF) est le cas particulier de celui entre systèmes lorsqu'ils sont algébriques :

fFE, (∀(x,y)∈Gr φE, (Lf(x),f(y)) ∈ Gr φF) ⇔ (∀xLE, φF(Lf(x)) = fE(x))).

De même, entre une algèbre partielle (E, Gr φE) et un système injectif (F, tGr ψF), les ensembles de morphismes sont définis par

MorL(E,F) = {fFE | Im f⚬φE ⊂ Dom ψFLf|Dom φE = ψFf⚬φE}
MorL(F,E) = {fEF | Im Lf⚬ψF ⊂ Dom φE ∧ φELf⚬ψF = f|Dom ψF}

S'il existe un morphisme injectif de E vers F alors S'il existe un morphisme surjectif de E vers F alors

Parties stables et sous-algèbres

Toute partie AE d'un L-système (E, E), forme un système de structure A = E ∩ (LA × A). Si E est fonctionel ou injectif alors A a la même propriété.
A sera dite stable par L ou L-stable, si E(LA) ⊂ A. L'ensembles des parties stables de E s'écrit SubL E :

SubL E = {AE | E*(LA) ⊂ A} = {AE | ∀((s,x),y)∈E, Im xAyA}.

On a E ∈ SubL E.
Si E est sériel et A est L-stable, alors A est sériel.
Si E est algébrique et A est L-stable alors A est algébrique, ainsi appelée L-sous-algèbre de E. En tant que L-algèbre, sa structure est φA = φE|LA.
Si une formule de la forme (∀ (variables), formule sans symbole liant) est vraie dans une L-algèbre, alors elle est vraie dans chacune de ses L-sous-algèbres.

Diverses propriétés de la stabilité

Intersections de parties stables.X ⊂ SubLE,X ∈ SubL E où ∩X {xE | ∀BX, xB}.

Preuve: ∀(x,y)∈E, xLX ⇒ (∀BX, xLByB) ⇒ y∈∩X. ∎

Autre méthode: E*(LX) = E*(∩BX LB) ⊂ ∩BX E*(LB) ⊂ ∩X.

Partie stable engendrée par une partie.AE, on note 〈AL,E or simply 〈AL, la plus petite partie L-stable de E incluant A (appelée L-sous-algèbre de E engendrée par A si E est une algèbre):

AL= ∩{B∈SubLE | AB} = {xE | ∀B∈SubLE, ABxB} ∈ SubLE.

Pour E et L fixés, cette fonction A↦〈AL est la clôture d'image SubLE, de la relation ∈ entre E et SubLE:

XE, ∀Y⊂SubLE, X ⊂ ∩Y ⇔ (∀BY, XB) ⇔ Y ⊂ {B∈ SubLE | XB}.

On dit que A engendre E ou est une partie génératrice de E si 〈AL=E.

Stabilité des égaliseurs. L'égaliseur de deux morphismes quelconques d'un L-système E à une L-algèbre partielle F est stable:

f,g∈MorL(E,F), Eq(f, g) = {xE | f(x) = g(x)} ∈ SubLE.

Preuve : LEq(f, g) = {(s,x)∈LE | fx = gx} = {xLE | Lf(x) = Lg(x)}
∀(x,y)∈E, (Lf(x) = Lg(x) ∧ (Lf(x), f(y)) ∈ F ∧ (Lg(x), g(y)) ∈ F) ⇒ f(y) = g(y). ∎
Preuve quand F est une algèbre : ∀(x,y)∈E, Lf(x) = Lg(x) ⇒ f(y) = φF(Lf(x)) = g(y).

Systèmes minimaux

Pour tout L-système E, sa partie stable minimale se définit par

MinLE = 〈∅〉L,E = ∩ SubLE ∈ SubL E.

On l'appelle sous-algèbre minimale si E est une L-algèbre.

Un L-système E est minimal is E = MinL E, ou de façon équivalente SubLE = {E}.

Pour tout L-système minimal E et toute L-algèbre partielle F, !: MorL(E,F).

Pour tout L-système E et tout AE,

En particulier, tout L-système minimal est surjectif.

Théorème de Cantor-Bernstein

S'il existe des injections f: EF et g: FE alors il existe une bijection entre E et F.

Preuve. 〈∁E Im g{gf} = A = (∁E Im g) ∪ gf[A] ⇒ ∁E A = g[∁F f[A]]. ∎


Théorie des ensembles et fondements des mathématiques
1. Premiers fondements des mathématiques
2. Théorie des ensembles
3. Algèbre
3.1. Correspondance de Galois
3.2. Systèmes relationnels et catégories concrètes
3.3. Algèbres
3.4. Morphismes particuliers
3.5. Monoïdes et catégories
3.6. Actions de monoides et de catégories
3.7. Invertibility and groups
3.8. Properties in categories
3.9. Initial and final objects
3.10. Products of systems
3.11. Eggs and basis
4. Arithmetic and first-order foundations
5. Second-order foundations
6. Foundations of Geometry

Other languages:
EN : 3.3. Algebras